1、2020-2021 学年第二学期广东省东莞市东莞高级中学高三 3 月模拟考试数学试题一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1.集合，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 2.在复平面内，复数 （i为虚数单位）对应的点的坐标为 （ ）A. B. C. D. 3.已知 a，b，那么“”是“”成立的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 5.一块由 5 根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、蓝、绿、紫 5 种颜色的光，则在
2、某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为（ ） A. B. C. D. 6.在一次试验中，测得的四组值分别是 ，则 Y 与 X 之间的回归直线方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为 （ ）A. 2 B. 0 C. D. 8.函数在区间上的零点个数是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是 （ ） A. 若且，则B. C. 若，且，则D.10.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若数列满足，则称数列为斐波那
3、契数列，又称黄金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若对任意，且，都有，则 为 R 上减函数 B. 若 为 R 上的偶函数，且在内是减函数， ，则 解集为 C. 若 为 R 上的奇函数，则也是 R 上的奇函数 D. 若一个函数定义域且的奇函数，当 时，则当时 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 阿基米德公元前 287 年公元前 212 年，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“
4、圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，则该圆柱的内切球体积为_ 14. 已知函数的最大值为 2，则 的最小正周期为_ 15. 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为.若直线与椭圆 C 的一个交点 M 满足，则该椭圆的离心率等于_ 16. 已知函数，且，则 a 的取值范围是_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知数列是等比数列，公比，前 n 项和为，若. （1）求的通项公式； （2）设，若恒成立，求 m 的最小值 18. 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，又 sinA，sinC
5、，sinB 成等差数列 （）求的值； （）若，求 c 的值 19. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为.（1）当每人射击 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60分，射中目标 1 次得 10 分，没有射中目标得 分用随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，求 X 的分布列及数学期望 20. 如图四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，且，
6、E 为 PD 中点 （1）求证：平面 ABCD； （2）求二面角的余弦值 21. 已知函数.（1）求函数 的极值点； （2）设，若的最大值大于，求 a 的取值范围 22. 已知双曲线的左、右焦点分别是，P 是双曲线右支上一点，垂足为点 H，（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率 e 的取值范围 2020-2021 学年第二学期广东省东莞市东莞高级中学3 月模拟考试数学试题答案和解析1. 【答案】C 因为，所以，排除A，B;因为，所以 ，所以 2.【答案】D 解：由 所以复数对应的点的坐标为 3.【答案】D 若“”推不出“”，如，不是充分条件，若“”推不出“”，如，不是必要条件
7、， 4.【答案】C 解：因为函数，所以，所以，则，所以函数 在点处的切线斜率为 1，所以切线方程为，化简得 5.【答案】C 解：首先从五根灯管中选出两根为红色，五根灯管记为 a，b，c，d，e，从五根灯管中选出两根有，10 种情况，其他三根不能是红色，则其他三根有四种颜色可选， 故所求概率为 ， 6.【答案】A 解：由题设，可得：回归直线方程经过点，经计算， ，将点 分别代入计算，可得符合 7.【答案】C 解：在中，令 ，可得，再令，可得，. 8.【答案】C【解析】解：令，可得 或或， ，则，可取的值有 0，1，2，3，4，方程共有 6 个解， 函数在区间上的零点个数为 6 个， 9.【答案】
8、ACD 解：A.若且，当时，为非零向量时，则不一定有， 故 A 不正确；B.，向量的数量积满足分配率，故 B 正确；C.当时，满足且 ，但，故 C 不正确； D.的结果是一个与共线的向量，的结果是一个与共线的向量，而不一定共线，更不一定相等，所以 D 不正确， 10.【答案】AD 根据正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边， 所以，BC 错误；又越小数据越集中，图象越瘦长，所以， 11.【答案】AB 因为， 所以，所以 A 正确； ，所以 C 不正确； ， 又， 所以，所以 B 正确； ， 但，所以，所以 D 不正确 12.【答案】AC 解：对于 A，若对于任意且，都有， 即当时，则 为 R
9、上的减函数，则 A 正确； 对于 B，若 为 R 上的偶函数，且在内是减函数， 则 在上递增， 则即为，即有，解得或，则 B 错； 对于 C，若 为 R 上的奇函数， 则 ， 即有是奇函数，则 C 正确； 对于 D，当时， 当 时，则，故，故 D 错误 13.【答案】设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的高为 2r，所以圆柱的表面积为：，解得：，所以圆柱的体积为：，根据阿基米德的结论， 该圆柱的内切球体积为：， 14.【答案】 解：因为函数，其中，所以根据题意得，解得， 所以， 15.【答案】如下图所示，则可知直线的倾斜角为，且过点，故填： 16.【答案】解： 解： 函数为奇函数，又 ， 由 的图象
10、知，在上单调递增， 由，得 ，得，解得 17.【答案】解： （1）.解得，或（舍去）故， （2）由（1）可知单调递增， 当，若恒成立，的最小值为 8 18.【答案】解：（）中，sinA，sinC，sinB 成等差数列， ,由正弦定理得， 又，可得， ,;() 中，由， 得， ,解得 19.【答案】解：（1）由题知，该射击小组有两次没有命中目标， 若两次都是男选手没有命中目标，则其概率为， 若男女选手各有一次没有命中目标，则其概率为 若两次都是女选手没有命中目标，则其概率为， 所以该射击小组共射中目标 4 次的概率为 （2）X的可能取值为 100，60，10， ，,所以 X 的分布列为 1006
11、010故 X 的数学期望 20.【答案】(1)证明：底面 ABCD 为正方形， ,又，AB，平面 PAB， 平面 PAB， 又平面 PAB，同理， 又平面 ABCD， 平面 ABCD； (2)解：建立如图的空间直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则，设为平面 ABE 的一个法向量， 又,令，得，同理是平面 BCE的一个法向量，则 ， 二面角的余弦值为 21.【答案】解：(1)函数的定义域为， 令得， 时，函数 单调递增， 时，函数 单调递减， 的极大值点为，无极小值点， (2),令，得, 时，函数单调递增， 时，函数单调递减， 由，得， 令，,单调递增， 而， 即，得， 实数 a 的取值范围为 22.【答案】解：当时，代入双曲线可得 由相似三角形知，,(1)当时，双曲线渐近线方程为;(2)，在上单调递增函数时，最大3，时，最小，,.
