四川省仁寿第二中学2020届高三数学第三次模拟试题 理（含解析）.doc

1、四川省仁寿第二中学 2020 届高三数学第三次模拟试题 理（含解析）一选择题 1.已知集合2|160Ax x，|lg20Bxx，则 AB（）A.4,13,4 B.4,31,4 C.4,13,4 D.4,31,4 【答案】A【解析】求解二次不等式可得：|44Axx，求解对数不等式可得：31Bx xx或，结合交集的定义有：4,13,4AB.本题选择 A 选项.2.设i 为虚数单位，若复数 z 满足(1)2i zi，则复数 z （）A.1i B.1i C.1 i D.1i 【答案】D【解析】【分析】先由题意得到，21izi，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为(1)2i zi，所以2

2、12 1211112 iiiiiziiii.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3.612xx的展开式中的常数项为（）A.1516 B.1516 C.2116 D.2116【答案】B【解析】【分析】化简得到二项式的通项，求得 r 的值，即可求得展开式的常数项.【详解】由题意，二项式612xx的展开项通项为6626611CC22rrrrrrrxxx ，令602rr，解得4r，故常数项为44616 511521 21616C.故选：B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练应用二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4

3、.“cos0A”是“A 为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为 A 为锐角，所以0,2A，所以cos0A，所以“cos0A”是“A 为锐角”的必要条件；反之，当3,22A时，cos0A，但是 A 不是锐角，所以“cos0A”是“A 为锐角”的非充分条件.故“cos0A”是“A 为锐角”必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.5.若双曲线2214xym 的离心率为 2，则双曲线的标准方程为（）A.

4、221416xy B.221412xy C.22148xy D.22144xy 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为 2，24a，可得216c，从而求出2b 的值，即可得答案.【详解】解：因为2cea，24a 所以22416ca，因为222cab，所以212b，所以双曲线的标准方程为221412xy.故选：B【点睛】此题考查双曲线的方程和离心率，属于基础题.6.设函数 cos 26f xx，则下列结论正确的是（）A.f x 的一个周期为 2 B.f x 的图象关于直线对称12x C.f x 的一个零点是12 D.f x 在,2 2 单调递增【答案】B【解析】【分析】根据周期公式计算可知

5、，选项 A 错误；根据12 的余弦值可知，选项 B 正确且选项 C 错误；根据区间,2 2 的长度大于半个周期可知，选项 D 错误.【详解】因为22|2T，所以选项 A 错误；因为cos 21126，所以选项 B 正确；因为cos 21126，所以选项 C 错误；f x 的最小正周期为，在,2 2 内不可能是单调的，选项 D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 34，则判断框中应填入的条件是（）A.5?i B.5?i C.4?i D.4?i 【答案】D【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得

6、到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：1101 121 22Si ，；第二次循环：1122 1322 33Si，；第三次循环：2133 1433 44Si，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i？，故选 D【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题

7、时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 8.已知正三棱柱的高为2 3，它的六个顶点都在一个直径为 4 的球的球面上，则该棱柱的体积为（）A.2 33 B.2 3 C.3 32 D.92【答案】D【解析】【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径1r ，进而求得底面三角形的边长为 3，结合体积公式，即可求解.【详解】由题意可知球的半径2R，因为正三棱柱的高为2 3，则球心到三棱柱底面的距离3d，根据球的截面圆的性质，可得222Rdr，即2222(3)r，解得1r ，

8、棱柱底面与球的截面圆的半径1r ，三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为 3，所以三角形的面积为133 333224S，该棱柱的体积为3 392 342VS h.故选：D.【点睛】本题主要考查了棱柱的体积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中合理应用求得性质，以及正三角形内切圆的性质，结合棱柱的体积求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.已知nS 是数列 na的前 n 项和，且点,nna S在直线3210 xy 上，则43SS （）A.157 B.4013 C.112 D.3【答案】B【解析】【分析】由题得 3210nnaS，利用1(2)nnnaSSn，求出13(2n

9、naan且)nN，11a ，从而判断出数列 na是等比数列.再利用等比数列求和公式，即可求出比值.【详解】点,nna S在直线3210 xy 上，3210nnaS，当2n 时，113210nnaS，两式相减，得：13(2nnaan且)nN，又当1n 时，113210aS，则11a ，na是首项为 1，公比为 3 的等比数列，1(1 3)311 32nnnS，443331403113SS.故选：B.【点睛】本题考查了数列中由nS 与na 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.10.已知1F，2F 是双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左，右焦点，其

10、半焦距为c，点 P 在双曲线 E 上，1PF 与 x 轴垂直，1F 到直线2PF 的距离为 23 c，则双曲线 E 的离心率为（）A.2 B.3 C.32 D.2【答案】A【解析】【分析】在焦点三角形12PF F 中，可通过解直角三角形得到1223 2,22PFc PFc，结合双曲线的定义可求,a c 的关系式，从而得到所求的离心率.【详解】因1PF 与 x 轴垂直，所以12PFF为直角三角形且直角顶点为1F.因为122F Fc，1F 到直线2PF 的距离为 23 c，故21213sin23cPF Fc.因为21PF F为锐角，故212 2cos3PF F，212tan4PF F.在12Rt

11、PFF中，121222tan242PFcPF Fcc，22123 2cos2cPFcPF F.由双曲线的定义可得2122aPFPFc，故2cea.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解决此类问题的关键是利用题设条件构建关于,a b c的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,a b c 的不等式或不等式组.11.已知函数 22 sinsin22f xxxaxx 有奇数个零点，则a （）A.232 B.216 C.132 D.116【答案】A【解析】【分析】易得 2fxfx，函数关于直线4x对称，结合函数有奇数个零点，可 得04f，建立

12、方程求得 a 的值即可.【详解】22 sinsin22222fxxxaxxf x，所以函数 yf x关于直线4x对称，函数有奇数个零点，则有04f，即22 sinsin242444a，化简得：222016a，解得232a.故选：A.【点睛】本题考查函数零点，解题关键是得出函数图象关于直线4x对称，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.12.在矩形 ABCD 中，1AB ，3AD，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若APABADuuuruuuruuur，则的最小值为（）A.3 B.1 C.-1 D.3【答案】C【解析】分析】以 A 为原点，直线 AB，AD 为 x，y 轴

13、建立平面直角坐标系，求出圆C 的标准方程，可得 P 的坐标的参数 形式，再由 APABADuuuruuuruuur用坐标表示，这样就可表示为 的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值【详解】以 A 为原点，直线 AB，AD 为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则(1,0)B，(1,3)C，(0,3)D 直线:33EDlxy，圆 C 与直线 BD 相切，所以圆 C 的半径2233332(3)1rd，圆 C 的方程为223(1)(3)4xy，设点331cos,3sin22P，即331cos,3sin22AP，又 APABADuuuruuuruuur3（，），31cos2333sin2，所以313

14、11cos1sincossincos122226 .即52,6kkZ时，取得最小值 1 故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量 AP 用两种不同方法表示，从而把表示为参数 的三角函数，利用三角函数知识求得最小值 二填空题 13.设等比数列 na满足5648aa，5748aa，则1a _.【答案】1【解析】【分析】依题意得到方程组解得即可；【详解】解：等比数列 na，有451146114848a qa qa qa q，两式相除可得111 q ，所以2q=，代回可得11a .故答案为：1【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的运算，属于基础题.14.已知抛物

15、线 C：22ypx，则抛物线 C 与过焦点 1,04且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积为_.【答案】16【解析】【分析】先由焦点坐标求出12p，从而可得抛物线的方程2yx，然后利用定积分的几何意义求出所求图形的面积即可.【详解】解：因为抛物线的焦点为,02p，所以12p，所以抛物线方程为2yx，所以所求面积133422012414112d243343860Sxxx，故答案为：16【点睛】此题考查抛物线的定义，利用定积分求曲边图形的面积，属于基础题.15.已知2sin,1ax，cos3sin,bxx m，函数 f xa b，若对于任意的 f x都有 2280fxf x 恒成立，则实数 m

16、的取值范围为_.【答案】3,23 【解析】【分析】根据向量数量积的运算公式化简 2sin 233f xxm，并求函数的值域，并且根据不等式求 f x 的范围，转化为子集关系求实数m 的取值范围.【详解】22sincos2 3sinsin 23 cos23f xxxxmxxm 2sin 233xm，f x 的值域为32,32mm，要使 2280fxf x 恒成立，即 2,4f x ，所以322324mm，解得3,23m .【点睛】本题考查向量数量积与三角函数的恒等变形，以及性质，根据不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.16.下列推理正确的是_.Al，A

17、，Bl，Bl l，mlm l，AlA Al，lA /l ，/ml m【答案】【解析】【分析】由平面的性质：公理 1，可判断；由线面垂直的定理可判断；由线面的位置关系可判断；由直线与平面平行的性质定理可判断.【详解】解：Al，A，Bl，BAB，即l，故对；l，mlm，故对；l，Al，可能 l 与 相交，可能有 A，故不对；Al，l，必有故 A，对；/l ，m，则 l，m 可能平行，也可能异面，不对，故答案为：.【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，属于基础题.三解答题 17.在 ABC中，角,A B C 的对边分别是,a b c，ABC的面积为23sinaA，且1coscos6BC.（1）求

18、角 A 的值；（2）若33bc，求 a 的值.【答案】（1）3A；（2）3a.【解析】【分析】（1）利用面积公式和正弦定理可得2sinsin3BC，结合1coscos6BC 及两角和的余弦可得cos A的值，从而求出 A 的值.（2）利用余弦定理可得233 3abc，再根据面积及正弦定理可求bc 与a 的关系，从而可关于 a 的方程，解方程后可得 a 的值.【详解】解：（1）由题意得：21sin23sinabcAA，由正弦定理得：2221(2)sin(2)sinsinsin23sinRARBCAA（R 为 ABC外接圆的半径）2sinsin3BC，1coscos()coscossinsin2A

19、BCBCBC ，0,A，3A.（2）由正弦定理可得2 323sin 3aRa，又21sin3sin2abcAA，故223339sin2248abcAb cbc .由余弦定理得：2222222cos()33abcbcbcbcbcbc 222883333333393abcaa，3a.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，一般地，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.本题属于中档题.18.期中考试后，老师把学生的成绩分为较低及格(不含优秀)优秀三类，制成下表.类别 较低 及格 优秀 人数 7 a b 其中低分率与

20、优秀率分别是14%与8%.（1）求全班人数及a，b 的值；（2）老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数 X 的分布列及数学期望.【答案】（1）全班人数为 50 人，39a，4b；（2）分布列见解析，1211E X.【解析】【分析】（1）根据低分率和较低人数求得全班人数，再根据优秀率求得b，最后求得a 即可.（2）由题知需要家访的共 11 人，其中成绩优秀的有 4 人，依题意可得 X 所有可能的取值为0,1,2,3，分别求出相应取值的概率，最后求得 E

21、X即可.【详解】解：（1）7 14%50，50 8%4b，504739a.（2）需要家访的共 11 人，其中成绩优秀的有 4 人，依题意可得 X 所有可能的取值为0,1,2,3.37311C70C33P X；2174311C C281C55P X；1274311C C142C55P X；34311C43C165P X，X 0 1 2 3 P 733 2855 1455 4165 72814412012333555516511E X .【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题.19.如图，在四面体 ABCD 中，ABC直角三角形，且有 ABAC，ACD为

22、正三角形，且有CDAB.（1）证明：平面 ACD 平面 ABC；（2）延长 BD 到点 E，使用得C AEDC ABDVV，求二面角 AECB的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2 77.【解析】【分析】（1）由已知可知 ABAC，又由于 CDAB，可得 AB 平面 ACD，从而可证平面ACD 平面 ABC；（2）由C AEDC ABDVV得 BDDE，然后如图以 A 为原点，CA 方向为 x 轴正方向，AB 方向为 y 轴正方向，建立空间直角坐标系，若设 ABa=，则表示出图中点的坐标，求出平面 ACE和平面 BCE 的法向量，利用空间向量可求出二面角 AECB的余弦值.【详解】（1）

23、ABC 是直角三角形，ABAC，所以 ABAC，又CDAB，ACCDC，所以 AB 平面 ACD，AB 平面 ABC，平面 ACD 平面 ABC.（2）C AEDC ABDVV，两个三棱锥的高都可以是点 C 到平面 ABD的距离，所以ABD与 ADE 的面积相等，即可得出 BDDE，以 A 为原点，CA 方向为 x 轴正方向，AB 方向为 y 轴正方向，建立如图的空间直角坐标系，设 ABa=，则 0,0,0A，0,0Ba，,0,0Ca，3,0,22aaD，,3Eaaa，所以有,3AEaaa，0,3CEaa，,0CBa a，设向量111,mx y zr是平面 ACE 的一个法向量，则00m AE

24、m CE，即111113030axayazayaz，令13y，则0,3,1m；同理设向量222,nx y zr是平面 BCE 的一个法向量，则00n CBn CE ，即2222030axayayaz.，令21z ，则3,3,1n ，所以42 7cos,|727m nm nmn，且二面角 AECB为锐角，所以二面角 AECB的余弦值为 2 77.【点睛】此题考查空间图形中证面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，考查了运算能力，属于中档题.20.已知抛物线 C：24xy，过0,1点的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，圆 M 以线段 AB 为直径.（1）证明：圆 M 与直线1y 相切；（2

25、）当圆 M 过点 2,3P，求直线 l 与圆 M 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2 直线 l 的方程为10 xy，圆 M 的方程222316xy或直线 l 的方程为330 xy，圆 M 的方程222114003981xy.【解析】【分析】（1）由题可知直线 l 的斜率存在，设线为1ykx，与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系，从而可求出圆心坐标，然后利用弦长公式求出 AB 的长，可得半径的长，再求圆心到直线1y 的距离，即可证明结论；（2）由（1）可得圆方程为2222222122xkykk，由于圆过点 2,3P，所以将点 2,3P的坐标代入圆方程中可求出k 的值，从而可求出

26、直线 l 与圆 M 的方程.【详解】（1）直线 l 过抛物线 C 的焦点，且交抛物线于 A，B 两点，所以直线的斜率一定存在，可设直线为1ykx，与抛物线联立有2440 xkx，124xxk，124x x ，则有21212244AByypk xxpk，圆 M 的半径为222k，AB 的中点即圆 M 的圆心为22,21kk，圆心到直线1y 的距离为222k 等于圆 M 的半径，所以在圆 M 与直线1y 相切.（2）由（1）知圆 M 的方程可写为2222222122xkykk，把点 2,3P代入后得23210kk，解得1k 或13k.当1k 时，直线 l 的方程为10 xy，圆 M 的方程2223

27、16xy；当13k 时，直线 l 的方程为330 xy，圆 M 的方程222114003981xy.【点睛】此题考查抛物线与直线的位置关系，圆与直线的位置关系，点与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题.21.已知函数 lnf xxxm.（1）若 0f x 恒成立，求 m 的最大值；（2）设 a 为整数，且对于任意正整数 n，1111111 22 31ann，求 a的最小值.【答案】（1）1；（2）3.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值(1)1fm，由题意可得 m 的最大值；（2）由(1)可得1x 时，1lnxx，令11(1)xn n 对此11ln(1)(1

28、)(1)n nn n进行放缩，最后利用裂项相消法求出a 的最小值.【详解】（1）1()1xfx，当(0,1x，()0f x，()f x 为减函数；当(1,)x，()0fx，()f x 为增函数，所以()f x 在1x 处取得最小值，且(1)1fm，因为 0f x 恒成立，所以10m，即1m 所以 m 的最大值为 1.（2）由（1）知当1x 时，1lnxx，令11(1)xn n，则有11ln(1)(1)(1)n nn n，即有111111ln(1)ln(1)ln(1)1 22 3(1)1 22 3(1)n nn n，即有11111111ln(1)(1)(1)11 22 3(1)22311nn n

29、nnn，即1111(1)(1)(1)1 22 3(1)nneen n，对任意*nN 恒成立，又11111(1)(1)(1)(1)(1)21 22 33 44 55 6，所以整数 a 的最小值为 3.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的取值问题.22.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程1 cossinxy（为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 2 sin3 33，射线:3OM 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ

30、 的长.【答案】（1）2cos；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cossin 对圆 C 的参数方程1xcosysin（为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐标方程（2）设11P（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11，；设22Q（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22，可得 PQ 【详解】（1）圆 C 的普通方程为2211xy，又cosx，siny 所以圆 C 的极坐标方程为2cos.（2）设 11,，则由23cos解得11 ，13，得1,3P；设22Q,，则由2 sin3 333解得23，23，得3,3Q；所以Q2【点睛】本

31、题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知函数()|()f xxaaR（1）若关于 x 的不等式()|21|f xx的解集为1 3,3，求a 的值；（2）若不等式2()|2f xxaaa恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）2a（2）,04,)【解析】【分析】（1）对|21|xax 平 方 处 理，由 题 可 得13,3是 关 于 x 的 方 程2232(2)10 xa xa 的两根，利用韦达定理即可得解；（2）根据绝对值三角不等式求解最值解决恒成立问题.【详解】（1）()|21|f xx，即|21|xax，两边平方并整理得2232(2)10 xa xa，由已知13,3是关于 x 的方程2232(2)10 xa xa 的两根，由韦达定理得242133311(3)33aa ，又因为224(2)12 10aa，解得2a.（2）因为()|()()|2|f xxaxaxaxaxaa，所以不等式2()|2f xxaaa恒成立，只需22|2aaa，当0a 时，222aaa，解得4a 或0a；当0a 时，222a aa，解得0a.综上可知实数 a 的取值范围是,04,)【点睛】此题考查根据不等式的解集求参数的取值，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及绝对值三角不等式.