1、专练33高考大题专练(三)数列的综合运用1.已知等差数列an满足a13，a515，数列bn满足b14，b531.设cnbnan，且cn为正项等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.2.2020全国卷设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.3.2021全国新高考卷已知数列an满足a11，an1.(1)记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；(2)求an的前20项和4.设数列an的前n项和为Sn，a12，an12Sn.(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设
2、bn1log2(an)2，求证数列的前n项和Tn.5.2020全国卷设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和6.2021全国乙卷记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式7.2021全国甲卷已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8.2021全国乙卷，文设an是首项为1的等比数列，数列bn满足bn.
3、已知a1,3a2,9a3成等差数列(1)求an和bn的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和证明：Tn0)，由已知得c1b1a1431，c5b5a5311516.因为c5c1q4，即161q4，解得q2(负值舍去)，所以cn12n12n1.由cnbnan得bnancn，所以bn3n2n1.(2)由(1)得bn3n2n1，所以数列bn的前n项和Sn(31)(621)(922)(3n2n1)(3693n)(12222n1)2n1.2解析：(1)a25，a37.猜想an2n1.由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13)因为a13，
4、所以an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1.所以Sn(2n1)2n12.3解析：(1)由题设可得b1a2a112，b2a4a31a2215又a2k2a2k11，a2k1a2k2，(kN*) 故a2k2a2k3，即bn1bn3，即bn1bn3所以为等差数列，故bn233n1.(2)设的前20项和为S20，则S20a1a2a3a20，因为a1a21，a3a41，a19a201，所以S20210210210300.4解析：(1)an12Sn(nN*)当n2时
5、，an2Sn1，an1anSnSn1an，an12an(n2)，又a22a14，又a12，a22a1，an是以2为首项以2为公比的等比数列，an22n12n.(2)证明：bn1log2(an)2，则bn2n1，Tn.5解析：(1)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q11(舍去)，q22.故an的公比为2.(2)记Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所以Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以Sn.6解析：(1)因为bn是数列
6、Sn的前n项积，所以n2时，Sn，代入2可得，2，整理可得2bn112bn，即bnbn1(n2)又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列(2)由(1)可知，bn，则2，所以Sn，当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1.故an.7解析：.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2(n2)，是关于n的一次函数，所以数列an是等差数列8解析：(1)设an的公比为q，则anqn1.因为a1,3a2,9a3成等差数列，所以19q223q，解得q，故an，bn.(2)由(1)知Sn(1)，Tn，Tn，得Tn，即Tn(1)，整理得Tn，则2TnSn2()(1)0，故Tn.
