1、昆明北大博雅实验中学2020-2021学年度第一学期期中模拟数学试卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义求出【详解】解：集合，故选：【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题2. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的性质即可得出答案.【详解】，对称轴为，抛物线开口向上，当时，距离对称轴远，当时，.故选：D.【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型
2、：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由，解得x且x2函数的定义域为故选：.【点睛】本题考查具体函数定义域求解，属简单题.4. 下列各组函数中，与相等的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】同一函数的判断先看定义域，再看化简后的解析式.【详解】选项A，B的定义域不同，C选项定义域都为，化简后的解析式是，解析式不同，选项D定义域相
3、同，化简后的解析式相同故选：D【点睛】本题考查了同一函数的判断，较简单.5. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】作差法判断AB；利用幂函数的单调性判断CD【详解】，A不成立；， B不成立；在递增，可得，故C成立；在递减，可得，故D成立故选：AB6. 已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.【详解】对于函数，可得，因此，函数的定义域是.故选：C.7. 函数（且）的图象过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，解出的值，代入函数的
4、解析式，计算可得出该函数的图象所过定点的坐标.【详解】令，可得，则，因此，函数（且）的图象过定点.故选：A.8. 若幂函数在区间上是减函数，则实数m的值（ ）A. B. C. 或2D. 或1【答案】B【解析】【分析】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，不满足函数在区间是减函数，当时，满足条件，故选：B.【点睛】本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型.9. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，分和两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合，因
5、为，（1）当时，可得，即，此时，符合题意；（2）当时，由，则满足，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了了集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合件的基本关系，合理分类讨论列出方程组是解答的根据，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.10. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. 或B. C 或D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，再根据韦达定理求出，代入一元二次不等式可解得结果.【详解】由题意，两根为3，6，则，解得则不等式可化为，解得，或故选：C【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，
6、考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.11. “关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式在实数集上恒成立的解法求解.【详解】因为的解集为，所以，解得，所以一个必要不充分条件可以是，故选：A【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.12. 已知函数，若，则取值范围是 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据每一段函数函数解析式，分类讨论转化，即可容易求得结果.【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，所以将原不等式转化为：或，从而得或故选：D【点睛】本题考查
7、分段函数不等式的求解，属简单题.二填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13. 若函数满足，则_.【答案】【解析】【分析】在函数中，令，解出的值，代入计算可求得的值.【详解】在函数中，令，可得，因此，.故答案为：.14. 若，则的最小值是_【答案】3【解析】【分析】配凑目标式，再利用基本不等式即可求得最小值.【详解】则，当时取“=”故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属简单题.15. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_.【答案】【解析】【分析】根据集合相等，结合集合的互异性，即可求得，则问题得解.【详解】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时，故只需或，若
8、，则集合不满足互异性，故舍去.则只能为.则.故答案为：.【点睛】本题考查集合相等求参数，以及集合的互异性，属综合基础题.16. 已知是上的减函数，那么的取值范围是_【答案】【解析】由题设可得不等式组，解之得，应填答案点睛：解答本题的关键是借助题设条件，建立不等式（组），容易出错的是忽视第三个不等式的建立，因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个，但第三个不等式更为必要，尤其是其中的等号也会考虑不到而致错三解答题(本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题应写出必要的解答或证明过程)17. 计算：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用公式
9、化简，求值；（2）根据分数指数幂的运算公式化简.【详解】（1）原式 ；（2）原式 18. 设集合U为全体实数集，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）或.； （2）.【解析】【分析】（1）当，求得集合或，根据集合的运算，即可求解；（2）根据，分类讨论，列出不等式（组），即可求解.【详解】（1）当，集合或，可得或，所以或.（2）因为，当时，可得，解得，此时满足；当时，要使得，则满足或，解得或，即，综上可得，实数a的取值范围.【点睛】根据集合的运算结果求参数的取值范围的分法：1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的运算能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素
10、之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；2、将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解；3、根据求解结果来确定参数的值或取值范围.19. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；（3）求函数在，的最大值和最小值【答案】（1）；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）最大值是，最小值是.【解析】【分析】（1）由分母求出函数的定义域；（2）判定函数的单调性并用定义证明出来；（3）由函数的单调性求出在，上的最值【详解】解：（1）函数，；，函数的定义域是；（2），函数在上是增函数，证明：任取，且，则，即，在上是增
11、函数；（3）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是【点睛】本题考查了求函数的定义域以及判定函数的单调性、求函数的最值问题，属于基础题20. 某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元.（1）求的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.【答案】（1）；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.
12、【解析】【分析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求的值；（2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可.【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为，每批购入的电视机的总价值为（元），所以保管费为（元）因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以，解得.（2）设每批进货台，则运费为，保管费为，所以支付运费与保管费的和为，因为，当且仅当，即时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查
13、数学建模的核心素养.21. 已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；（3）若在区间上的最小值为1，最大值为9，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）用顶点式先设函数的解析式，再利用求解未知量即可；（2）只需保证对称轴落在区间内部即可；（3）分三种情况讨论，结合二次函数的单调性，分别求出最值，再判断是否符合条件即可.【详解】（1）是二次函数，且（2）对称轴为，又由函数最小值为1，设，又（2）要使在区间，上不单调，则；（3）因为，所以，且的对称轴为，若，在区间，递减，不合题意；若，在区间，递减，在区间，递增，因
14、为，所以符合题意；若，在区间，递减，在区间，递增，因为，所以不合题意；综上，.【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论22. 已知f(x)，x(2，2)(1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2) 求证：函数f(x)在(2，2)上是增函数；(3) 若f(2a)f(12a)0，求实数a的取值范围【答案】(1) 见解析：(2) 见解析：(3)【解析】【详解】试题分析：（1）定义域 关于原点对称，同时满足f(x)=-f(-x)，所以是奇函数（2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，判断，下结论过程完成（3）由奇函数，原不等式变形为f(2a)f(12a)f(2a1)，再由函数单调性及定义域可知，解不等式组可解试题解析：(1) 解： f(x)f(x)， f(x)是奇函数(2) 证明：设x1，x2为区间(2，2)上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为2x1x20，x1x240，所以f(x1)f(x2)0，f(x1)0得，f(2a)f(12a)f(2a1)，因为函数f(x)在(2，2)上是增函数，所以即故a.
