1、第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形答案:A2.一长方体木料,沿图所示平面EFGH截长方体,若ABCD,那么图所示的四个图形中是截面的是()图图解析:因为AB,MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB,MN无公共点,又AB,MN在平面EFGH内,故ABMN,同理易知ANBM.又ABCD,
2、截面必为矩形.答案:A3.如图所示,OAB是水平放置的OAB的直观图,则OAB的面积是()A.6B.32 C.62 D.12解析:OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案:D4.若球的表面积为16,则用与球心距离为3的平面截球所得的圆的面积为()A.4B.3 C.2 D.解析:如图所示,由球的表面积为16,可得球的半径R=2.设截面圆的半径为r,球心到截面的距离为h,则R2=h2+r2,r2=R2-h2=4-3=1.截面圆的面积为S=r2=.答案:D5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+4解析:由题中所给三视图可知,
3、该几何体是一个半圆柱,故该几何体的表面积为12212+21212+22=3+4.答案:D6.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若mn,m,n,则C.若mn,m,则nD.若mn,m,n,则解析:满足选项A,B条件的两个平面也可能相交;选项C中n也可能在平面内;故选D.答案:D7.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为()A.73 m3 B.92 m3C.72m3 D.94 m3解析:由三视图可知,原几何体如图所示,故V=313+1213=3+12=72(m3).答案:C8.已知平面平面,=l,则下列命题中错误的是()
4、A.如果直线a,那么直线a必垂直于平面内的无数条直线B.如果直线a,那么直线a不可能与平面平行C.如果直线a,al,那么直线a平面D.平面内一定存在无数条直线垂直于平面内的所有直线解析:A选项中直线a必定与平面内无数条平行直线垂直,故正确;B选项中如果a,al,则a,故错误;由面面垂直的性质定理可知C选项正确;在平面内,垂直于交线l的直线,都垂直于平面,也就垂直于平面内的所有直线,故D选项正确.答案:B9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1解析:由BDAC,BDAA1易知BD平面A1ACC1,而
5、CE平面A1ACC1,则BDCE.故选B.答案:B10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,O是AC与BD的交点,平面OEF与平面BCC1B1相交于直线m,平面OD1E与平面BCC1B1相交于直线n,则直线m,n的夹角为()A.90B.60C.30D.0解析:因为E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,O是AC与BD的交点,所以平面OEF与平面BCC1B1相交于CF,即直线m;延长D1E交C1B1的延长线于点M,延长D1O交B1B的延长线于点N,连接MN,平面OD1E与平面BCC1B1相交于MN,即直线n,因为EFCO,所以四边形EFCO为平行四边形,
6、所以CFEO,所以CF平面OD1E,所以CFMN,即mn,所以直线m,n的夹角为0.答案:D11.已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E且垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0x1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为()解析:可以求出函数解析式,画出图像,也可以采取估值的方法,不求出具体的函数表达式,利用直观的图形变化和图形特点做出判断.当0x12时,观察题图可知,随着x的增大,V(x)单调递减,且减少的速度越来越快;当12x1时,观察题图可知,随着x的增大,V(x)单调递减,且减少的速度越来越慢,再观察各选项中
7、的图像,发现只有A中的图像符合以上变化规律,故选A.答案:A12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等解析:由正方体ABCD-A1B1C1D1得B1B平面AC,ACB1B,又ACBD,BDB1B=B,AC平面BDD1B1,BE平面BDD1B1,ACBE,故A正确.B1D1BD,B1D1平面ABCD,BD平面ABCD,B1D1平面ABCD,EF平面ABCD,故B正确.VA-BEF=1312AC12BB1EF=13
8、121222=224.三棱锥A-BEF的体积为定值,故C正确.因线段B1D1上两个动点E,F,且EF=12,当E,F移动时,点A到EF的距离与点B到EF的距离不相等,AEF的面积与BEF的面积不相等,故D不正确.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为163,则a=_.解析:依题意,12aa32a=163,解得a=4.答案:414.一个圆柱和一个圆锥的底面直径及高都与某一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设底面半径为r,则圆柱和圆锥的高h=2r,V圆柱=r22r=2r3,V圆锥=13r22r
9、=23r3,V球=43r3,所以V圆柱V圆锥V球=312.答案:31215.设P为一圆锥的顶点,A,B,C是其底面圆周上的三点,满足ABC=90,M为AP的中点,若AB=1,AC=2,AP=2,则二面角M-BC-A的正切值为_.解析:由ABC=90知,AC为底面圆的直径.如图所示,设底面圆的圆心为O,连接PO,则PO平面ABC,易知AO=12AC=1,PO=AP2-AO2=1.设H为点M在底面上的射影,则H为AO的中点.在底面作HKBC于点K,连接MK,则BC平面HMK,所以MKBC,从而MKH为二面角M-BC-A的平面角.因为MH=12PO=12,HKAB,所以HKAB=HCAC=34,即H
10、K1=34,解得HK=34,所以tanMKH=MHHK=23,故二面角M-BC-A的正切值为23.答案:2316.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=BD=2,且ACBD,则四边形EFGH的面积为.解析: 如图所示,由题意易判断EHFG12BD,所以EH=FG=1,同样有EFGH12AC,EF=GH=1,又BDAC,所以EFEH,所以四边形EFGH是边长为1的正方形,其面积S=12=1.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆台的一个底面
11、周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解作出圆台的轴截面如图所示.设OA=r,因为一底面周长是另一底面周长的3倍,所以OA=3r,SA=2r,SA=32r,OO=2r.由轴截面的面积为12(2r+6r)2r=392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为142.18.(12分)在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明(1)由AS=AB,AFSB,知F为SB的中点,
12、又E,G分别是棱SA,SC的中点,EFAB,FGBC.又EFFG=F,ABBC=B,平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC,AFSB,平面SAB平面SBC=SB,知AF平面SBC,AFBC.又BCAB,AFAB=A,BC平面SAB.又SA平面SAB,BCSA.19.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明由已知得AM=23AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=1
13、2BC=2.又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解 因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13SBCMPA2=453.20.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABC
14、D的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.分析在第(1)问中,由三视图可知,四面体ABCD中棱DA,DB,DC的位置关系以及这三条棱的长度,然后套用锥体体积公式可求得该四面体的体积;在第(2)问中,应先证四边形EFGH为平行四边形,这可由线面平行的性质定理证得,然后再证两相邻边垂直,这可由线面垂直的性质证得.(1)解由该四面体的三视图可知,四面体ABCD如图所示,且BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面BDC.四面体的体积V=1312221=23.(2)证明BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH.FGEH.同
15、理EFAD,HGAD,EFHG.四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC,ADBC.EFFG.四边形EFGH是矩形.21.(12分)如图所示,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)求证:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.因为PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G
16、是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的
17、体积V=1312222=43.22.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC=BC=AA1=a,ACB=90,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D平面A1B1BA.(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1平面C1DF?并证明你的结论.(1)证明AC=BC,ABC和A1B1C1均为等腰三角形,A1D=DB1,C1DA1B1.AA1底面A1B1C1,AA1C1D,又AA1A1B1=A1,C1D平面A1B1BA.(2)解当点F与点B重合时,AB1平面C1DF.证明如下:由(1)可得C1DAB1,若要使AB1平面C1DF,只要DFAB1即可.ACB=A1C1B1=90,且AA1=AC=BC=a,A1B1=2a.DEB1AA1B1DB1F,DB1AA1=B1FA1B1,B1F=a, 即当点F与点B重合时,AB1平面C1DF.
