1、唐山一中20192020学年高一年级第二学期期中考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.卷I答案点击智学网上对应选项，卷II将写在纸上对应题目的答案拍照上传至智学网，一题一张.卷I（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，每题只有一个选项正确，有选错或不答的得0分）1.等差数列中，若公差，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果【详解】等差数列中，公差，故选B【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系本题也可求出等差
2、数列的通项公式后再求出的值，属于简单题2.直线的方程为，则直线的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线的倾斜角为，直线的方程为，则，解得【详解】解：直线的倾斜角为，直线的方程为，则，解得，则直线的倾斜角为，故选：【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.数列满足，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知结合递推公式求解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，故选B【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在中，a，b，c分别是
3、角A，B，C的对边，则角A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，故应选B【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.5.已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）A. 34B. 32C. 30D. 28【答案】C【解析】【分析】则根据等比数列的性质得到，且，可得到，再根据等比数列的公式得到首项和公比，再由前n项和的公式得到结果.【详解】数列为正数项的等比数列, 若,则根据等比数列的性质
4、得到，且，可得到，根据等比数列的公式得到， 故答案为C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.6.如果关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对二次项系数进行分类讨论，然后由一元二次不等式与二次函数的关系建立不等式组求解即可得到答案.【详解】当即时，有，不等式成立；当即时，由题可得，解之得：；综上，.所以实数a的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立的问题，考查逻辑
5、思维能力和运算求解能力，考查分类讨论思想，属于常考题.7.直线和直线平行，则实数 的值为（ ）A. 3B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】由a（a+2）+10，解得a经过验证即可得出【详解】由a（a+2）+10，即a2+2a+10，解得a1经过验证成立a1故选：B【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周
6、长均为，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可【详解】由已知，可得大圆的直径为y3sinx的周期，由T，可知大圆半径为8，则面积为S64，一个小圆的周长 故小圆的面积S224，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P，故选：D【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题9.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过数量积运算律，可将数量积化为，根据二次函数可
7、求得最小值.【详解】由题意：当时，最小值为：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算律，结合二次函数求得最值，关键是能通过运算律将问题转化为模长和夹角运算的问题，难度不大.10.若对于任意恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分子分母同时除以，再利用基本不等式即可求解【详解】解：因为，所以，因为，所以（当且仅当时取等号），则，即的最大值为，故.故选：【点睛】本题主要考查函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用基本不等式是解决本题的关键11.在中，角所对的边分别为，若则的面积的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知式子
8、和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac16，代入三角形的面积公式可得最大值【详解】在ABC中，（2ac）cosBbcosC，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，约掉sinA可得cosB，即B，由余弦定理可得16a2+c22accosBa2+c2ac2acac，ac16，当且仅当ac时取等号，ABC的面积SacsinBac故选A【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题12.坐标原点在动直线上的投影为点，若点，那么的取值范围为（ ）A. B. C. D.
9、【答案】A【解析】【分析】动直线过定点M（2，2），由条件得到P在以OM为直径的圆上，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AQ|，判断出点Q与圆的位置关系，再求出线段PQ的范围【详解】动直线过定点M（2，2），点在动直线上的投影为点P，OPQ90，则P在以OM为直径的圆上，此圆的圆心A坐标为（，），即A（1，），半径rOM，又|AQ|，则点Q在圆外，的取值范围为故选：A【点睛】本题考查了恒过定点的直线方程，圆的轨迹方程，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，确定点P的轨迹是关键，属于中档题卷II（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分
10、）13.两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数n，两名男生相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出两名男生相邻的概率【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n，两名男生相邻包含基本事件个数m4则两名男生相邻的概率为p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.若两个等差数列，的前项和分别为，若对于任意的都有，则_【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质可得：再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求
11、和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.过点的直线l与圆C：（x1）2+y24交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_【答案】2x4y+30【解析】【分析】要ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大,此时直线l与直线垂直,即可算出的斜率求得直线l的方程.【详解】由题得,当ACB最小时,直线l与直线垂直,此时 ,又,故,又直线l过点,所以,即 .故答案为【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.16.三角形ABC中
12、，P为线段AC上任意一点则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由于，所以把作为基底，而P为线段AC上任意一点，所以设，然后利用向量的加减法法则把分别用基底表示出来，再求其数量积化简可求其最值.【详解】解：设，则，因为,所以因为，所以，所以取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查平向量基本定理的应用，解题的关键是选基底，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.（1）求实数值；（2）若实数，满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先得到绝对值不等式的解集，根据两者解集相同，由韦达定理得到结果；（
13、2）原式子等价于根据均值不等式求解即可.【详解】（1）,解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.（2），则，当，即时取等号，即时有最小值.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离
14、，根据弦长公式，列方程求解；（2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别求切线方程.【详解】解：（1）设圆心则圆心到直线的距离.因为圆被直线截得的弦长为.解得或（舍），圆.（2）当切线斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意；当切线斜率存在时，设直线方程为：，即：则：解得：此时，切线方程为：，即：所以，所求切线方程为：或【点睛】此题考查根据圆的几何特征，根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点圆的切线方程，易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况.19.设向量，在中分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若，边长，求的周长和面积的值.【答案】（1） （2）周长为6，面
15、积【解析】【分析】(1)根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到结果；（2）根据向量点积的坐标运算得到，结合余弦定理得到，从而而求得三角形的周长与面积.【详解】（1）由已知可得：,即， ，（2）由题意可知，可得 由余弦定理可知， ，则即，故周长为，面积【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20.“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，
16、某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，表示第天主动投案的人数，得到统计表格如下：12345673455567（1）若与具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）判定变量与之间是正相关还是负相关.（写出正确答案，不用说明理由）（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.参考公式：， .【答案】(1) (2) 正相关 (3)7人【解析】【分析】（1）先计算，再利用公式计算，即可求解回归方程（2）利用回归直线的斜率确定正相关（3）将代入回归直线即可预测【详解】（1）根据表中的数据，可得， 则， 又由 故所求回归直线方程为 （2）正相关
17、（3）当时，根据方程得，故预测第八天有7人【点睛】本题考查回归直线方程，考查计算能力，是基础题21.每当我心永恒这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影泰坦尼克号中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”.我市某地将按“泰坦尼克号”原型比例重新修建.为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市岁的人群中抽取了人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组
18、（1）求出的值；（2）从第组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，求第组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的人中随机抽取人，求所抽取的人中恰好没有年龄在段的概率.【答案】(1)54 (2)2人，3人，1人 (3) 【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图得各组的频率结合回答正确的人数占本组的频率计算（2）确定抽样比得各组人数（3）列举法得没有年龄段在及基本事件总数，利用古典概型求解【详解】（1）第组的人数为：人，第组的频率为： 故 （2）抽样比为：人第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人；第组抽取人数为：人（3）记中2人为A1,A2，中3人为B1,B2,B3，中1人为C，则在抽取的人中随
19、机抽取人的所有事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C共15个，其中不含A1,A2的有6个所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率：【点睛】本题考查频率分布直方图及应用，考查分层抽样，考查古典概型，考查计算能力，是中档题22.已知数列满足：，数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和，并比较与2的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，故数列是等比数列，其公比为.（2）由（1）知，则两式相减得即.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等
