1、第16讲 常见曲线的参数方程一、教学目标1理解直线的参数方程及其应用；2.理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用3.会进行曲线的参数方程与普通方程的互化二、基础知识回顾与梳理阅读教材第42页至第47页.写出几种常见的参数方程.1:直线的参数方程:_教材第46页直线参数方程中参数几何意义的理解_2:圆的参数方程:_ 教材第47页圆参数方程中参数几何意义的理解_3:椭圆的参数方程:_ 教材第44页椭圆参数的理解_.4:完成第43页例题1;第45页至第46页的例题1,2,3.三【要点解析】 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t
2、的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为的直线的参数方程为 (t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段P0P的数量. 使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题3圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的
3、射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角为参数的圆的参数方程为0,2)4椭圆的参数方程以椭圆的离心角为参数，椭圆1(ab0)的参数方程为0,2)5.解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径.尤其直线方程的参数方程时.三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1：方程表示的曲线是 ； 【分析与
4、点评】注意参数的范围。题2下列方程中，与方程表示同一曲线的是_.【分析与点评】基本方法是将上述参数方程化为普通方程，既要“形”似，也要“神”似。这里的“形”似指：化为普通方程后的变量之间的关系必须是；这里的“神”似指：参数方程中的变量的范围要与普通方程中的变量的范围完全一致 答案：（4）题3参数方程（为参数）的普通方程是_【分析与点评】消参后得，这里究竟是限定变量的范围还是限定变量的范围？当然同时限定两个变量的范围最保险。事实上，可结合图形解释-本题只要限定的范围就足够了 答案： 或或 【变式】参数方程（为参数，）化为普通方程是_.【点评】答案是;，可引导学生与题3进行对比辨析。要结合图形说明
5、“等价性”【备用题】已知曲线C的参数方程是（为参数，），试判断点是否在曲线C上【分析与点评】先将曲线的参数方程化为普通方程，消去参数即为x+2y-7=0()即曲线为一条线段，而不是直线，需要注意的是，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y得取值范围保持一致。然后将点坐标代入方程验证即可题4 已知曲线C的参数方程为（为参数，）则曲线C的普通方程_ 答案为：4解：因为所以故曲线C的普通方程为：【分析与点评】将参数方程化为直角坐标的普通方程，参数方程化为普通方程需要看清“消去”的目标.3、要点归纳（1）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。（2）在参数方程与普通方程的互化中，必须使
6、x,y得取值范围保持一致如诊断练习中的第3题四、范例导析例1.已知曲线，直线（为参数）（1）写出曲线的参数方程；（2）直线的普通方程；【教学处理】本题旨在参数方程和普通方程的互化【引导分析与精讲建议】1、 曲线C如何确立参数，参数有什么几何意义?2、 直线的参数如何消去?参数有何范围?【备用题】已知直线l的参数方程为（t为参数），点P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值【教学处理】先交流讨论，再教师板书【引导分析与精讲建议】1、 先由学生将直线l的参数方程化为普通方程，即为；2、 再引导学生在直角坐标系中画出直线和椭圆，寻求解决问题的方法；3、 教师可问怎样求出椭圆上的点到直线的距离
7、的最大值呢？有什么方法？4、 学生提供不妨在椭圆上设出P点坐标（x,y）,得出点P到直线的距离；5、 教师问怎样消元呢？x,y都有平方啊？怎么办呢？6、 学生说直线过原点，不妨设x0,可以解决很好！大家来做做看，让学生上黑板板演7、 教师可追问，有没有其它方法呢？8、 学生说不妨设出与直线平行的直线，当直线与椭圆相切时，切点到直线的距离最大此方法可让学生板演例2在曲线：，在曲线求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离【教学处理】1、参数方程的教学要求不要拔高。但是参数方程与普通方程互相转化特别要注意等价性，本题直线与圆的位置关系.2、本题也可通过画图来解答案为：2解：直线化成普
8、通方程是 设所求的点为，则C到直线的距离 当时，即时，取最小值1 此时，点的坐标是例3： 已知直线经过点，倾斜角. （1）写出直线的参数方程； （2）设与圆相较于两点,求点到两点的距离之积【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1：由（1）直线的参数方程为，其中参数的意义是什么？ 交流：强调是有向线段的数量.观察解题过程，设两点对应的参数为，把直线代入到 得到，即， 所以所以点到两点的距离之积为2 问题2：有怎样的几何意义？中，谁正谁负？问题3：如果求点到两点的距离之和，就是，则和为正确吗？五、解题反思1、在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围；2、在进行参数方程和普通方程互化时，要注意其前后的“等价性”。要体会限定变量范围的必要性和基本方法。如，诊断题3、4题；3、例1和例3，体现了参数方程的一些简单应用。要体会参数方程的实质-曲线上点的坐标的参数形式表示这是应用参数方程解决问题的基石
