1、第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第3课时圆锥曲线中的定点和定值问题A级基础过关|固根基|1.已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)由题意知，动点P到定点M(0，2)的距离等于到定直线y2的距离，所以根据抛物线的定义有x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.则x1x2y1y2
2、x1x28bb216，解得b4，所以直线AB恒过定点(0，4)2已知椭圆C：1(a0，b0)过A(2，0)，B(0，1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解：(1)由题意知，a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.因为c ，所以椭圆C的离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|2，PF2Q90，且PF2Q的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l不经过点A(0，1)，且与椭圆交于M，N两点，若以M
3、N为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由对称性易知四边形PF1QF2为平行四边形，又PF2Q90，所以PF1QF2为矩形，所以|F1F2|PQ|2，所以c1.因为SPF1F2SPF2Q1，所以|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2(2c)24，所以a22，所以b21，所求椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：设l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(2k21)x24kmx2(m21)0，则x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2m，y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2.综合题意知(x1，y11)(x2，y
4、21)0，即3m22m10.又直线不过A(0，1)，所以m1，所以m，所以l：ykx，故l必过定点.4.如图所示，椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线xa与yb交于点D，且|BD|3，过点B作直线l交直线xa于点M，交椭圆于另一点P.(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值解：(1)由题可得所以所以椭圆的标准方程为1.(2)证明：由(1)知A(2，0)，B(2，0)设M(2，y0)，P(x1，y1)，则(x1，y1)，(2，y0)直线BM的方程为y(x2)，即yxy0，代入椭圆方程x22y24，得x2x40，即(8y)x24yx4y320，由韦达定理得，2x1，所以x1，所以
5、y1，所以2x1y0y14，即为定值4.B级素养提升|练能力|5.已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，直线y与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DAAM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点解：(1)四边形ABPQ是平行四边形，|.|2|，|2|，则点B的横坐标为，点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b22.又c22，a24，即椭圆C的方程为1.(2)证明：设直线MN
6、的方程为yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2，4k)由消去y得(12k2)x28k2x8k240，则2x0，即x0，y0k(x02)，则N，设G(t，0)，则t2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DGAN，0恒成立(2t，4k)，(2t)4k0恒成立，即0恒成立，t0，点G是定点(0，0)6(2019届西安市八校联考)已知直线l：xmy1过椭圆C：1的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，证明：12为定值；(3)当
7、m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)因为l：xmy1过椭圆C的右焦点F，所以右焦点F(1，0)，即c1，即c21.因为x24y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，所以b，即b23，所以a2b2c24，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意知m0，由得(3m24)y26my90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为1，2，M，所以1(1x1，y1)，2(1x2，y2)，所以11，21，所以1222.综上所述，当m变化时，12为定值.(3)当m变化时，直线AE与BD相交于定点当m0时，直线lx轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N，证明如下：由(2)知，易知E(4，y2)，则.因为y2(y1)(y1y2)my1y2m0，所以，即A，N，E三点共线同理可得B，N，D三点共线则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.
