1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第5课时 直接证明与间接证明第3页返回导航 数学 1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法推理论证成立第4页返回导航 数学 框图表示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)第5页返回导航 数学(2)分析法定义：从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法
2、叫做分析法框图表示：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件.结论充分条件第6页返回导航 数学 2间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法不成立矛盾第7页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”错误的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与
3、方法，再用综合法展现解决问题的过程()第8页返回导航 数学(6)证明不等式 2 7 3 6最合适的方法是分析法()(7)命题：已知 CD，证明 AB，用分析法证明时，就是把 AB当已知推证 CD.()(8)用反证法证明“如果 ab，那么 a3b3”时的假设内容为 a3b3.()(9)证明“a2b22ab”时，可以从(ab)20 入手()(10)由“ab0”可以证出 a2abb2.()第9页返回导航 数学 考点一 综合法及应用命题点 由因索果推导数学的一般问题例 1 设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a11，a22，且 an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求 Sn
4、.第10页返回导航 数学 解：(1)证明：由已知条件，对任意 nN*，有 an23SnSn13，因而对任意 nN*，n2，有an13Sn1Sn3.，得 an2an13anan1，即 an23an，n2.又 a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1.故对一切 nN*，an23an.第11页返回导航 数学(2)由(1)知，an0，所以an2an 3.于是数列a2n1是首项 a11，公比为 3 的等比数列；数列a2n是首项 a22，公比为 3 的等比数列因此 a2n13n1，a2n23n1.于是 S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133
5、n1)第12页返回导航 数学 3(133n1)33n12，从而 S2n1S2na2n33n1223n132(53n21)综上所述，第13页返回导航 数学 方法引航 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：1定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；2已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.第14页返回导航 数学 设 f(x)ax2bxc(a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证：fx12 为偶函数第15页返回导航 数学 证明：由函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，可知 f(x1)f
6、(x)将 x 换成 x12代入上式可得 fx121 fx12，即 fx12fx12，由偶函数的定义可知 fx12 为偶函数第16页返回导航 数学 考点二 分析法及应用命题点执果索因求充分条件例 2 已知 m1，求证：m m1 m1 m.第17页返回导航 数学 证明：法一：要证 m m1 m1 m，即证：2 m m1 m1，即证：4mm1m12 m21，只需证：m m21.即证：m2m21，显然成立 m m1 m1 m.第18页返回导航 数学 法二：要证 m m1 m1 m，只需证：1m m11m1 m，即证：m m1 m1 m，即证：m1 m1，只需证：m1m1，显然成立 m m1 m1 m.
7、第19页返回导航 数学 方法引航 1逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价或充分的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.第20页返回导航 数学 用分析法证明：6 72 2 5.第21页返回导航 数学 证明：要证 6 72 2 5，只需证：(6 7)2(2 2 5)2，即证：672 42854 10，即证：422 10.只需证：42 40，式子显然成立 6 72 2 5.第22页返回导航 数学 考点三 反证法及应用命题点证明否
8、定性、唯一性、至少(多)性例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列第23页返回导航 数学 解：(1)当 n1 时，a1S12a12，则 a11.又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减得 an112an，所以an是首项为 1，公比为12的等比数列，所以 an 12n1.第24页返回导航 数学(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(pqr，且 p，q，rN*)，则 2 12q 12p12r，所以 22rq2rp1.又因为 pqr，所以 rq，rpN*.
9、所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证第25页返回导航 数学 方法引航 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面.第26页返回导航 数学 在ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：B90.第27页返回导航 数学 证明：假设B90不成立，即B90，从而B 是ABC 的最大角，b 是ABC 的最大边，即 ba，bc.1a1b，1c1b，相加得1a1c1b1b2b，
10、这与1a1c2b矛盾故B90不成立，即B90.第28页返回导航 数学 规范答题直接证明与间接证明的规范答题此类题常以解答题的一个分支出现，与函数、方程、不等式、解析几何、立体几何等知识结合考查一般用直接法证明，题目中如果有“不是”“至少”“不可能”等词语时，通常考虑用反证法第29页返回导航 数学 典例(本题满分 12 分)已知数列an和bn满足：a1，an123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为实数，n 为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论第30页返回导航 数学 规范解答(1)假设存在一个实数，使an 是等比数列，
11、则有 a22a1a3，1 分即233 2494，可得492494924，得 90 矛盾，4 分所以an 不是等比数列5 分第31页返回导航 数学(2)因为 bn1(1)n1an13(n1)21(1)n123an2n14 23(1)n(an3n21)23bn，又 b1(18)，9 分所以当 18 时，bn0(nN*)，此时bn 不是等比数列；10 分当 18 时，b1(18)0，由上可知 bn0，第32页返回导航 数学 bn1bn 23(nN*)11 分故当 18 时，数列bn 是以(18)为首项，23为公比的等比数列.12 分第33页返回导航 数学 规范建议 这是反证法的第一句话：否定结论这是
12、反证法的主题内容：推出矛盾这是反证法的结论为了使用综合法，探求 bn1 与 bn 的关系分情况判定结论第34页返回导航 数学 第35页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根第36页返回导航 数学 解析：选 A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程 x3axb0 至少有一个实根的反面是方程 x3axb0 没有实根，故
13、应选 A.第37页返回导航 数学 2(2016高考全国丙卷)已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S53132，求.第38页返回导航 数学 解：(1)证明：由题意得 a1S11a1，故 1，a1 11，a10.由 Sn1an，Sn11an1 得 an1an1an，即 an1(1)an.由 a10，0 且 1 得 an0，所以an1an 1.因此an是首项为 11，公比为 1的等比数列，于是an 111n1.第39页返回导航 数学(2)由(1)得 Sn11n.由 S53132得1153132，即15 132.解得 1.第40页返回导
14、航 数学 3(2013高考陕西卷)设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列第41页返回导航 数学 解：(1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.第42页返回导航 数学(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列第43页返回导航 数学 4(2013高考江苏卷)已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b.第44页返回导航 数学 证明：要证明 2a3b32ab2a2b 成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即 2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0 成立，2a3b32ab2a2b.第45页返回导航 数学 课时规范训练
