1、外接球经典模型：二面角模型知识与方法设有公共边的和构成二面角，若A、B、C、D四点在同一球面上，则计算该球的半径（或体积、表面积等）这类问题，本节我们简称为二面角模型.无论和是什么样的三角形，二面角多大，该模型下外接球半径的计算原理是大致相同的.如下图所示，假设和是两个确定的三角形，二面角的平面角为，则这类问题的计算步骤如下：（1）找到和的外心、，设E为中点，则，所以即为二面角的平面角，故.（2）分别过、作和所在平面的垂线交于点O，则O即为球心，设，和的外接圆半径分别为和，则，同理，；（3）在中，由余弦定理可求得；（4）注意到，所以O、E、都在以为直径的圆上，该圆也是的外接圆，设其半径为r，则
2、由正弦定理，从而求得；（5）在中，根据计算球O的半径.（看不懂这些步骤?去看看视频吧）提醒：上面的计步骤是针对一般的情形，若已知条件比较特殊，如和为直角三角形，又或者二面角是直角等，计算过程可以相应简化；若设，则，特别地，当二面角为直二面角时，代入上述公式可得，这是这一模型下外接球半径的计算公式，其推导方法可以参考本节的配套视频，下面通过一系列例题来给同学们讲解具体问题中的求解办法.典型例题【例题】如下图所示，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为90，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】如图，由题意，是等腰直角三角形，故其外接圆的圆心为斜边中点D，连接，由为正三角形知，又二面
3、角的大小为90，所以上平面，故球心O必在直线上，而球心O到A、B、C三点的距离相等，所以球心O即为的中心，从而，故三棱锥的外接球的表面积.【答案】【反思】在直二面角条件下，若其中一个三角形是直角三角形且公共边恰为斜边，则外接球的半径等于另一个三角形的外接圆半径.变式1四面体中，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_.【解析】，即为直角三角形，故外接球半径R等于的外接圆半径r，由正弦定理，.【答案】变式2 四面体中，则此四面体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【解析】如图，在中，由余弦定理，同理可求得，又，且，所以为正三角形，设中点为E，则，易求得，所以，故，从而二面角为直二面角，的外接圆半
4、径，在中，由正弦定理，所以的外接圆半径，设和的外心分别为和，分别过和作和所在平面的垂线交于点O，则O即为四面体的外接球的球心，显然四边形为矩形，所以，从而球O的半径，故球O的表面积.【答案】A【反思】一般地，设二面角为直二面角，和的外接圆半径分别为和，则四面体的外接球半径R满足，可以在理解的基础上记忆这一公式.变式3三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为60，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】如图1，设的中点为G，连接、，设的中心为D，在剖面图图2中，过D作的垂线交l于点O，则O即为球心，因为二面角为60，所以，故，易求得，所以，从而球O的半径，故球O的表面积.【答案】变式4
5、三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】如图1，设的中点为G，连接、，设的中心为D，在剖面图图2中，过D作的垂线交l于点O，则O即为球心，记，则，易求得，所以，从而球O的半径，故球O的表面积.【答案】变式5如右图所示，在三棱锥中，顶点P在底面上的射影G是的外心，二面角的大小为60，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】如图1，取中点D，连接、，则，又平面，所以，故平面，从而，所以，又，所以是等边三角形，显然即为二面角的平面角，故，设F为的中心，易求得，在中，由余弦定理，所以，显然O、F、D、G四点均在以为直径的圆上，该圆也是的外接圆，设其半
6、径为r，则由正弦定理，所以，故球O的半径，从而球O的表面积.解法2：如图2，取中点D，连接、，则，又平面，所以，故平面，从而，所以即为二面角的平面角，故，设球O的半径为R，则，在中，所以，解得：，故球O的表面积【答案】【反思】通过上面的几道例题可以看到，在二面角模型的外接球计算问题中，关键是找到两个三角形的外心，并作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；另一方面，连接外心和两三角形的公共边中点，可构建一个剖面四边形，在此四边形中计算球心到公共边中点的距离，进而得出球的半径.强化训练1.（）三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_.
7、【解析】如图，设G为中点，因为是边长为2的正三角形，所以，又平面平面，所以平面，因为是以为斜边的直角三角形，故其外心为点G，从而球心必在直线上，又因为球心到A、B、C三点的距离相等，所以球心必为的中心，从而三棱锥的外接球的半径，表面积.【答案】2.（）三棱锥中，二面角的大小为120，则三棱锥中外接球的半径为_.【解析】由题干所给数据不难发现，如图1，设中点为G，中点为D，连接、，则，故，注意到D和G分别为和的外心，过D和G分别作和所在平面的垂线，则两垂线的交点O即为球心，画出剖面图如图2，易求得，所以，故球的半径.【答案】3.（）四面体中，且二面角的大小为120，则四面体外接球的半径为_.【解
8、析】由题意，为正三角形，为直角三角形，设中点为G，则G为的外心，如图1，设P在的外接圆上，且，设中心为H，分别过H和G作平面和平面的垂线交于点O，则O即为球心，剖面图如图2，易求得，所以，从而四面体的外接球半径.【答案】【反思】若将本题的条件“二面角的大小为120”改为“二面角的余弦值为”，结果又是多少呢？（，视频中会讲解这一变式）4.（）四面体中，是以为斜边的直角三角形，且二面角的余弦值为，则四面体外接球的表面积为_.【解析】是以为斜边的直角三角形中点G是的外心，设H为的外心，因为，所以H必在上，如图，分别过G和H作平面和平面的垂线交于点O，则O为球心，在中，所以，由正弦定理，故的外接圆半径
9、，所以，不妨设，则即为二面角的平面角，所以，从而，故，所以，从而球O的半径，故球O表面积.【答案】【反思】本题其实并未给出为等腰直角三角形，但不难发现，只要点C在以为直径的圆上，都会得出相同的结果，故本题答案直接把点C取在了图中的特殊位置.5.（）如下图所示，直三棱柱中，M是的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）A.B.C.D.【解析】由题意，平面平面，和的公共边恰好为的斜边，所以三棱锥的外接球的半径等于的外接圆半径，设的外接圆半径为r，在中，易求得，所以，故，由正弦定理，所以，即三棱锥的外接球的半径，体积.【答案】A6.（）如下图所示，在三棱锥中，是边长为1的正三角形，且平面平面，则三棱锥外
10、接球的表面积为_.【解析】如图，设E为的中点，G、H分别为和的外心，则，所以即为二面角的平面角，因为平面平面，所以，易求得的外接圆半径，所以，在中，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理，所以，从而，故，所以三棱锥的外接球半径，表面积.【答案】7.（）如下图所示，在菱形中，E为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，P、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）A.B.C.D.【解析】设和的外心分别为G和H，过G、H分别作平面、平面的垂线交于点O，则O即为球心，由题意，和都是边长为的正三角形，所以，易证，所以，而，所以，故三棱锥外接球的半径，表面积.【答案】A8（）如下图所示，平面四边形中
11、，现将四边形沿对角线折起，使二面角的余弦值为，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的半径为_.【解析】取中点E，连接、，设和的外心分别为G和H，因为，所以，且G和H分别在、上，过G和H分别作平面和平面的垂线交于点O，则O即为球心，由题意，为正三角形，所以，在中，由正弦定理，所以的外接圆半径，从而，二面角的平面角为，由题意，所以，在中，由余弦定理，所以，由正弦定理，所以的外接圆直径为，注意到，所以O、G、E、H四点在以为直径的圆上，从而，所以球O半径.【答案】9.（）如下图所示，在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A.B.C.D.【解析】如图1，取中点E，连接、，由题意，所
12、以为正三角形，易求得，设和的外心分别为G和E，画出剖面图如图2，在剖面图中过G和E分别作、的垂线交于点O，则四面体外接球半径，在图2中，所以，故，从而，所以四面体的外接球半径，表面积.【答案】D10.（）如下图所示，空间四边形中，且二面角的大小为45，若A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_.【解析】如图1，取中点E，连接、，设、的外心分别为G、H，因为，所以，且G、H分别在、上，过G和H分别作平面、平面的垂线交于点O，则O即为球心，画出剖面图如图2，由所给数据可求得，在中，故，由正弦定理，所以的外接圆半径，故，在中，由正弦定理，所以的外接圆半径，故，显然是二面角的平面角，由题意，故，所以，故，从而球O的表面积.【答案】
