1、2022年二模二次函数压轴题1在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当时，函数值的取值范围是，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将点代入二次函数解析式即可求解；（2）求出抛物线的对称轴为，由函数图象开口向上可知，当时，y随x的增大而减小，因此当时，解关于n的一元二次方程即可求解；（3）根据平移的性质得出，利用“时，y随x的增大而减小”得出，再将代入二次函数解析式可得，进而可得出k的取值范围(1)解：点在二次函数
2、的图象上，解得，二次函数的解析式为(2)解：二次函数的解析式为，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，当时，当时，当时，函数值的取值范围是，解得，(3)解：原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为，根据平移的性质可知，当时，y随x的增大而减小，平移后的图象经过原点O，即，【点睛】本题考查二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解第2问的关键是利用二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程，解第3问的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征得出2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（1，），（a，
3、），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围【答案】(1)直线(2)或【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；（2）分三种情况进行讨论分析：当时，当时，当时，根据二次函数的基本性质及图象求解即可得出结果（1）解：抛物线表达式为，对称轴为直线；（2）解：由题意可知抛物线开口向上当时，由，得解得由，得解得当时，由，得解得由，得解得当时，由，得解得由，得解得无解综上，或【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关键3在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(3)若
4、抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围【答案】(1)（0，1）；(2)（3，9a+1）；(3)a【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x3，求出b6a，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA0，xB6，得出AB|xBxA|6，判断出此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x1时，得出a6a+10，
5、求出a，再根据y顶点9a+10，即可得出答案（1）针对于抛物线yax2+bx+1，令x0，则y1，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）抛物线yax2+bx+1（a0）的对称轴是直线x3，3，b6a，抛物线的解析式为yax26ax+1，当x3时，y9a18a+19a+1，抛物线的顶点坐标为（3，9a+1）；（3）当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线yax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），抛物线yax2+bx+1的对称轴为直线x3，xA0，xB6，AB|xBxA|6，AB4，此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为yax
6、26ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），AB4，当x1时，yax26ax+1a6a+10，a，抛物线与x轴有两个交点，y顶点9a+10，a，a【点睛】此题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键4在平面直角坐标系xOy中，点、是抛物线上三个点(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当时，求b的值；(3)当时，求b的取值范围【答案】(1)（0，1）；(2)-2；(3)-2b-1；【分析】（1）令x=0，代入抛物线求得y值即可解答；（2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可；（3）根据，将x
7、的值代入抛物线解不等式，再求不等式的解的公共部分即可；（1）解：令x=0，得：y=0+0+1=1，抛物线与y轴的交点坐标（0，1）；（2）解：当时，由点，可得抛物线对称轴为x=1，b=-2，（3）解：由可得：1+b+11，b-1，由可得：1-b+11，b1，由可得：9+3b+11-b+1，b-2，当时，-2b-1；【点睛】本题考查了二次函数的综合，一元一次不等式的应用，掌握二次函数的性质是解题关键5在平面直角坐标系中，已知抛物线(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点在抛物线上，其中若的最小值是，求的最大值；若对于，都有，直接写出t的取值范围【答案】(1)(2)时，的最大值为2
8、；或【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可求解；（2）根据抛物线的性质，对称轴为，开口向上，则当时，有最小值，进而求得的值，结合函数图象，当时，的最大值为2根据抛物线开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，分情况讨论结合函数图象即可求解(1)解：（1），抛物线的顶点坐标为(2)，抛物线开口向上当时，y有最小值，当时，有最小值，结合函数图象，当时，的最大值为2根据题意可得，抛物线的对称轴为，设到对称轴的距离为，即即到对称轴距离最大为2，1）当点在的右侧，且，到的距离为，抛物线开口向上，离对称轴越远则，函数值越大，解得2）当点在的左侧，且，同理可得，到的距离为解得综上所述：或【点睛】本题考查
9、了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键6在平面直角坐标系xOy中，抛物线(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点和，其中当时，求m的取值范围【答案】(1)yx22x(2)（m，）(3)m2或0m1【分析】（1）将（2，0）代入解析式求得m，即可得到解析式；（2）由抛物线的顶点坐标公式即可求得；（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y10，y20或y10，y20，将两点坐标代入解析式求解即可(1)解：将（2，0）代入得，解得m1，抛物线的表达式为yx22x(2)解：，这个二次函
10、数的顶点坐标为（m，）(3)解：，抛物线开口向上，对称轴为直线x， m（m1）1，m+2m2m（m1）m+2m，点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，y1y2， ，0，抛物线的顶点（m，）在第四象限，y1y20，y10，y20或y10，y20，将（m1，y1）代入yx22mx得y1（m1）22m（m1）m2+10，解得m1（舍去）或m1，将（m+2，y2）代入yx22mx得y2（m+2）22m（m+2）m2+40，解得m2（舍去）或m2，m2满足题意将（m1，y1）代入yx22mx得y1（m1）22m（m1）m2+10，解得0m1，将（m+2，y2）代入yx22mx得y2（m+2）22m（m+
11、2）m2+40，解得0m2，0m1满足题意综上所述，m的取值范围m2或0m1【点睛】此题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系7在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)，为该抛物线上的两点，若，且，求a的取值范围【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可求解；（2）根据二次函数性质分三种情况列不等式求即可；（1）解：该抛物线的对称轴为：（2）当时，；则，即当时，；则，即当时，；则，即综上，或【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性
12、质是解题的关键8已知二次函数的图象经过点(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为，求二次函数的解析式；(3)当时，该函数图象上的任意两点、，若满足，求的取值范围【答案】(1)b=-a(2)y=-x2+x+2(3)x23【分析】（1）直接把(1,2)代入，求解即可；（2）用待定系数法求二次函数解析式即可；（3）根据二次函数的性质解答即可(1)解：把(1,2)代入，得2=a+b+2，b=-a，(2)解：把(1,2)，(-1,0）分别代入，得，解得：，y=-x2+x+2；(3)解：由（1）知：b=-a，二次函数的对称轴为直线x=-=，又a0，当x时，y随x增大而增大 ，x2
13、x1，即x2时，y随x增大而减小 ，又关于直线x=对称点从标为(3,y1),x23,综上，若满足，时，x23【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键9关于x的二次函数的图象过点(1)求二次函数的表达式；(2)已知关于x的二次函数，一次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立求b的值；直接写出k的值【答案】(1)(2)；【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）画出函数图象，结合函数图象求解即可(1)关于x的二次函数的图象过点，(2)，令，则，与仅交于（0，0）点，如图，对于x的
14、同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立又时，时，且与有且仅有（0，0）这一交点，经过（0，0），；由知，联立方程组，整理得，两函数只有一个交点，【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，结合函数图象解决问题是解答本题的关键10在平面直角坐标系中，抛物线经过点，(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；(3)点，在此抛物线上，且当时，都有直接写出a的取值范围【答案】(1)c=-2，抛物线的对称轴为直线x=1(2)0a4(3)或【分析】（1）把，分别代入，求得c=-2，b=-2a，再把c=-2，b=-2a代入得
15、y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，根据抛物线的顶点式，即可求出抛物线的对称轴；（2）把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，根据抛物线与直线没有公共点，则=(-2a)2-4a40，即a(a-4)0时，则a-40，即a4，则0a4；当a0，即a4，此时，无解；即可得出答案；（3）把点，分别代入y=ax2-2ax-2，得y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，求得|y2-y1|，进而求出at的范围，结合a、t范围，求解即可（1）解：把，分别代入，则，解得：，当c=-2时，抛物线解析式为：y=ax2-2ax-2=a
16、(x-1)2-a-2，抛物线的对称轴为直线x=1；（2）解：把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，抛物线与直线没有公共点，=(-2a)2-4a40，即a(a-4)0时，则a-40，即a4，0a4，当a0，即a4，此时，无解；综上，a的取值范围为0a4；（3）解法一：点，在此抛物线上，y1=at2-2at-2，y2=a(t+1)2-2a(t+1)-2=at2-a-2，|y2-y1|=|( at2-2a-2)-( at2-2at-2)|=|a(2t-1)|，当-2t4时，都有|y2-y1|，-|a(2t-1)|,a0，当a0时，解得：,综上，a的取值范围是或解法二：由
17、已知当时，都有，即a0，综上，a的取值范围是或【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象与直线无交点问题，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键11在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线（）(1)求此抛物线的对称轴；(2)当时，求抛物线的表达式；(3)如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M直接写直线与图形M公共点的个数；当直线（）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围【答案】(1)x=1(2)(3)k2或【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式直接求解；（2）把m=1代入解析式即可；（3）因为和y=x+1与x轴均交
18、于（-1，0），而直线y=x+1过一、二、三象限，故可知新图形M与直线y=x+1有三个公共点；分k0和k0时，直线y=k(x+2)-1在过点A和点B的直线间时，与图形M有两个公共点；当直线y=k(x+2)-1与抛物线（-1x3）相切时有两个公共点；当k0，直线y=x+1过一、二、三象限，新图形M与直线y=x+1有三个公共点；当k0时，如图3，若直线y=k(x+2)-1经过点A时，0=k-1，k=1，即y=x+1，经过点B时，0=5k-1，k，即，当k=1时，直线y=k(x+2)-1与图形M有三个公共点，当k时，直线y=k(x+2)-1与图形M有一个公共点，当 时，直线y=k(x+2)-1与图形
19、M有两个公共点；若直线y=k(x+2)-1与抛物线（-1x3）相切时，如图4，则，即 = 解得k=2，k=10，当k=2时，y=2x+3，与抛物线切于（0，3），当k2时，直线y=k(x+2)-1与图形M有两个公共点；当k2或时，直线y=k(x+2)-1与图形M有两个公共点【点睛】本题考查了二次函数的性质，折叠的性质，直线与抛物线的交点，分类讨论，并根据题意正确画出图形是解题关键12在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)当时，求抛物线的对称轴；若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；(2)已知点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的
20、取值范围【答案】(1)直线；(2)或或【分析】（1）将代入解析式即可求解根据二次函数的性质求得对称轴；根据抛物线的开口向上，根据点与对称轴的距离越大函数值越大，即可求解（2）根据题意画出函数图象，结合函数图象即可求解(1)当时，对称轴为直线；抛物线的对称轴为直线，开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，点，都在抛物线上，且，(2)点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q则,，当抛物线经过时，解得，当抛物线的顶点在上时，则，即，解得或，当抛物线经过点时，解得，此时与抛物线有2个交点，则当时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得或或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性
21、质是解题的关键13在平面直角坐标系xOy中，点（m 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x22ax + 1上，其中m1且m2(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1y2y3，求a的取值范围【答案】(1)(2)，理由见解析(3)a的取值范围是【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；（2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可；（3）将（m 2, y1），（m, y2），（2- m,
22、 y3）代入y = x22ax + 1中，再解不等式即可；(1)解：；(2)当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ， （，）与（2，）关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为，即函数解析式为 （0，）为抛物线的顶点 抛物线的开口向上， 当时，为函数的最小值 (3)将，和分别代入，得：，则有：，于是成立，即为和同时成立，也即为和同时成立 当时，故，不存在大于1的实数m； 当时，要使，则，也不存在大于1的实数m； 当时，不符合题意； 时，只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立，即成立综上所述，a的取值范围是【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分
23、类讨论14在平面直角坐标系中，已知抛物线(1)若抛物线过点求抛物线的对称轴；当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若，为抛物线上的三点且，设抛物线的对称轴为直线，直接写出的取值范围【答案】(1)x=2；(2)【分析】把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线计算即可根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的值即可（2）方法一：根据，得到b=-2at，从而解析式变形为，把，分别代入解析式，根据，列出不等式组，解不等式组即可方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小(1)解：把(4，-1)代入解析式，得，解得b=-4a，对称轴为直线=2根据题意，画图像如下：当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，抛物线经过（-1,0）和（5,0），解得，(2)，b=-2at，解析式变形为，把，分别代入解析式，得，解得，故t的取值范围是方法二：若，为抛物线上的三点且，对称轴为，开口向上，当，则，不符合题意，当时，解得当，解得综上所述，【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键
