1、青岛市开发区20182019学年度第一学期期中学业水平检测高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线方程可得斜率，从而可得倾斜角.【详解】由直线，可得直线的斜率为.即倾斜角的正切值为所以直线的倾斜角为.故选D.【点睛】本题主要考查了直线的一般式与斜率及倾斜角的关系，属于基础题.2.直线与直线互相垂直，则实数的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【详解】由直线与直线互相垂直，可得.解得.故选C.【点睛】已知两直线的一般方程判定垂直时，记住以下结论，可
2、避免讨论：已知， 3.命题“对任意的”，都有的否定为A. 对任意的，都有 B. 不存在，使得C. 存在，使得 D. 存在，使得【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得解.【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任意的”，都有的否定为“存在，使得”.故选D.【点睛】本题主要考查了命题的否定，特别注意，命题中有全称量词时要否定为特称量词，属于基础题.4.圆与圆的公共点个数为A. 0 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】由两圆的圆心距可得两圆的位置关系，从而得解.【详解】圆的圆心为：，半径为1；圆，即的圆心为：，半径为3.圆心距为.所以两圆的位置关系为内
3、切，故只有一个公共点.故选D.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.5.设，则“”是“直线和直线平行”的A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先由两直线平行解得的值，再通过检验是否重合可得，从而得两命题的关系.【详解】若直线和直线平行，可得：，解得或-2.当时，两直线分别为：3和，满足平行；当时，两直线分别为：和，两直线重合；所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.故选C.【点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知，则，需检验两直线是否重合，属于易错题型.6.曲线
4、围成的封闭图形面积为A. 1 B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】【分析】讨论的正负，去绝对值，再作图即可得解.【详解】由曲线，可得或或或.作出曲线如图所示：所以封闭图形面积为.故选D.【点睛】本题主要考查了分类讨论思想去绝对值，及直线方程的作图，属于基础题.7.圆内过点的最短弦长为6，则实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由直线与圆相交，利用垂径定理可得弦长最短时，圆心到直线的距离最大，进而得解.【详解】设圆的圆心为M(1,0).过点做直线与圆相交与B，C两点，设圆心到直线的距离为d，则，若，则，又当时，距离最大，此时有，解得.故选B.【点睛】本题主要考
5、查了直线与圆相交时的弦长公式，属于基础题.8.已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）A. B. C. 与相交但不垂直 D. 【答案】A【解析】.本题选择A选项.9.过点的直线与有两个不同的公共点，则直线的倾斜角的范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先讨论斜率不存在时，再讨论斜率存在时，设出直线方程，由直线与圆有两个不同的交点，可得圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可.【详解】设直线的倾斜角为.若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，.直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx+4，即kxy+4=0，若过点(0,4)的直线l与圆有两个不同公共点，则圆心
6、到直线的距离，即即，解得或，即且，综上所述,，故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.10.方程不能表示圆，则实数的值为A. 0 B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到的值，从而可得到不能表示圆时a的值.【详解】方程能表示圆，则，解得，即.所以，若方程不能表示圆，则.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.11.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为(A. B. C. D. 【答案】A【解析】直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（），（D）又将向右平移个单位得，即故选A；【点评】此题重点考察互
7、相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；12.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：圆的标准方程专题：计算题分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关
8、系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可解答：解：设圆心坐标为（a，b）（a0，b0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=r=1，化简得：|4a-3b|=5，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：(x-2)2+(y-1)2=1故选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半
9、径写出圆的标准方程二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。13.过两点和的直线在轴上的截距是_.【答案】【解析】由题意可得，直线的斜率，直线方程为：，令可得：，即直线在轴上的截距是.14.圆关于直线对称，则实数的值为_。【答案】1【解析】【分析】由圆关于直线对称，知直线过圆心，代入圆心坐标求解即可.【详解】若圆关于直线对称，则直线必过圆心(0,1)，所以，得.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.15.在正方体中，若，则的值为_。【答案】0【解析】【分析】由向量的减法运算可得解.【详解】由题意可知.又，所以.所以.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了空间向量的运算，属于基础题
10、.16.设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则圆半径的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：平面内到直线的距离等于1的点在与已知直线平行，且距离等于1的两条平行线上，故只需圆与两条平行线有两个公共点即可，由图知，当时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。17.（1）已知圆经过和点，圆心在直线上，求圆的方程。（2）求圆心在原点且圆周被直线分成两部分的圆的方程。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得直线AB的中垂线，进而与直线联立可得圆心坐标，再由圆心到点A的距离可得半径，从而得解；（2）由条件
11、可得，从而得圆心到直线的距离，列方程求解即可.【详解】(1)因为，线段的中点为，所以线段的中垂线方程为，由，得，所以圆的圆心为，又因为，所以圆的半径为5，故圆的方程为.(2)设直线与圆交于两点因为圆周被直线分成两部分，所以而圆心到直线的距离，在中，因为，得，则圆的方程为【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，关键在于确定圆心和半径，属于基础题.18.（1）如图，在大小为的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，求两点间的距离。（2）在直三棱柱中，分别为的中点，求与所成的角的余弦值。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，平方可得解；（2）以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，设，由，
12、利用坐标运算可得解.【详解】(1) 因为所以.所以.(2)以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，设，则，故，所以【点睛】本题主要考查了利用空间向量解决线段长及线线角问题，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，直线，已知，为线段的中点。（1）求证：；（2）求四棱锥的体积。【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由和即可证得；（2）作交于，可得平面，再由即可得解.【详解】(1)因为平面，所以又因为，所以平面，所以平面平面(2)由(1)知：平面平面，作交于，则平面，因为， 所以为等腰三角形所以，因为为线段的中点.所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及面面垂直的性质，四
13、棱锥的体积的求解，属于常规题.20.为坐标原点，直线，与圆相切，与圆相交于两点，。（1）求圆，圆的标准方程；（2）直线过交圆于两点，过作的平行线交于点，求的值。【答案】（1）圆的标准方：；圆的标准方程：；（2）2.【解析】【分析】（1）由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可得解；（2）分析条件可得与相似，从而有，即可得.【详解】(1)由题知到圆的圆心的距离，所以，；所以，圆的标准方：；圆的标准方程：.(2)由题知与相似，所以所以.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的位置关系，及平行的性质，解决本题的关键是利用数形结合找到几何关系，对学生的图形分析能力有一定的要求.21.如图几何体中，
14、等边三角形所在平面垂直于矩形所在平面，又知，/.（1）若的中点为，在线段上，/平面，求；（2）若平面与平面所成二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若中点为，求在平面上的正投影。【答案】（1）；（2）；（3）在平面上的正投影为.【解析】【分析】（1）设的中点，可得四点共面，从而可证得，即得，即可得解；（2）设的中点为，可证得两两垂直，设，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角列方程可得，从而再利用空间向量建立线面角的公式求解即可；（3）由平面，可证得，再通过勾股定理在中，可证得，进而可找到在平面上的正投影为.【详解】(1)设的中点，连接，因为；所以四点共面，又因为平面
15、，面，平面平面所以；所以.(2)设的中点为，的中点为，连接；因为为等边三角形，所以又因为平面平面，平面平面，所以面设，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的法向量，则，；得，所以.同理得平面的法向量所以，所以又因为，所以(3)由(2)知易证：平面，所以又因为，所以又因为在中， ，所以，所以平面，所以在平面上的正投影为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相
16、应的角和距离.22.已知曲线与圆相交于四个点，在轴右侧，为坐标原点。（1）当曲线与圆恰有两个公共点时，求；（2）当面积最大时，求；（3）证明：直线与直线相交于定点，求求出点的坐标。【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1) 由对称知直线与圆相切，从而可利用圆心到直线的距离等于半径求解；（2）由，从而得有最值，进而可得圆心到直线距离，列方程求解即可；（3）设，由直线与相交于点，得，所以，利用坐标表示斜率，由直线与圆联立，根据根与系数的关系建立方程求解即可.【详解】(1) 由对称知：此时直线与圆恰相切设到直线的距离为，则所以(2)由题知，当县仅当时取等号.设到直线的距离为，则，所以(3)由题意：设，结合图形由对称知：直线与圆有两个交点由得由韦达定理得：，直线与相交于点，所以，所以所以所以，所以定点【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，包括相切时和相交时的不同处理方式，同时还考查了代数运算法处理直线与圆相交，即直线与圆联立解决定点问题，属于中档题.
