1、齐 鲁 中 学 联 盟 2022 年 3 月 份 高 一 阶 段 性 质 量 检 测 数 学 试 题 命题学校：历城二中 审题学校：广饶一中 一、单项选择题：（本大题共 8 小题；每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）1已知平面向量,a b，且|2,2aba b，向量 c 满足|22|cabab，则|()cbR的 最大值为（）A 2 22B 2 32C 2 32D 2 32已知不共线的平面向量 m，n，a 满足2m，3n，2mnmn，且1a m.则 m 与 n 的夹角的取值范围为（）A(0,22 B(36,22 C(0,36 D(22,32 3已
2、知向量 a 与b 的夹角为120，且2a b ，向量 c 满足 101cab，且 a cb c，记向量 c 在向量 a 与b 方向上的投影分别为 xy.22xyxy的最大值为（）A14B2 C 34D 54 4如图所示，在平面四边形 ABCD 中，已 知222ABDSADBDAB，BADBCD，ABCBCD，记 BD的中垂线与 AC 的中垂线交于 一点 P，恰好CP为ACB的角平分线，则|2=（）A141434B342 1717C18D282 17175在中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c，设的面积为 S，则24Sabc的最大值为（）A216B312C316D2186设12,x
3、x 是实系数一元二次方程20axbxc 的两个根，若1是虚数，122是实数，则(1 2)2022=（）A 0B 1C 2D1 7在三棱锥 P-ABC 中，顶点 P 在底面的射影为 ABC 的垂心 O（O 在 ABC 内部），且 PO 中点为 M，过 AM 作平行于 BC 的截面，过 BM 作平行于 AC 的截面，记 a，与底面 ABC 所成的锐二面角 分别为 1，2，若PAMPBM，则 A若 12，则ACBC的值为()A12B.1C 14D13 8.已知三棱锥 P-ABC 三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=6，M、N 分别为该三棱锥的 内切球和外接球上的动点则线段
4、 MN 的长度的最小值（）A23 3B6 23C 43 6D23二、多项选择题：（本大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分。每小题有多个选项符合题目要求。全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分）9已知三棱柱111ABCA BC为正三棱柱，且 A12,2 3AAB，D 是11B C 的中点，点 P 是线段1A D 上的 动点，则下列结论正确的是（）A四面体11ABC B外接球的表面积为 20B若直线 PB 与底面 ABC 所成角为，则 sin 的取值范围为1 2 7,27C若12A P，则异面直线 AP 与1BC 所成的角为 4D若过 BC 且与 AP 垂直的截面
5、与 AP 交于点 E，则三棱锥 PBCE 的体积的最小值3210“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 O 是 ABC 内的一点，BOC、AOC、AOB 的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC.若 O 是锐角 ABC 内的一点，BAC、ABC、ACB是 ABC 的三个内角，且点O 满足OA OBOB OCOC OA，则（）AO 为 ABC 的垂心BAOBACBCsin:sin:sin:OAOBOCBACABCACBD tantantan0BA
6、C OAABC OBACB OC8 题图9 题图11 如 图，在 棱 长 为 3 3 的 正 方 体1111ABCDA B C D中，点 P 是 平 面11A BC 内 一 个 动 点，且 满 足15 2 13DPPB，则下列正确的是（）（参考数据：4sin535，3sin375）A1PBB DB点 P 的轨迹是一个圆C直线1B P 与平面11A BC 所成角为 53D设直线1B P 与直线1AD 所成角为，则 3790 12意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17 世纪人们把 卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程
7、322100 xa xa xa 中的 x 用23ax 来替换，得到方程30 xpx q；第二步，利用公式333223xyzxyzxyzxyzxyz将3xpxq因式分解；第三步，求得 y，z 的一组值，得到方程30 xpx q 的三个根：yz ，2yz，2yz（其中13i2，i 为虚数单位）；第四步，写出方程322100 xa xa xa 的根：213axyz，2223axyz，2233axyz.某同学利用上述方法解方程3281242550 xxx时，得到 y 的一个值：1 i ，则下列说法正 确的 是（）A232a B2yz C2132x D313x 三、填空题(本大题共 4 小题；每小题 5
8、 分，共 20 分。)13已知正方形OABC，6OA，3OCOM，OFtOA，0,1t，点 O 关于直线 FM 对称的点 为N，则 NB NC的最小值为_.14已知实数 x、y 满足(1+1+)=54且(1 1+)=334，则 x _15在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别为 BD1、B1C1 的中点，点 P 在正方体表面上运动，且满足 MPCN，点 P 轨迹的长度是_.16已知等边的边长为 23，M、N 分别为 AB、AC 的中点，将沿 MN 折起得到四棱锥 AMNCB点 P 为四棱锥 AMNCB 的外接球球面上任意一点，当四棱锥 AMNCB 的体积最大时，P
9、 到平面 MNCB 距离的最大值为_.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题 10 分)已知复数 22223 i,Rzmmmmm，其中 i 为虚数单位（1）若复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限，求 m 的取值范围；（2）若 z 满足4i9 12iz zz，求 m 的值18(本题 12 分)如图，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，ABC=3，B1BD=6，11,B BAB BC 11122,3ABABB B（1）求证：直线 AC平面 BDB1；（2）求直线 A1B1 与平面 ACC1 所成角的正弦值.
10、19(本题 12 分)设ABC 中 角,A B C 所 对的 边 分 别为,a b c AD 为 BC 边上 的 中 线，已 知1c 且1212 sincossinsinsin,cos47cABaA bBbCBAD.（1）求 b 边的长度；（2）求 ABC 的面积；20(本题 12 分)已知正三棱锥 PABC，顶点为 P，底面是三角形 ABC.(1)若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为18，设质点 W 自 A 出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直 至回到出发点 A，求质点移动路程的最小值；(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以 P 为顶点，以三角形 ABC 内切圆为底面的圆锥的体积；21(本题
11、 12 分)已知函数 sin0,0f xx的最小正周期为，且直线2x 是其图象的 一条对称轴（1）求函数 f x 的解析式；（2）在 ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 A B C，cosaB，若 C 角满足 1f C ，求abc 的取值范围；22(本题 12 分)如图，在斜三棱柱111ABCA BC中，ACBC，D 为 AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平 面111A BC 平面11ABB A，异面直线1BC 与1AB 互相垂直.（1）求证：平面1/A DC平面11BDC；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为 x，116ACAB，三棱锥1AACD的体积
12、为 y，试写出 y 关于 x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当1CC 与平面11ABB A 的距离为多少时，三 棱 锥1AACD的体积取得最大值？并求出最大值.齐 鲁 中 学联 盟 2022 年 3 月份 高 一 阶 段性 质 量 检 测 数 学 试 题 参 考 答 案 一、选择题：123456789101112CBCBADBCABD ABD ABD ABC 二、填空题：13.0 14.116 15.25 a 16,1312 三、解答题：17.解：（1）复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限，2220230mmmm，解得：21m ，所以 m 的取值范围是 21m 4 分 （2）设i,
13、Rzxy x y，4i9 12iz zz，224ii9 12ixyxy，5 分 即2244 i9 12ixyyx，2249412xyyx，6 分 30 xy或34xy，3z 或3 4iz .8 分 22223zmmmmi，当3z 时，2223230mmmm，无解；9 分 当3 4?z i 时，2223234mmmm，解得1m ，综上可知：1m 10 分 18.（1）连 接,AC BD交于O，因为 BCBA，11B BAB BC，11B BBB，所以11B BCB BA，故11B ABC1 分 又因为O为菱形对角线交点，即是线段 AC 的中点，所以1BOAC 2 分 又四边形 ABCD为菱形，故
14、 ACBD3 分 而1BOBDO，所以 AC 平面1BDB 4 分 方法二：因为11B BAB BC，所以点1B 在平面 ABCD内的射影O在为ABC的平分线，又四边形 ABCD为菱形，故 BD为ABC的平分线，则O直线 BD 2 分 故平面1BDB 平面 ABCD，而平面1BDB平面ABCDBD，3 分 又四边形 ABCD为菱形，故 ACBD 所以 AC 平面1BDB 4 分（2）延长1111,AA BB CC DD 交于点 P，平面1BDB 即为平面BDP，平面1ACC 即平面 ACP 由（1）得平面 ACP 平面 BDP，OP 平面 ACP平面BDP，所以过1B 做1B HOP，则1B
15、H 平面 ACP，故11B A H即为直线11A B 与平面1ACC 所成角（若研究直线 AB 与平面1ACC所成角的正弦值则线段等比例扩大 2 倍结果不变）6 分 因为四棱台1111ABCDA BC D中1122ABAB，所以111A B ，6BP 由菱形有2ABBC，且ABC=3，所以2 3BD，8 分 作 PGBD，因为16B BD，则3 3BG，3PG ，所以2221POBGPG，9 分 则cosBPO3621 32 621 92 21，7sin14BPO，13 714B H，10 分 故111113 7sin14B HB A HB A.12 分 19.（1）12 sincossins
16、insin4cABaAbBbC，由正弦定理：2212cos4caBabbc，2 分 由余弦定理：2222221124244cabcaabbccbcbcac,c=1，4b.4 分（2）因为 D 为中点，所以1()2ADABAC，设,AB AC 的夹角为，222211178cos|22cos222ADABACAB ACcbbc 6 分 又2211cos14cos()2222ccbAB ADABABACABAB AC，211 4coscos7178cos|AB ADBADABAD，8 分 即228cos8cos110，9 分 解得1cos2 或11cos14 ，又14cos0，所以1cos2，易得3
17、sin2，11 分 ABC的面积为 14 1 sin32 .12 分 20.(1)如图沿侧棱 PA 将三棱锥的侧面展开如图，则 AA即为质点移动路程的最小值，由题意可得：18APBBPCCPA，所以6APA，1PAPA，2 分 由余弦定理得22232cos22232 A APAA PPAA PAPA，622A A，4 分 所以质点移动路程的最小值为622.(2)设三棱锥的高为 h，ABC内切圆的半径为 r，外接圆半径为 R,圆锥的母线为 l，则2131 1 1124r ，解得：36r，6 分 132sin603R，所以22361133hR，8 分 2222363632lrh，10 分 所以圆锥
18、的侧面积为33624rl，11 分 圆锥的体积为22113663363108r h.12 分 21.（1）由三角函数的周期公式可得22，sin 2f xx，2 分 令22xkkZ，得422kxkZ，由于直线2x 为函数 yf x的一条对称轴，所以，2422kkZ，4 分 得32kkZ，由于 0，1k ，则2，因此，sin 2cos22f xxx；6 分（2）ABCQ，由三角形的内角和定理得3ABCC，3C.7 分 cos21f CC Q，且 2223C，2C，2C.coscossin2BAA，由cosaB，得sinaA，由锐角三角函数的定义得sinaAc1sinacA ，8 分 由正弦定理得1
19、sinsinbaBA，sinsincos2bBAA，sincos12 sin14abcAAA ，9 分 2CQ，且22ABA，04A，442A，2sin124A.10 分 221abc ，因此，abc 的取值范围是2,21；12 分 22.（1）斜三棱柱111ABCA BC中，四边形11ABB A 是平行四边形，且 D为 AB 的中点，1D 为11A B 的中点，所以11A DBD 且11A DBD，所以四边形11A DBD 为平行四边形，1 分 所以11A DD B，因为1A D 平面11BDC，1D B 平面11BDC，所以1/A D平面11BDC；2 分 连接1DD，如图所示：所以111
20、/DDAACC，且111DDAACC，所以四边形11DDC C 为平行四边形，3 分 所以11DCDC，且 DC 平面11BDC，11D C 平面11BDC，所以/DC平面11BDC，因为1A DDCD,1,A D DC 平面1A DC，所以平面1/A DC平面11BDC 4 分（2）因为 ACBC，D 为 AB 的中点，所以CDAB，因为平面111A BC 平面11ABB A，所以平面 ABC 平面11ABB A，且平面 ABC平面11ABB AAB，CDAB，CD 平面 ABC，5 分 所以CD 平面11ABB A，1/CC平面11ABB A，所以1CC 与平面11ABB A 的距离 xC
21、D，因为1A D 平面11ABB A，所以1CDA D，1Rt A DC 中，16AC ，所以2136A Dx，06x，所以2136BDx6 分 因为CD 平面11ABB A，则11C D 平面11ABB A，1AB 平面11ABB A，所以111C DAB，且11ABBC，1111C DBCC，111,CBCD平面11BDC，7 分 所以1AB 平面11BDC，且1BD 平面11BDC，所以11ABBD，记交点为 E，则三角形 AEB 为直角三角形，8 分 因为11B D EABE，且111121AEABBEB EB DED，16AB ，2136BDx，所以12B E，211363D Ex，11211113623B EDSB E D Ex，9 分 所以111112336A ADBB DB EDSSSx，所以11213633AACDA ADxxVSCD，即236,063xxyx10 分（3）由（2）得：224363633xxxxy，06x，令 2436xxx，所以当218x，3 2x 时，2max18x，此时max6y，11 分 所以当1CC 与平面11ABB A 的距离3 2x 时，三棱锥1AACD的体积取得最大值，最大值为 6.12 分
