1、广东省佛山市五校联盟2021届高三模拟5月数学考试试卷一、单选题（共8题；共40分）1.设 A=xx2-4x+30 ， B=xln(3-2x)0,b0) 上一点 P 作双曲线 C 的切线 l ，若直线 OP 与直线 l 的斜率均存在，且斜率之积为 25 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A.295B.303C.355D.3058.若 x(0,1),a=tanxx,b=tan(x2)x2,c=(tanxx)2 ，则 a,b,c 的大小关系是（ ） A.abcB.bacC.bcaD.cab二、多选题（共4题；共20分）9.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的
2、情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A.表中m的数值为16B.估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人C.估计全年級观看比赛不低于4场的学生约为360D.估计全年级观看比赛场数的众数为210.函数 f(x)=ln(ex+1)-ln(ex-1) ，下列说法正确的是（ ） A.f(x) 的定义域为 (0,+)B.f(x) 在定义域内单调递増C.不等式 f(m-1)f(2m) 的解集为 (-1,+)D.函数 f(x) 的图象关于直线 y=x 对
3、称11.已知圆 C1:x2+y2=r2 ，圆 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2,(r0 ，且 a,b 不同时为0）交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，下列结论正确的是（ ） A.2ax1+2by1=a2+b2B.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0C.x1+x2=a,y1+y2=bD.M，N为圆 C2 上的两动点，且 |MN|=3r ，则 |OM+ON| 的最大值为 a2+b2+r12.已知梯形 ABCD ， AB=AD=12BC=1 ， AD/BC ， ADAB ， P 是线段 BC 上的动点；将 ABD 沿着 BD 所在的直线翻折成四面体 ABCD ，翻折的过程中
4、下列选项中正确的是（ ） A.不论何时， BD 与 AC 都不可能垂直B.存在某个位置，使得 AD 平面 ABCC.直线 AP 与平面 BCD 所成角存在最大值D.四面体 ABCD 的外接球的表面积的最小值为 4三、填空题（共4题；共20分）13.已知命题 p:xR,x33x ，则该命题是_（填“真命题”或“假命题”）. 14.已知函数 f(x)=lnx+12x2+x ，则 f(x) 所有的切线中斜率最小的切线方程为_. 15.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 12 （弦 矢 矢2 ），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”
5、指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 23 ，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为_平方米（精确到1平方米，参考数据 21.41,31.73)16.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图，在底面半径和高均为 1 的圆锥中， AB 、 CD 是底面圆 O 的两条互相垂直的直径， E 是母线 PB 的中点， F 是线段 EO 的中点，已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分
6、，则该曲线为_， M,N 是该曲线上的两点且 MN/CD ，若 MN 经过点 F ，则 |MN|= _. 四、解答题（共6题；共70分）17.已知数列 an 是等差数列，前n项和为 Sn ；数列 bn 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 Tn ；且 a2=b2=4,a8=b4=16 . （1）分别求数列 an,bn 的通项公式和前n项和 Sn,Tn ； （2）若将数列 an 中出现的数列 bn 的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列 cn ，记数列 cn 的前n项和为 Kn ，求 K2021 . 18.在 ABC 中，角A，B，C的对边分别为 a,b,c ，且abc，现有三个条件：a、b、
7、c为连续偶数； sinB=2sinA ； sin2A+sin2B+cos2C=1 . （1）从上述三个条件中选出 两个，使得 ABC 不存在，并说明理由； （2）从上述三个条件中选出 两个，使得 ABC 存在；若ABC存在且唯一，请求出a的值；若 ABC 存在且不唯一，请说明理由. 19.已知如图，在菱形 ABCD 中， A=60 且 AB=2 ， E 为 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折起使 AD=2 ，得到如图所示的四棱锥 A-BCDE . （1）求证：平面 ABE 平面 ABC ； （2）若 P 为 AC 的中点，求二面角 P-BD-A 的余弦值. 20.某科技公司组织技术人员进行
8、某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 34 、 23 、 12 . （1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率； （2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望
9、. 21.已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1(ab0) ，点 F1(0,1) 为焦点，过 F1 且垂直于 y 轴的直线交椭圆于S，T两点，且 F1SF1T=-94 ，点 P(3,0) 为x轴上一点，直线 y=y0(y00) 与椭圆C交于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的方程； （2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得 OQN+OQM=2 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 22.已知函数 f(x)=x2+ax+2+lnx,(aR) . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）若 f(x)ex 恒成立，求 a 的最大值. 答案解析
10、部分一、单选题（共8题；共40分）1.设 A=xx2-4x+30 ， B=xln(3-2x)0 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A.(-,32)B.(1,32)C.(1,3D.(32,3【答案】 B 【考点】Venn图表达集合的关系及运算 【解析】【解答】由图可知阴影部分既属于集合 A ，也属于集合 B ，即阴影部分表示为 AB . 因为 A=xx2-4x+30=x1x3 ， B=xln(3-2x)0=x1x32 ，所以 AB=(1,32) .故答案为：B. 【分析】 由图知，阴影部分表示的集合为AB,解出A，B,再求交集即可.2.在复数范围内方程 x2+3=0 的解为（ ） A.-3iB
11、.3iC.3iD.3【答案】 C 【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】解：方程 x2+3=0 ，即 x2=-3=3i2 ，开方得 x=3i ， 故答案为：C 【分析】由方程 x2+3=0 ， 开方得 x=3i ， 可得答案。3.在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（ ） A.56B.23C.13D.16【答案】 A 【考
12、点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：基本事件总数 n=C42=6 ，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数 m=C21C21+C22=5 ， 则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是 P=mn=56 故答案为：A. 【分析】 基本事件总数n=C42=6 ，甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数m=C21C21+C22=5 ，由此能求出甲和乙中至少有一人被邀请的概率.4.2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个
13、转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则 |OA+OB+OM| 的最小值为（ ） A.40B.207C.2010D.80【答案】 A 【考点】平面向量的综合题 【解析】【解答】由题知， OA+OB+OC=0 ，即 OA+OB=CO ， 则 OA+OB+OM=CM ，则当风叶旋转到最低点时， |CM| 最小，且值为 60-20=40 .故答案为：A 【分析】由题意可知OA+OB=CO ， 从而有OA+OB+OM=CM ，则当风叶旋转到最低点时，|CM|最小，从而计算出模长的最小值。5.函数f (x)
14、(21+ex-1) sin x的图象的大致形状为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】函数的图象 【解析】【解答】f(x) (21+ex-1) sin x (1-ex1+ex) sin x f(-x) (1-ex1+ex) sin x (1-e-x1+e-x) sin （-x）= (1-ex1+ex) sin x所以 f(-x)=f(x) ，所以 f(x) 是偶函数，故排除CD，又 x=2 时， f(2)=(1-e21+e2)sin20,b0) 上一点 P 作双曲线 C 的切线 l ，若直线 OP 与直线 l 的斜率均存在，且斜率之积为 25 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A.29
15、5B.303C.355D.305【答案】 C 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】设 P(x0,y0) ，由于双曲线 C 在点 P(x0,y0) 处的切线方程为 xx0a2-yy0b2=1 ，故切线 l 的斜率 k=b2x0a2y0 ；因为 kkOP=25 ，则 b2x0a2y0y0x0=25 ，则 b2a2=25 ，即双曲线 C 的离心率 e=1+25=355 ， 故答案为：C 【分析】 设点P的坐标为P(x0,y0) ，结合双曲线的切线方程为xx0a2-yy0b2=1 ， 可推出b2a2=25 ，再由e=1+25=355得解.8.若 x(0,1),a=tanxx,b=tan(x2)x
16、2,c=(tanxx)2 ，则 a,b,c 的大小关系是（ ） A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】 D 【考点】三角函数的化简求值 【解析】【解答】因为 x(0,1) ，所以取 x=4 ， 则 a=tan44=4 ， c=(tan44)2=(4)2 ，显然 ca ，故可排除A和B；又 b=tan(4)2(4)2=(4)2tan(44)f(2m) 的解集为 (-1,+)D.函数 f(x) 的图象关于直线 y=x 对称【答案】 A,D 【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】要使函数有意义，则 ex+10ex-10x(0,+) ，A符合题意； f(x)=ln
17、(ex+1)-ln(ex-1)=lnex+1ex-1=ln(1+2ex-1) ，令 y=1+2ex-1 ，易知其在 (0,+) 上单调递减，所以 f(x) 在 (0,+) 上单调递减，B不正确；由于 f(x) 在 (0,+) 上单调递减，所以对于 f(m-1)f(2m) ，有 m-102m0m-10 ，且 a,b 不同时为0）交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，下列结论正确的是（ ） A.2ax1+2by1=a2+b2B.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0C.x1+x2=a,y1+y2=bD.M，N为圆 C2 上的两动点，且 |MN|=3r ，则 |OM+ON| 的最大值
18、为 a2+b2+r【答案】 A,B,C 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【解答】由 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2 ，得 x2+y2+a2+b2-2ax-2by=r2 ， 两圆的方程相减得到直线AB的方程为 2ax+2by=a2+b2 ，因为点 A(x1,y1) 在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax1+2by1=a2+b2 ，因此A符合题意；又因为 B(x2,y2) 也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 2ax2+2by2=a2+b2 ，-，得 a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 ，因此B符合题意；因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为 C1C2 的中点，所以 x
19、1+x2=a,y1+y2=b 成立，因此C符合题意；设 MN 的中点为 H ，则 |OM+ON|=|2OH| ，当 C1,C2,H 三点共线时 |OM+ON| 最大，最大为 2a2+b2+r ,因此D不符合题意.故答案为：ABC. 【分析】 求出圆的公共弦方程，根据A、B在公共弦上可判断A，B;根据公共弦与圆心连线互相平分及中点坐标公式可判断C;求出动点MN的中点的轨迹方程，利用向量的线性运算及两点的距离公式求出 |OM+ON|的最大值，从而判定选项D.12.已知梯形 ABCD ， AB=AD=12BC=1 ， AD/BC ， ADAB ， P 是线段 BC 上的动点；将 ABD 沿着 BD
20、所在的直线翻折成四面体 ABCD ，翻折的过程中下列选项中正确的是（ ） A.不论何时， BD 与 AC 都不可能垂直B.存在某个位置，使得 AD 平面 ABCC.直线 AP 与平面 BCD 所成角存在最大值D.四面体 ABCD 的外接球的表面积的最小值为 4【答案】 A,D 【考点】球的体积和表面积，直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，余弦定理 【解析】【解答】对于A选项，在梯形 ABCD 中， AB=AD=12BC=1 ， AD/BC ， ADAB ， BD=AB2+AD2=2 ，且 ABD=4 ，则 CBD=4 ，因为 BC=2 ，由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-
21、2BCBDcos4=2 ，BD2+CD2=BC2 ， BDCD ，若 BDAC ，且 ACCD=C ， BD 平面 ACD ，AD 平面 ACD ， ADBD ，事实上 ADB=4 ，矛盾，故不论何时， BD 与 AC 都不可能垂直，A选项正确；对于B选项，若 AD 平面 ABC ， AC 平面 ABC ，则 ADAC ，所以， AC=CD2-AD2=1 ，而 AB=1 ， BC=2 ，即 AB+AC=BC ，则 A 、 B 、 C 无法构成三角形，不合乎题意，B选项错误；对于C选项，分别取 BD 、 BC 的中点 O 、 M ，连接 OM 、 AO ，则 OM/CD ，CDBD ， OM/C
22、D ，则 BDOM ，AB=AD ， O 为 BD 的中点，则 AOBD ，AOOM=O ，故 BD 平面 AOM ，以点 O 为坐标原点， OB 、 OM 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设 AOM=(0) ，则 A(0,22cos,22sin) 、 B(22,0,0) 、 D(-22,0,0) 、 C(-22,2,0) ， M(0,22,0) ，设三棱锥 A-BCD 的球心为 Q(0,22,z) ，由 |BQ|=|AQ| 可得 (22-22cos)2+(z-22sin)2=1+z2 ，解得 z=-cos2sin ，设三棱锥 A-BCD 的外接球半径为 r ，则
23、 r=1+z21 ，当且仅当 =2 时，等号成立，因此，四面体 ABCD 的外接球的表面积的最小值为 4 ，D选项正确.对于C选项，设 PB=CB=(2,-2,0)=(2,-2,0) ，PA=PB+BA=(2,-2,0)+(-22,22cos,22sin)=(2-22,22cos-2,22sin) ，易知平面 BCD 的一个法向量为 n=(0,0,1) ，|cos|=|nPA|n|PA|=22sin(2-22)2+(22cos-2)2+12sin2=sin242-2(1+cos)+1sin2(1+cos2)2-(1+cos)22+1=2sin4-(1+cos)2 ，而 2sin24-(1+co
24、s)2=2-2cos23-2cos-cos2=2(cos+1)cos+3=2-4cos+3(0,1) ，即当 03x ，则该命题是_（填“真命题”或“假命题”）. 【答案】 假命题 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【解答】当 x=0 时， x3=3x=0 ，所以命题 p:xR,x33x 为假命题. 故答案为：假命题. 【分析】利用特例，判断命题的真假即可。14.已知函数 f(x)=lnx+12x2+x ，则 f(x) 所有的切线中斜率最小的切线方程为_. 【答案】y=3x-32【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】由 f(x)=1x+x+1 ， x0 ， 则 f(x)=
25、1x+x+11+21xx=3 ， x=1 时等号成立，则函数 f(x) 所有切线中斜率最小为3，且过点 (1,32) ，则切线方程为 y=3x-32故答案为： y=3x-32 【分析】 求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由基本不等式可得斜率的最小值，求得切点，可得所求切线的方程.15.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 12 （弦 矢 矢2 ），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 23 ，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为_平方米（精
26、确到1平方米，参考数据 21.41,31.73)【答案】 9 【考点】归纳推理 【解析】【解答】根据题意 AOD=23,AOB=3 , OA=4 ， 则 AB=23,AD=43 ， OB=2 ，则弦为 43 ，矢为 OA-OB=4-2=2 ,所以弧田面积约为 12(432+22)=43+2=41.73+29 .故答案为：9 【分析】 在RtAOD中，由题意OA=4 ，DAO=6即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解.16.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截
27、口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图，在底面半径和高均为 1 的圆锥中， AB 、 CD 是底面圆 O 的两条互相垂直的直径， E 是母线 PB 的中点， F 是线段 EO 的中点，已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为_， M,N 是该曲线上的两点且 MN/CD ，若 MN 经过点 F ，则 |MN|= _. 【答案】 抛物线；2【考点】圆锥曲线的综合 【解析】【解答】由已知底面半径和高均为 1 ，得 AP=2 ， 又 E 为 PB 中点， OE=12AP=22 ，且 OE/AP ，所以 AP/ 平面 CDE ，根据圆锥曲线的定义可知截面
28、与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，又 F 为 OE 中点，故 p2=12OE=24 ， p=22 ，又 OP 底面，故 OPCD ，由 CDAB ， ABAP=A ，故 CD 平面 PAB ， CDOE ，又 MN/CD ，故 MN 为抛物线的通径，MN=2p=2 . 【分析】 利用平面切割圆锥的方法，结合截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线，即可得到答案;建立合适的平面直角坐标，求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的标准方程，由题意可知，MN为抛物线的通径，从而求解得到答案.四、解答题（共6题；共70分）17.已知数列 an 是等差数列，前n项和为 Sn ；数列 bn
29、 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 Tn ；且 a2=b2=4,a8=b4=16 . （1）分别求数列 an,bn 的通项公式和前n项和 Sn,Tn ； （2）若将数列 an 中出现的数列 bn 的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列 cn ，记数列 cn 的前n项和为 Kn ，求 K2021 . 【答案】 （1）设等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为d，等比数列 bn 的首项为 b1 ，公比为q ，根据条件得 a1+d=4a1+7d=16 ，解得 a1=2d=2 ，所以 an=2n ， Sn=n2+n . b1q=4b1q3=16 ，解得 b1=2q=2 （负根舍去），所以 bn=
30、2n,Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2（2）将数列 an 中出现的数列 bn 的项剔除后，剩余的项从大到小排列得到数列 cn,b11=211=2048a2021=4042b12=212=4096a2032=4064所以数列 cn 的 K2021 中需要剔除 bn 的前11项K2021=S2032-T11=20322033-212+2=4126962【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】 (1)假设 等差数列an的首项为a1 ， 公差为d，等比数列bn的首项为b1 ， 公比为q ， 由已知列方程组求解a1,d,b1,q，则
31、 数列an,bn的通项公式和前n项和Sn,Tn； (2)分析可得数列 cn的K2021中需要剔除bn的前11项，则K2021=S2032-T11.18.在 ABC 中，角A，B，C的对边分别为 a,b,c ，且abc，现有三个条件：a、b、c为连续偶数； sinB=2sinA ； sin2A+sin2B+cos2C=1 . （1）从上述三个条件中选出 两个，使得 ABC 不存在，并说明理由； （2）从上述三个条件中选出 两个，使得 ABC 存在；若ABC存在且唯一，请求出a的值；若 ABC 存在且不唯一，请说明理由. 【答案】 （1）选时， ABC 不存在，理由如下： 因为 a,b,c 为连续
32、偶数且 abc ，故 ABC 不存在.（2）选时， ABC 存在且唯一，理由如下： 因为 a,b,c 为连续偶数且 abc ，所以 b=a+2,c=a+4由 sin2A+sin2B+cos2C=1 得 sin2A+sin2B=sin2C ，再由正弦定理得 a2+b2=c2所以 a2+(a+2)2=(a+4)2 ，解得 a=6 ( a=-2 舍去)此时 a=6,b=8,c=10 ，故 ABC 存在且唯一.选时， ABC 存在但不唯一，理由如下：由 sinB=2sinA 及正弦定理得 b=2a ，由 sin2A+sin2B+cos2C=1 得 sin2A+sin2B=sin2C ，再由正弦定理得
33、a2+b2=c2 ，所以 a2+(2a)2=c2 ，即 c=5a ，则 a:b:c=1:2:5满足 abc ，所以 ABC 存在但不唯一.【考点】正弦定理 【解析】【分析】 (1)选时，由题意及正弦定理可得b=a+2,b=2a,可得2a=a+2，解得a，b,c的值，即可得解; (2)选时，由题意可得b=a+2,c=a+4,利用同角三角函数基本关系式，正弦定理可得 a2+b2=c2 ,可得 a2+(a+2)2=(a+4)2，解得a,b,c的值，即可得解；选时，由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a,由利用同角三角函数基本关系式，正弦定理可得a2+b2=c2 ， 可得 a2+(2a)2=c2
34、可得 c=5a ， a:b:c=1:2:5 ， 即可判断得解.19.已知如图，在菱形 ABCD 中， A=60 且 AB=2 ， E 为 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折起使 AD=2 ，得到如图所示的四棱锥 A-BCDE . （1）求证：平面 ABE 平面 ABC ； （2）若 P 为 AC 的中点，求二面角 P-BD-A 的余弦值. 【答案】 （1）证明：在图中，连接 BD ，如图所示： 因为四边形 ABCD 为菱形， A=60 ，所以 ABD 是等边三角形.因为 E 为 AD 的中点，所以 BEAE ， BEDE .又 AD=AB=2 ，所以 AE=DE=1 .在图中， AD=2
35、，所以 AE2+ED2=AD2 ，即 AEED .因为 BC/DE ，所以 BCBE ， BCAE .又 BEAE=E ， AE ， BE 平面 ABE .所以 BC 平面 ABE .又 BC 平面 ABC ，所以平面 ABE 平面 ABC .（2）解：由（1）知， AEDE ， AEBE . 因为 BEDE=E ， BE ， DE 平面 BCDE .所以 AE 平面 BCDE .以 E 为坐标原点， EB ， ED ， EA 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则 E(0,0,0) ， A(0,0,1) ， B(3,0,0) ， C(3,2,0) ， D(
36、0,1,0) .因为 P 为 AC 的中点，所以 P(32,1,12) .所以 PB=(32,-1,-12) ， PD=(-32,0,-12) .设平面 PBD 的一个法向量为 m=(x,y,z) ，由 PBm=0PDm=0 得 32x-y-12z=0-32x-12z=0 .令 z=3 ，得 x=-1 ， y=-3 ，所以 m=(-1，-3，3) .设平面 BDA 的一个法向量为 n=(x1，y1，z1) .因为 BA=(-3，0，1) ， AD=(0，1，-1)由 BAn=0ADn=0 得 -3x1+z1=0y1-z1=0令 x1=1 ， z=3 ， y=3 ，得 n=(1，3，3)则 co
37、sm,n=mn|m|n|=-1-3+377=-17 ，所以二面角 P-BD-A 的余弦值为 17 .【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）利用题中所给的条件证明 AEED ， BEDE ，因为 BC/DE ，所以 BCBE ， BCAE ，即可证明 BC 平面 ABE ，进一步可得面面垂直；（2）先证明 AE 平面 BCDE ，以 E 为坐标原点， EB ， ED ， EA 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 PBD 的一个法向量 m ，平面 BDA 的一个法向量 n ，利用向量的夹角公式即可求解20.某科技
38、公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 34 、 23 、 12 . （1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率； （2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出
39、X的分布列及数学期望. 【答案】（1）记实验甲、乙、丙成功分别为事件A、B、C，且相互独立，记事件D:对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次，则P(D)=1-P(ABC)=1-141312=2324；（2）由题意可知，随机变量X的可能值有0、1、4、8，则P(X=0)=1-34=14，P(X=1)=341-(23)2=512，P(X=4)=34(23)2C31(12)3+(12)3=16，P(X=8)=34(23)2C32(12)3+(12)3=16，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0148P145121616所以，随机变量X的数学期望为E(X)=1512+416+816=2912（万
40、元）.【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解即可; (2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可.21.已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1(ab0) ，点 F1(0,1) 为焦点，过 F1 且垂直于 y 轴的直线交椭圆于S，T两点，且 F1SF1T=-94 ，点 P(3,0) 为x轴上一点，直线 y=y0(y00) 与椭圆C交于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的方程； （2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴
41、上是否存在点Q，使得 OQN+OQM=2 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）由题意， F1SF1T=-|F1S|2=-94 ，即 |F1S|=32=b2a=a2-1a ，解得 a=2,b=3 ， 所以椭圆C的方程为 y24+x23=1 ；（2）假设存在点Q使得 OQN+OQM=2 ，设 Q(m,0) ， 因为 OQN+OQM=2 ，所以 OQN=OMQ ，则 tanOQN=tanOMQ ，即 |ON|OQ|=|OQ|OM| ，所以 |OQ|2=|ONOM| .因为直线 y=y0 交椭圆C于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.设 A(x0,y0),B(-x0,y
42、0)(x01) ，因为 P(3,0) ，则直线PA的方程为： y=y0x0-3(x-3) ，令 x=0 ，得 yM=-3y0x0-3 ，直线PB的方程为： y=y0-x0-3(x-3) ，令 x=0 ，得 yN=3y0x0+3 ，因为 |OQ|2=|ONOM| ，所以 m2=3y023-x02 ，又因为点 A(x0,y0) 在椭圆 C:y24+x23=1 上，所以 3y02=12-4x02 ，所以 m2=12-4x023-x02=4 ，即 m=2 ， 所以存在点 Q(2,0) ，使得 OQN+OQM=2 成立.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】 (1)由題意可得 F
43、1SF1T=-|F1S|2=-94 ， 推出 |F1S|=32=b2a=a2-1a ， 解得a，b，迸而可得橢圜C的方程； (2)假没存在点Q(m,0)，使得 OQN+OQM=2 ， 得 OQN=OMQ ，推出 tanOQN=tanOMQ ， 即 |ON|OQ|=|OQ|OM| ， 化筒可得 m2=3y023-x02 ， 把点 A(x0,y0) 坐标代入椭圆C方程，解得m,即可得出答案。 22.已知函数 f(x)=x2+ax+2+lnx,(aR) . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）若 f(x)ex 恒成立，求 a 的最大值. 【答案】 （1）f(x)=2x+a+1x=2x2+ax+1
44、x,x(0,+)当 -22a22 时， f(x)0 恒成立 ,f(x) 在 (0,+) 上单调递增；当 a0,f(x) 单调递增；在 (-a-a2-84,-a+a2-84),f(x)22 时，在 (0,+),f(x)0,f(x) 单调递增综上所述：当 a-22 时， f(x) 在 (0,+) 上单调递增；当 a0 ，所以 (x)0(x) 在 (0,+) 上单调递增，xex+1x-2xx2+x+1x-2x=x2+1x-xh(x)=xex+1x-2xx2-x+1x令 j(x)=x2-x+1x ，则 j(x)=2x-1-1x2=2x3-x2-1x2易知在 (0,1),j(x)0,j(x) 单调递增；
45、j(x)j(1)=0 ，可得 h(x)0, 所以 h(x) 在 (0,+) 上单调递增，又因为 h(1)=0所以在 (0,1) 上 h(x)0所以在 (0,1) 上 g(x)0,g(x) 单调递增所以在 (0,+) 上， g(x)g(1)=e-3 ，所以 ae-3所以 a 的最大值为 e-3 .【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】 (1)求出f(x)，分 -22a22 ， a22三种情况，分别研究导数f(x)的正负，从而得到函数f(x)的单调性； (2)将不等式恒成立转化为 aex-lnx-x2-2x在(0,+)上恒成立，构造函数 g(x)=ex-lnx-x2-2x ， 转化为求解g(x)的最小值，利用导数研究函数g(x)的单调性，从而确定g(x)的最小值,即可得到答案.
