1、专题12 动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在ABC内部找到一点P，使得PAPBPC的值最小.当点P满足APBBPCCPA120，则PAPBPC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，ABC中，最大的角要小于120，若最大的角大于或等于120，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120）费马点的性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。 费马点最小值解法：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将APC边以A为顶点逆时针旋转60，得到AQE，连接PQ，则APQ为等边三
2、角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1. 已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120.求证：GA+GB+GC的值最小.【解析】证明：将BGC逆时针旋转60，连GP,DB.则 CGBCPD； CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60, BCD=60, GCP和BCD都是等边三角形。 AGC=120, CGP=60. A、G、P三点一线。 CPD=120, CPG=60. G、P、D三点一线。 AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB
3、=GA+GP+PD=AD. G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长 【解析】如图，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等边三角形，则EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60所得） 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 点E到A、B、C三点的距离之和的最
4、小值为 +=，解得=2【变式训练1】已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF .【答案】【解析】如图，在等腰RtDEF中，过点D作DMEF于点M，过E、f分别作MEPMFP30，则EMDM1，解得，则，.【变式训练2】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【解析】依然构造60旋转，将三条折线段转化为一条直线段分别以AD、
5、AM为边构造等边ADF、等边AMG，连接FG，易证AMDAGF，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FHBC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值【变式训练3】如图，P是锐角ABC所在平面上一点，如果APBBPCCPA120，则点P就叫做ABC费马点。（1）当ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ；（2）若点P是ABC的费马点，ABC60，PA2，PC3，则PB的值为 ；（3）如图2，在锐角BC外侧作等边ACB，连接BB.求证：BB过ABC的费马点P.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）延长AP，交BC于D，如图所示：ABACBC，APBBP
6、CCPA120，P为三角形的内心，ADBC，BDCD2，PBD30，；（2）PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP，即；（3）证明：在BB上取点P，使BPC120，连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CE，如图所示：BPC120，EPC60，PCE为正三角形，PCCE，PCE60，CEB120ACB为正三角形，ACBC，ACB60，PCAACEACEECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P.【变式训练4】如图，某货运场为一个矩形场地
7、ABCD，其中AB500米，AD800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【解析】连接AM，DM，将ADP绕点A逆时针旋转60，得APD，当M，P，P，D在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为DN，M在BC上，当DMBC时，DM取最小值，设DM交AD于E，ADD是等边三角形，EMAB500，BM400，PMEMPE500，DEAD400，DM400+500，最少费
8、用为10000（400+500）1000000（4+5）元；M建在BC中点（BM400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500）米处，最少费用为1000000（4+5）元课后训练1.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则AP+BP+CP的最小值为（）A+B+C4D3【解答】解：如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小理由：APAF，PAF60，PAF是等边三角形，PAPFAF，EFPB，PA+PB+PCEF+PF+PC，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EMDA交DA的延长线于M，ME的延长线交C
9、B的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，在RTAME中，M90，MAE30，AE2，ME1，AMBN，MNAB2，EN1，EC+PA+PB+PC的最小值为+故选：B2.如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为 . 【答案】【解析】如图所示，APBBPCCPA120，ABC60，1360，1260，2460，14，23，BPCAPB，即，.3.如图，四边形ABCD是菱形，AB4，且ABCABE60，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为4 【解答】解：如图，连接MN，ABE是等
10、边三角形，BABE，ABE60MBN60，MBNABNABEABN即MBANBE又MBNB，AMBENB（SAS），AMEN，MBN60，MBNB，BMN是等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF18012060，BC4，BF2，EF2，在RtEFC中，EF2+FC2EC2，EC4故答案为：44.若点P 为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120， 则点P叫做ABC的费马点（1）若P为锐角ABC的费马点，且AB
11、C60，PA3，PC4， 则PB的值为 ；（2）如图，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：BB 过ABC的费马点P，且BBPAPBPC【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABP BCP，；（2）设点P为锐角ABC的费马点，即APBBPCCPA120如图，把ACP绕点C顺时针旋转60到BCE，连结PE，则EPC为正三角形 BEC APC 120，PEC60，BECPEC180，即 P、E、B 三点在同一直线上，BPC120， CPE60 ，BPC CPE 180，即 B、P、E 三点在同一直
12、线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即BB 过ABC的费马点P又PEPC，BE PA， BBE BPBPEPAPBPC5.如图1，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点：（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点；（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60，求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点，如图2，求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点.【解答】（1）是；（2）见解析；（3）CPD60，见解析【解析】（1）延长AP与BC交于点N，延
13、长BP交AC于点M，如图所示：ABBC，BM是AC的中线，MB平分ABC，同理：AN平分BAC，PC平分BCA，ABC为等边三角形，ABP30，BAP30，APB120同理：APC120，BPC120，P是ABC的费马点；（2）PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP；（3）如图所示，ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在ACE与ABD中，ACEABD（SAS），12，34，CPD6560；证明：ADFCFP，AFPFDFCF，AFPCFD，AFPCDF，AP
14、FACD60，APCCPDAPF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点.6.如图l，在ABC中，ACB90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP3，AB6，求CE的长（2）如图3，以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，连接PA、PB、PC，当AC3，AB6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值【解答】解：（1）补全图形如图所示；如图，连接BD、CDBCP沿射线CA方向平移，得到DAE，BCAD且BCAD，ACB90，四边形BCAD是矩形，CDAB6，BP3，DEBP3，BPCE，BPDE，DECE，在RtDCE中，CE3；（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，连接BN由旋转可得，AMNABP，MNBP，PAAM，PAM60BAN，ABAN，PAM、ABN都是等边三角形，PAPM，PA+PB+PCCP+PM+MN，当AC3，AB6时，BC3，sinABC，ABC30，ABN60，CBN90当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值CN3
