小学数学讲义六年级超常.pdf

1、1第 12 级下超常体系教师版第 1 讲六年级暑假整数裂项与通项归纳六年级暑假分数裂项六年级秋季数形结合六年级冬季计算模块综合选讲（一）六年级春季计算模块综合选讲（二）复习五六年级学过的三讲分数计算。漫画释义知识站牌第一讲计算模块综合选讲（二）2第 12 级下超常体系教师版1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项:基本形式:母积子和差.和差:第一取决于分子拆成和或差,第二取决于算式整体的运算符号.目的:裂成两项.如果裂差,与前后相同相消；如果裂和,考虑凑整.(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式,即1ab形式的,这里我们把较小的数

2、写在前面,即ab,那么有1111()abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)nnn,1(1)(2)(3)nnnn形式的,我们有:1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn3、常用公式:1)1001abcabcabc；2)10101abababab；3)(1)1232nnn；4)2222(1)(21)1236nnnn；5)2223333(1)1231234nnnn；6)21 357211231132 1nnnnn ；7)等比数列求和公式:0111111(

3、1)1nnna qSa qa qa qq(1q )；8)平方差公式:22ababab；9)111111 1111 123321nnn 个个,其中9n经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 1 讲例 1:提取、凑整、分组例 2:提取、换元例 3:约分技巧例 4:分数裂项例 5:换元法例 6:繁分数例 7:公式法与通项归纳例 8:估算、放缩(1)2007200720072008(2)111111762353235353762376(3)81 17 78+71 16 67+61 15 56+51 14 45+4113 14+31 12 23【分析】(1)2007200820082007200720

4、0720082007200820072009.(2)原式111111767623235353235353762376111765376232353235376)()()(1.(3)原式=80 87 7870 76 6760 65 5650 54 4540 43 3430 32 23=701601501401301+201=276.(1)111111111111111234534342345 (2)1532194.853.66.1535.51.7514185321【分析】(1)111111111111111234534342345 例 2例 1例题思路4第 12 级下超常体系教师版1111111

5、1117111342345234512(2)本题观察发现除以 518 相当于乘以 3.6 则公因数就出来了.原式1757194.85 3.6 1 3.66.15 3.65.5443421 135194.8516.153.65.541212154365.595.54.510.412(1)890919120230303909091919191919191919个个(2)有一根 1 米长的木条,第一次去掉它的 15,第二次去掉余下木条的 16；第三次又去掉第二次余下木条的 17,等等；这样一直下去,最后一次去掉上次余下木条的 110 问:这根木条最后还剩下多长?(3)0.1 0.3 0.90.20.

6、6 1.80.3 0.92.70.1 0.20.40.20.40.80.3 0.6 1.2【分析】(1)重复数的分数计算,先提取,再约分.例如:10017 11 13abcabcabcabc,101013 7 13 37ababababab 原式81081012 1013 101019 1010112391919 10119 1010119 1010119191919个个45.19(2)转化单位“1”和连锁约分.最后剩下456921567105,所以最后还剩下 25 米.(3)提取和整体约分.原式0.1 0.3 0.90.1 2 0.3 2 0.923 0.1 3 0.3 3 0.90.1 0

7、.2 0.12 0.1 2 0.22 0.43 0.1 3 0.2 3 0.4 0.1 0.3 0.980.1 0.3 0.9270.1 0.3 0.90.1 0.20.480.1 0.20.4270.1 0.20.4 360.1 0.30.9360.1 0.20.4278.(1)48121620241 33 55 7799 1111 13例 4例 35第 12 级下超常体系教师版第 1 讲(2)1122426153577(3)36579111357612203042【分析】(1)48121620241 33 55 7799 1111 13111111111111()()()()()()133

8、557799111113111111111111()()()()()3355779911111311131213 (2)原式1122422 33 55 77 1111111111122335577111111 1011(3)原式=362334455667572334455667361111111111572334455667=4.(1)20082007200920092008201020082009 1200920101(2)11111111111111(1)()(1)()23423452345234【分析】(1)原式20082007200920092008201020082009120092

9、0101夏琨塔拉戴维（Shakuntala Devi，1929 年 11 月 4 日2013 年 4 月 21 日），印度女性，曾是神童和著名心算家，有“人脑计算机”的美称.因其不可思议的计算能力而列入 1982 年版的吉尼斯世界纪录.夏琨塔拉戴维曾在全球各大学接受测试，现场示范其最著名的特殊能力：在 28 秒内计算出两个任意 13 位数的乘积.这项成就让戴维女士名列吉尼斯世界纪录，虽然这个记录后来被移除，原因是基于她的成绩远优于其它受测天才的计算能力.2013 年 4 月 21 日上午 08 时 15 分左右，在印度班加罗尔一家医院去世，享年 83 岁.例 56第 12 级下超常体系教师版2

10、00820072009200920082010200720092009120082010201012008200720092009200820101 12.200720092008200820102009 (2)有头无尾无头有尾-有头有尾无头无尾,可等于头尾.设111234a,则原式化简为:1111(1.555aaaa(+)(+)-+)=(1)2232323233(2)将 20131990表示成:1111abcde(,a b c d e 为自然数),试求 abcde 之值.【分析】(1)由短到长:222278227849533322213933639311(2)辗转相除:由于 20132311

11、9901990,于是1a .由于199012862323,于是86b.由于 231111212,于是1c .由于12111111,于是1d ,11e.于是,1 86 1 1 11 100abcde .222222222222233333333333331121231234122611212312341226 例 7例 67第 12 级下超常体系教师版第 1 讲【分析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314nnnnnnannnnnnn 原式=211111111()()()()31223342627=2152(1)32781【铺垫】33312320061232

12、006 【分析】原式212320061232006 1 232006 120062006 122013021.(1)如果用符号“a”表示数字 a 的整数部分,例如5.75,513 ,那么11111120002001200220032039的值是_.(2)22213111101129的整数部分是_.【分析】(1)首尾放缩:设分母为40401,2039200050 xx,15050.975x原式最大为 50.2221111111120.1011299 1010 1128 2992926(2)1因此2221126121334111206060101129261222111111111.1011291

13、0 1111 122930103015因此22211335111110112915综上,整数部分为 4.例 88第 12 级下超常体系教师版1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项:基本形式:母积子和差.和差:第一取决于分子拆成和或差,第二取决于算式整体的运算符号.目的:裂成两项.如果裂差,与前后相同相消；如果裂和,考虑凑整.(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式,即1ab形式的,这里我们把较小的数写在前面,即ab,那么有1111()abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)nn

14、n,1(1)(2)(3)nnnn形式的,我们有:1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn3、常用公式:1)1001abcabcabc；2)10101abababab；3)(1)1232nnn；4)2222(1)(21)1236nnnn；5)2223333(1)1231234nnnn；知识点总结一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为 0.1 毫米的很大的纸对半撕开，然后再撕成两半叠起来。假设他如此重复这一过程 25 次，这叠纸会有多厚？A、像山一样高B、像一栋房子一样高C、像一个人一样高D、像一本书那么

15、厚答案：这叠纸的厚度将达到 3355.4432 米，有一座山那么高.9第 12 级下超常体系教师版第 1 讲6)21 357211231132 1nnnnn ；7)等比数列求和公式:0111111(1)1nnna qSa qa qa qq(1q )；8)平方差公式:22ababab；9)111111 1111 123321nnn 个个,其中9n 1.11130.531.2551.25 14845.【分析】原式112551585248444511254152248541133441.2.41211423167137713=.【分析】原式412142342816713137.3.(1)333333

16、234567_.101010101010234567(2)1111100(1)(1)(1)(1)_.234100【分析】(1)原式=1111113()32345671111111010()234567.(2)原式1111=100(1)(1)(1)(1)23410012399=100=1234100.家庭作业10第 12 级下超常体系教师版4.33333325588 1111 1414 171720=_.【分析】原式11111111111113 32558811111414171720 111220 920.5.362548361362548186=_.【分析】原式362548 36136254

17、8 3611361 1548 186361 548548 186.6.2222221223100101_.1 22 3100 101【分析】法 1:通过代数式进行通项归纳或者找规律,可知:222212112(1)(1)1nnnnnnnn nn n,原式=1111001002222002001 22 3100 101101101法 2:原式=22222132()()1 21 22 32 322101100()100 101100 10121321011001223100101上式为若干组同分母分数的和,而且这些和都是 2,原式1001002 100200.1011017.12389(1)(2)(

18、3)(8)(9)234910=_.【分析】通项为:2(1)111nnn nnnannnn,原式222221234893467 8 9362882345910 .8.在横线上分别填入两个相邻的整数,使不等式成立:10111819_.11121920【分析】一共有 10 项,这个值大于1011 10=1911,小于 191109202,所以应该分别填入 9 和 10.1第 12 级下超常体系教师版第 2 讲六年级秋季圆柱圆锥六年级秋季复合图形拆分六年级寒假几何模块综合选讲(一)六年级寒假几何模块综合选讲(二)六年级春季几何模块综合选讲(三)复习曲线形面积周长、图形变换、旋转轨迹问题.漫画释义知识站

19、牌第二讲几何模块综合选讲(二)2第 12 级下超常体系教师版一、相关公式圆的面积 2r；扇形的面积=2360nr；圆的周长=2 r；扇形的弧长=2360nr.二、基本图形1、“弓形”:弓形一般不要求求周长,主要求面积.一般来说,“弓形”面积=扇形面积三角形面积.(除了半圆)2、“弯角”:如图,“弯角”的面积=正方形扇形3、“谷子”:如图,“谷子”的面积=“弓形”面积24、“圆环”:如图,“圆环”面积=22()Rr,R、r 分别是大小圆半径三、常用的思想方法:1、转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)2、等积变形(割补、平移、旋转等)3、借来还去(加减法)4、外围入手(从会求的图形或者

20、能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系”)5、容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的.我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠部分面积.)6、差不变例 1:用方程解决问题例 2:整体代入例 3:切割拼接例 4:旋转拼接例 5:图形变换的综合应用例 6:方中圆与圆中方例 7:综合应用例题思路经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 2 讲例 8:轨迹问题已知:如图,圆 O 内切于直角三角形 ABC,三角形 ABC 的两条直角边长分别为 12 和 5,求阴影部分面积是多少(取 3)?ABCOOCBA【分析】如图,连接 AO,并过点 O 做三边的垂线.由勾股定理可得斜边 AC=13解

21、:设圆半径为 r.12513125rrr 解得 r=2.阴影部分面积:21253248 .已知:如图,在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的切线与小圆相切,其长度为 10 厘米.求阴影部分的面积.(取 3.14).10厘米【分析】设大圆半径为 R,小圆半径为 r,根据勾股定理知22210()2Rr,所以2222()3.142578.5SRrRr阴影(平方厘米).已知:如图,分别以一个边长为 2 厘米的等边三角形的三个顶点为圆心,以 2 厘米为半径画弧,求阴影图形的周长是多少厘米(取 3.14)?例 2例 3例 14第 12 级下超常体系教师版每段弧长为 16 C圆,所以1612.566CCC圆

22、圆阴影【拓展】已知;如图,4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点,它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【分析】如图所示;可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形,每个正方形的面积为 1 1240.5 42（）（平方厘米）,所以阴影部分的总面积为248（平方厘米）已知:如图,由一个圆与一个直角扇形重叠组成的图形中,圆的直径与扇形的半径都是 4.图中阴影部分的面积是多少(取 3.14)?【分析】将下图阴影部分对折,则有:阴影部分面积为:211444484.56.42 例 45第 12 级下超常体系教师版第 2 讲已知:如图,若圆和半圆都两两相

23、切,两个小圆和三个半圆的半径都是 1求阴影部分的面积(取 3)【分析】由于直接求阴影部分面积太麻烦,所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形由右图可见,阴影部分面积等于 16大圆面积减去一个小圆面积,再加上120 的小扇形面积(即13 小圆面积),所以相当于 16大圆面积减去 23 小圆面积而大圆的半径为小圆的 3 倍,所以其面积为小圆的239倍,那么阴影部分面积为21259 12.5636已知:如图,某仿古钱币直径为 4 厘米,钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少(取 3.14)?例 6例 5欧几里得（约公元前 330 年前 275 年）古希腊数学家，

24、被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前 323 年前 283 年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，此外还有不少著作，如已知数，纠错集，圆锥曲线论，曲面轨迹，观测天文学等，遗憾的是除几何原本外这些都没有留存下来消失在时空的黑暗之中了。几何原本的目录：第一卷几何基础，第二卷 几何与代数，第三卷 圆与角，第四卷 圆与正多边形，第五卷 比例，第六卷 相似，第七卷 数论（一），第八卷 数论（二），第九卷 数论（三），第十卷 无理量，第十一卷 立体几何，第十二卷 立体的测量，第十三卷 建正多面体.两千多年来，几何原本一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿

25、等许多伟大的学者都曾学习过几何原本，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。很多人认为除圣经之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与几何原本相比。6第 12 级下超常体系教师版4cm【分析】将古钱币分成8 个部分,外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形,中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积,所以总面积等于:2224442246810.84222 2(cm)已知:如图,在3 3 方格表中,分别以 A、E、

26、F 为圆心,半径为 3、2、1,圆心角都是90的三段圆弧与正方形 ABCD的边界围成了两个带形,那么这两个带形的面积之比12:SS 是多少?S 2S 1FEDCBAD 1D 2B 1B 2ABCDEFS 1【分析】如图,仔细观察图形不难发现带形1S 的面积等于曲边三角形 BCD 的面积减去曲边三角形11B CD的面积,而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出所以,1S 的面积222211332251444；同理可求得带形2S 的面积：带形2S 的面积 曲边三角形11B CD 的面积 曲边三角形22B CD 的面积314；所以,12:5:3SS(1)正方形的边长是 4 厘米,圆形的

27、半径是 1 厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(取 3.14)?例 8例 77第 12 级下超常体系教师版第 2 讲(2)图中等边三角形的边长是 3 厘米,圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(取 3.14)?【分析】(1)如图,面积为:22244244.56.Scm(2)如图,面积为:22232341830.56.cm 24【拓展】已知;如图,ABC 是一个等腰直角三角形,直角边的长度是 1 米.现在以 C 点为圆点,顺时针旋转 90 度,那么,AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米(取 3.14).【分析】边扫过的面

28、积为下图阴影部分,可分为图示的两部分.11rr1r1因为2221rr,所以212r.所求面积为222211111110.6775424428r(平方米).8第 12 级下超常体系教师版1、“弓形”面积=扇形面积三角形面积(除了半圆)2、“弯角”的面积=正方形扇形3、“谷子”的面积=弓形面积2=两个 14 圆正方形4、圆环面积=22()Rr,R、r 分别是大小圆半径5、常用方法技巧:旋转、平移、对称、割补、容斥原理、差不变1.已知：如图,直角三角形的三条边长度为3,4,5,它的内部放了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少(结果保留 )?知识点总结家庭作业把下列图形分成四小块，使它们形状大小完全相同

29、，并且是已知图形的缩小版.答案：9第 12 级下超常体系教师版第 2 讲【分析】设半圆半径为 r,直角三角形面积:35134222rr,所以 46r,32r 所以1996=6.248S阴影2.已知：图中阴影部分的面积是225cm,求圆环的面积(圆周率取 3.14)【分析】设大圆半径为 R,小圆半径为r,依题有222522Rr,即2250Rr则圆环面积为:22222()50157(cm)RrRr3.三个半径为 100 厘米且圆心角为 60 的扇形如图摆放；那么,这个封闭图形的周长是_厘米(取 3.14)【分析】三个扇形的弧长相当于半径 100厘米,圆心角为 1800的扇形的弧长,1802 3.1

30、4100314360厘米.4.已知：如图.所示,四个全等的圆每个半径均为 2m,阴影部分的面积是2m2m或2m【分析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式,但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知10第 12 级下超常体系教师版道这些公式也可以求出阴影部分面积如图,割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等,等于222216 m（）（）5.已知：如图,三角形 ABC 是直角三角形,4cmAC,2cmBC,求阴影部分的面积(取 3.14)CBA【分析】从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 ABC 的面积之差,所以阴影部分的面积为:2214121422.543.8522222

31、(2cm)6.已知：如图,大正方形边长为 6,将其每条边进行三等分,连出四条虚线,再将虚线的中点连出一个正方形,在这个正方形中画出一个最大的圆,则圆的面积是多少(取3.14)?【分析】圆的直径也就是外切正方形的边长,它的长为:4646圆的面积为:2412.56.2 7.已知：如图,图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是_.O乙甲121110987654321【分析】阴影部分甲 120的扇形 三角形 小弓形；阴影部分乙 三角形 小弓形；由于120扇形的面积容易求得,所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:11第 12 级下超常体系教师版第 2 讲AB12111098765

32、4321阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积甲乙OOO甲乙乙甲121110987654321120阴影部分的面积=圆的面积的13阴影部分乙的面积=圆的面积的16123456789101112综上所述:阴影部分甲的面积 圆的面积的 1136圆的面积的 16所以甲、乙面积之比为1:18.已知：如图,一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处,四周都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外的墙边的任一位置.小狗的活动范围是多少平方米?(建筑外墙不可逾越,小狗身长忽略不计,取 3.14)A【分析】根据题意,如下图所示,小狗最远活动点是 A 点,所以其活动的范围是:222

33、217272272210106286270.042360360360S(平方米).1第 12 级下超常体系教师版第 4 讲六年级秋季神奇的九六年级秋季数的进制六年级寒假数论模块综合选讲（一）六年级春季数论模块综合选讲（二）六年级春季数论模块综合选讲（三）主要是对质数,合数,因数,倍数,平方数的复习和巩固.漫画释义知识站牌第四讲 数论模块综合选讲（二）2第 12 级下超常体系教师版一、质数、合数、分解质因数1判断一个数是否为质数的方法根据定义,如果能够找到一个小于 P 的质数 p(均为整数),使得 p 能够整除 P,那么 P 就不是质数,所以我们只要拿所有小于 P 的质数去除P 就可以了；但是这

34、样的计算量很大,对于不太大的 P,我们可以先找一个大于且接近 P 的平方数2K,再列出所有不大于 K 的质数,用这些质数去除 P,如没有能够除尽的那么 P 就为质数.例如：149很接近216913,根据整除的性质149 不能被2、3、5、7、11、13 整除,所以149是质数.2分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数例如：3023 5 其中 2、3、5 叫做 30 的质因数又如21222323 ,2、3 都叫做12 的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助

35、我们分析数字的特征3因数个数定理设自然数 n 的质因数分解式如312123naaaanpppp.那么 n 的因数个数为1231111nd naaaa()()()()()自然数 n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211nnaannnnpppp二、因数、倍数1最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系(,),ABmambmmabA BA B,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公因数是 A、B、AB、AB及最小公倍数的因数2求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数求一组最简分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数

36、的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最大公因数 b；ba 即为所求例如：82(8,2)2(,)9 159,1545经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 4 讲求一组最简分数的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数 b；ab即为所求例如：3 53,515,4 12(4,12)4三、平方数1定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数如.211,224,239,211121,212144,其中1,4,9,121,144,都叫做完全平方数平方数分解质因数后,它的质因数必定会成对出现2完全平方数的有关性质性质 1：完全

37、平方数的末位数字只可能是 0,1,4,5,6,9性质 2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质 3：如果一个完全平方数的个位是 6,则十位是奇数,反之亦然性质 4：如果一个完全平方数的个位是 0,则它末尾连续的 0 的个数一定是偶数个如果一个完全平方数的个位是 5,则其十位一定是 2,且其百位一定是 0,2,6 中的一个性质 5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数性质 6：平方差公式:22()()abab ab性质 7：偶数的完全平方是 4 的倍数,奇数的完全平方被 4 除一定余 1,任何自然数的平方

38、数不可能被 4 除余 2模块一：例 1例 3：质数与合数模块二：例 4例 6：因数与倍数模块三：例 7例 8：平方数（1）若,a b c 均为质数,求下列各数的因数个数：5Xa7Yab24Ma bc334Na b c（2）若,a b c 均为质数,若23Aa b c,则 A 有多少个因数?若8BA,则 B 有多少个因数?（3）若一个数有 3 个因数,则这个数平方后有多少个因数?（4）若一个数有 6 个因数,则这个数平方后可能有多少个因数?例 1例题思路4第 12 级下超常体系教师版（5）若一个数的平方有 9 个因数,则这个数可能有多少个因数?【分析】（1）因数个数定理的应用,分别有 6,16,

39、30,80 个因数.（2）A 有 24 个因数.对于 B 可以分类讨论：情况 1：,a b c 中无 2,则B 有 96 个因数；情况2：2a,则 B 有 48 个因数；2b,则 B 有 42 个因数；2c,则 B 有 60 个因数.（3）有 3 个因数的数的形式是2a,平方后的形式为4a,因数个数为 5.也可拿具体数据尝试.（4）有 6 个因数的数的形式可能是5a 或2bc,平方后的形式为10a或24bc,因数个数为11 或 15（5）有 9 个因数的数的形式可能是8a 或22bc,因此原数可能是4a 或bc,因数个数为 5个或 4 个.（1）四个连续自然数的乘积是 3024,这四个自然数中

40、最大的一个是多少?（2）已知 5 个人都属牛,它们年龄的乘积是 589225,那么他们年龄的和为多少?（3）若三个不同的质数22006ab ca求abc的值【分析】（1）433024237=6789 ，最大为 9（2）分解质因数得到225892255713375892251 13253749，五个人的年龄和为 125 岁（3）200621759，当2a 时，2b c100223 167 不符；当17a 时，3b,13c.当59a 时，2b c333 11，不存在这样的 b 和 c所以1731333abc 2006 个弹珠,平均分给若干个人,正好分完若有 1 人退出,不参加分球,并且弹珠增加 1

41、0 个,则每人可以多分 8 个原来有人【分析】对2006 进行分解质因数,得到2006=21759；对2016进行分解质因数得到,2016=52237,发现只有 16 到 17 相差 1 人经验证符合条件,所以原来有 17 人（1）在下面的横线处填上适当的数.(18,45)_,(24,40,88)_,36,60_,38,106,1007_,2 4(,)_3 5,15 10,_22 33.（2）能被分数 65 10,7 14 21 除得的结果都是整数的最小分数是.（3）有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行,甲每分钟走 80米,乙每分钟走 120 米,丙每分钟走 70 米已例 4例 3例 25第 1

42、2 级下超常体系教师版第 4 讲知操场跑道周长为 400 米,如果三个人同时同向从同一地点出发,问几分钟后,三个人可以首次相聚?【分析】（1）9,8,180,2014,215,3011（2）307（3）由题意,甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是 400 米的倍数,甲和乙每分钟差1208040(米),则需要4004010分钟乙才能第一次追上甲；同理,乙每分钟比丙多走1207050(米),则需要 400508分钟乙才能追上丙；同理,甲每分钟比丙多走807010(米),则需要 4001040分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇,所需的时间则为 10,8,40 的公倍数因为10,8,4040,所以

43、三人相聚需要过 40 分钟,即 40 分钟后,三个人可以首次相聚（1）已知 A、B 两数的最小公倍数是 180,最大公因数是 30,若 A=90,则 B=.（2）已知两个自然数的最大公因数为 4,最小公倍数为 120,求这两个数.（3）已知两数的最大公因数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和是_.（4）有两个自然数,它们的和等于 297,它们的最大公因数与最小公倍数之和等于 693.这两个自然数的差等于多少?【分析】（1）根据最小公倍数 最大公因数AB,知道,180309060B（2）这两个数分别除以最大公因数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公因数的商,120430,将 30 分

44、解成两个互质的数之积：1 和 30,2 和 15,3 和 10,5 和 6,所以这两个数为 4 与 120,或 8 与 60,或 12 与 40,或 20 与 24（3）假设这两个数是 21a 和 21b,易得 21126ab,所以6ab,由 a 和b 互质,那么就有61 623 两种情况所以甲、乙是：21 121,21 6126或21 242,21 363两种情况它们的和是 147 或 105（4）设这两数为 A,B,(A,B)=m,记 A=ma,B=mb则(a,b)=1,且雷劈数有位印度数学家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块里程碑被雷电劈成两半,一半

45、上刻着 30,另一半刻着 25.这时,卡普利加的脑际中忽然发现了一个绝妙的数学关系:30+25=55,2553025把劈成两半的数加起来,和再平方,正好是原来的数.按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”,也叫“分和累乘再现数”.例 56第 12 级下超常体系教师版A+B=ma+mb=m(a+b)=297它们的最大公因数与最小公倍数的和为：A,B+m=mab+m=m(ab+1)=693综合、知 m 是 297,693 的公因数,而(297,693)=99,所以 m 可以是 99,33,11,9,3,1第一种情况：m=99,则(a+b)=3,(ab+1

46、)=7,即 ab=6=23,无满足条件的 a,b；第二种情况：m=33,则(a+b)=9,(ab+1)=21,即 ab=20=225则 a=5,b=4 时满足,此时 A=ma=335=165,B=mb=334=132,则 A-B=165-132=33；第三种情况：m=11,则 a+b=27,ab+1=63,即 ab=62=231,无满足条件的 a,b；一一验证 m=9,m=3,m=1 时,发现都没有满足条件的 a 和 b所以,这两个自然数的差为 33已知：a,b,c 是 3 个整数，且 abc.a,b,c 的最大公因数是 15；a,b 的最大公因数是 75；a,b 的最小公倍数是 450；b,

47、c 的最小公倍数是 1050.那么 c 是多少?【分析】由2(,)753 5a b ,22,45032575 32a b ,又 ab,所以45075ab 或225150ab 2,105023 57b c .当45075ab 时,有(450,75,)(75,)15,75,1050ccb cc,因为两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)75,c=75c=151050,得 c=210,但是 cb,不满足；当225150ab 时,有(225,150,)(75,)15,150,1050ccb cc,则 c=105,cb,满足,即225150105abc 为满足条件的唯一

48、解那么 c 是 105.（1）223 a 为完全平方数,则非零自然数 a 的最小值为_（2）2205 乘以一个非零自然数 a,乘积是一个完全平方数,则 a 最小为_.2205 除以一个自然数b,商是完全平方数,则 b 最小为_.（3）在891099100Nxxxxx里,x 是一个非零自然数.问：能使 N 成为一个平方数的最小 x值为_.（4）有一个不等于 0 的自然数,它的 12 是一个立方数,它的 13 是一个平方数,则这个数最小是.例 7例 67第 12 级下超常体系教师版第 4 讲【分析】（1）平方数分解质因数后的每个质因数的指数一定是偶数,因此 a 最小为 3.（2）22205441

49、5215,当5a 时,乘积为完全平方数.当 b=5 时,商也是完全平方数.（3）21089393(54)3 31(54)2xNxx,所以 x+54=93,x=39.（4）设为2 3abc（c 为不含质因子 2,3 的整数）,则它的 12 是123abc,是立方数,所以1a 是 3的倍数,b 是 3 的倍数,另外它的 13即12 3ab c是一个平方数,所以a 是偶数,b 是奇数,符合以上两个条件的a 的最小值为 4,b 的最小值为3,这个数最小为 432（1）两个平方数的差能否是 5?（2）两个平方数的差能否是 6?（3）两个平方数的差能否是 8?（4）通过上面三题,你能总结出两平方数之差有什

50、么特征吗?（5）三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为 80,第二大的数减去最小的数的差为 60,求这三个数.（6）写出五个各不相同的自然数 A、B、C、D、E,使得 A2+B2、A2+B2+C2、A2+B2+C2+D2、A2+B2+C2+D2+E2这四个数都是完全平方数.【分析】（1）设这两个数分别为 a,b 且（ab）（下同）则2222()()5 1(32)(32)32abab ab （2）22()()6abab ab,因为 a+b 与 a-b 的奇偶性相同,而 6 不能拆成同奇偶的两数相乘,因此没有两个平方数差 6.（3）2222()()42(31)(3 1)31a

51、bab ab（4）平方差公式中 a+b 与 a-b 的奇偶性相同,因此两个平方数的差可以是奇数,也可以是 4的倍数,但一定不能是除以 4 余 2 的数.（5）设这三个数从大到小分别为2A、2B、2C,那么有80ABAB,140ACAC,因为1402257,AC、AC同奇同偶,所以有14AC,10AC或70AC,2AC,分别解得12A,2C 和36A,34C,对于后者没有满足条件的 B,所以 A 只能等于 12,2C,继而求得8B,所以这三个数分别为212144、2864、224（6）由于222543,所以可以令3A,4B.设2222MCBA,则2225MC.我们知道13,12,5也是一组勾股数

52、,可以令12C,13M.按照这样的方法,可以求出当84D,3612E时满足条件.所以EDCBA、分别是3612,84,12,4,3.当然也可以是别的组合,此题答案不唯一.例 88第 12 级下超常体系教师版1.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数2.因数个数定理:设自然数 n 的质因数分解式如312123naaaanpppp.那么 n 的因数个数为1231111nd naaaa()()()()().3.短除模型：(,),ABmambmmabA BA B,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积.4.最简分数的最大公因数与最小公倍数的求法(子同母反)：(,

53、)(,),b db da ca c,(,)b db da ca c.5.完全平方数的有关性质性质 1：完全平方数的末位数字只可能是 0,1,4,5,6,9性质 2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质 3：如果一个完全平方数的个位是 6,则十位是奇数,反之亦然性质 4：如果一个完全平方数的个位是 0,则它末尾连续的 0 的个数一定是偶数个如果一个完全平方数的个位是 5,则其十位一定是 2,且其百位一定是 0,2,6 中的一个性质 5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数性质 6：平方差公式:22()()

54、abab ab.知识点总结小聪明“六一”儿童节,某小队全体同学（十人）去玩电子游戏,但每次只能一个人玩.同学们都想先玩,谁也不谦让.这时有人想了个主意,叫他们站成一排,1、2、3、4报数,报单数的离开队伍,剩下的再从队头开始报数,报单数的再离开,最后剩下谁,谁就先玩.小聪明很快找到了第一个先玩的应站的位置.想想看,小聪明站在_号位置上.答案：8 号9第 12 级下超常体系教师版第 4 讲性质 7：偶数的完全平方是 4 的倍数,奇数的完全平方被 4 除一定余 1,任何自然数的平方数不可能被 4 除余 21.已知偶数 A 不是 4 的整数倍,它的因数的个数为 12,求 4A 的因数的个数.【分析】

55、由于 A 是偶数但不是 4 的倍数,所以 A 只含有 1 个因子 2,可将 A 分解成12AB,其中 B是奇数,根据因数个数公式,它的因数的个数为1 112N(其中 N 为 B 的因数个数),则3482ABB,它的因数个数为1324N个2.三个连续自然数的乘积等于 39270这三个连续自然数的和等于多少?【分析】39270235711 17=333435 ,和为 1023.幼儿园里给小朋友分苹果,420 个苹果正好均分但今天刚好又新入园一位小朋友,这样每个小朋友就要少分 2 个苹果那么原来幼儿园有多少位小朋友?【分析】2420235722103 1404 105584670760 104212

56、35143015282021上式中只有 1430=(14+1)(30-2)=1528 符合题意,所以原有 14 个小朋友.4.一个数分别除以 1 114、1021、2049,所得的商都是自然数,这个数最小是.【分析】6075.已知两个自然数的和为 54,它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114,求这两个自然数.【分析】设这两个自然数分别是 ma、mb,其中m 为它们的最大公因数,a 与b 互质(不妨设a b),根据题意有：()54(1)114mbmam abmabmm ab所以可以得到 m 是 54 和 114 的公因数,所以是(54,114)6的因数1m ,2,3 或 6如果1m ,由()

57、54mab,有54ab；又由(1)114mab,有115ab 1151 115523,但是1 11511654,5232854,所以1m .如果2m,由()54mab,有27ab；又由(1)114mab,有58ab 581 58229,但是1585927,2293127,所以2m 如果3m,由()54mab,有18ab；又由(1)114mab,有39ab 391 393 13,但是1394018,3131618,所以3m 家庭作业10第 12 级下超常体系教师版如果6m,由()54mab,有9ab；又由(1)114mab,有20ab 20 表示成两个互质的数的乘积有两种形式：201 2045

58、,虽然 120219,但是有459,所以取6m 是合适的,此时4a,5b,这两个数分别为 24 和 306.已知 a 与 b,a 与 c 的最大公因数分别为 9、12,a、b、c 的最小公倍数是 180.则 a、b、c 分别是多少?【分析】由题意可知 a 至少为9,1236,180365,因此当 a 为 36 时,b,c,至少有一个有因数 5；当a 为 180 时,b,c,只能为 9 和 12,具体情况如下：abc3691253695123695125180912因此 a,b,c 的可能情况为：36,9,60；36,45,12；36,45,60；180,9,127.考虑下列 32 个数：1!,

59、2!,3!,32!,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是.【分析】设这 32 个数的乘积为 A2221!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A 2216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!,所以,只要划去16!这个数,即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数另外,由于16!16 15!,而 16 也是完全平方数,所以划去15!也满足题意8.若两个自然数的平方和是 637,最大公因数与最小公倍数的和为 49,则这两个数是多少?【分析】由于最小公倍数是最大公因数的倍数,所以最大公因数是最大公因数与最小公倍数的和的因数,即本题中这两个

60、数的最大公因数是 49 的因数,从而最大公因数为 1 或者 7如果最大公因数为 1,则最小公倍数为48,可能为1 和 48或 3 和16,这两种情况都不符合平方和为 637；如果最大公因数为 7,则最小公倍数为 42,可能为 7 和 42 或 14 和 21,此时221421637,满足题意,所以这两个数分别为 14 和 211第 12 级下超常体系教师版第 5 讲三年级春季等差数列初步四年级暑假等差数列进阶四年级寒假数表从日历谈起五年级寒假数表从杨辉三角谈起六年级春季数列数表模块综合选讲复习数列，日历型数表，三角型数表.漫画释义知识站牌第五讲数列数表模块综合选讲2第 12 级下超常体系教师版

61、数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先,数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来;其次,数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在位置的限制,这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有：1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要观察出突破口;2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来;3.周期性：许多数列数表问题是周期问题,特别是某些求某数在第几行第几列的问题;4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代

62、数关系;5.整体及动态分析;6.利用特殊位置：比如中间项,拐角,最大数或最小数等;7.结合奇偶分析或整除分析等.杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.(如下图)11051105161441313112111它有以下一些特点(更多的特点并未列出)：1.每个数等于它上方两数之和.2.每行数左右对称,由 1 开始逐渐变大.3.第 n 行的数有 n 个.4.第 n 行所有数之和为12n.模块一：例 1-3,数列问题模块二：例 4-6,日历型数表模块三：例 7-8,三角型数表例题思路经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 5 讲按规律填数,并写出每个数列的第

63、n 项(1)2,4,6,8,_,12(2)1,3,5,7,_,11(3)1,4,7,10,13,_.(4)1,4,9,16,_,36(5)1,2,4,8,16,_.(6)2,6,12,20,30,_.(7)1,3,6,10,15,_.【分析】答案分别为 10,9,16,25,32,42,21,第 n 项依次为 2n,2n-1,3n-2,2n,12n ,n(n-1),(1)2n n.数表中经常用这些规律.有 20 个等式123456789101112131415第 20 个等式的左右两边的和都是.【分析】第 n 个等式最左边的一个数为2n,紧挨着等号的左边的数为(1)n n,220400,202

64、1420因此第 20 个等式左边为 400+401+402+420=(400420)2186102下面的各算式是按规律排列的:1 1,23,35,47,19,211,313,415,1 17,那么第 18个算式是_.其中第_个算式的结果是 1992.【分析】第一个加数以 4 为周期变化,第二个加数呈等差数列,所以第 18 个算式是235,因为第一个加数小于等于 4,第二个加数为奇数,所以结果为 1992 的算式只可能是1 1991或31989,如果第二个加数是 1991,那么这是第 1 1991 19962个算式,那么第一个加数应该是 4,如果第二个加数是 1989,那么这是第1 198919

65、952个算式,第一个加数的确是 3,所以第 995 个算式的结果是 1992.例 3例 2例 14第 12 级下超常体系教师版一列自然数：0,1,2,3,2024,第一个数是 0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大 1,最后一个是2024.现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列.(1)第 13 行第 1 列的数为_.第 n 行第 1 列的数为_.(2)第 1 行第 10 列的数为_.第 1 行第 n 列的数为_.(3)第 15 行第 7 列的数为_.第 7 行第 15 列的数为_.(4)2014 在第_行,第_列.(5)对角线的数分别为 0,2,6,12,那么对角线的第 15 个

66、数为_.【分析】(1)每行第 1 个数为（行数-1）的平方.因此第 n 行第 1 列的数为2(1)n,第 13 行第 1 列的数为2(13 1)144.(2)第 1 行第 n 列的数为21n ,第 1 行第 10 列的数为210199.(3)第 15 行第 1 列的数为2(151)196,第 7 列的数为 196+7-1=202;第 15 列第 1 行的数为2151224,第 7 行的数为 224-7+1=218(4)2024-2014+1=11,2014 在第 11 行第 45 列.(5)对角线上的数的通项为(1)nn,因此第 15 个数为14 15210如图所示,把自然数按规律排列起来.如

67、果用“土”字型阴影覆盖出 8 个数求和,那么和能否等于(1)571(2)560(3)702(4)790.(“土”字不能旋转或翻转)【分析】如下图,可发现 x 不能除以 9 余 0 或 1,且 8 个数之和为 8x-18,为偶数(不能是 4 的倍数).(1)不能,因为 571 是奇数.(2)不能,因为 560 是 4 的倍数(3)不能,若 8x-18=702,则 x=90,90 除以 9 余 0,不可能框出.(4)可以.8x-18=790,则 x=101,101 除以 9 余 2,可以框出.例 5例 45第 12 级下超常体系教师版第 5 讲x+10 x+9x+8x-8x-10 x-9x-18x

68、将自然数1,2,3,10000列成如图的100 100的正方形数表：2,100,101,102,200,201,202,300,9901,9902,10000.1,从表中任意选定一个数,随后删掉该数所在的行和列,再对剩下的 99 99的正方形数表进行同样的处理,如此下去,工作了 100 次选数程序,那么被选中的 100 个数的和是.【分析】该数表的第 m 行第 n 个数的“通项公式”为 100(m-1)+n,选出的 100 个数分属不同行不同列,所以它们的和是 100(0+1+2+99)+(1+2+3+100)=500050.例 66第 12 级下超常体系教师版把自然数按如下规律排成三角形数表

69、：如 4 是第 3 行的第 3 个数,那么(1)自然数 100 是第_行左起的第_个数.(2)2014 是第_行左起的第_个数.(3)第20 行左起第 5 个数是_.(4)第21 行左起第8 个数是_.123654789101211【分析】观察规律.每n 行有 n 个数,奇数行是从大数到小数,偶数行是从小到大;(1)1232n nn,例 7神算小少年杨辉在南宋度宗年间,古城钱塘（今杭州）有一位少年,聪明好学,尤其喜爱数学.但由于当时数学书籍很少,这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题,并反复研究,从中增长知识.一天,这个少年无意中听说 100 多里的郊外有位老秀才,不仅精通算学,而且还珍藏

70、了许多九章算术、孙子算经等古代数学名著,非常高兴,急忙赶去.老秀才问明来意后,望了望这位少年,不屑地说：“小子不去读圣书,要学什么算学?！”但少年仍苦苦哀求,不肯走.老秀才无奈,于是说：“好吧,听着！直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何?（用现在的话来说就是：长方形面积等于 864 平方步已知它的宽比长少 12 步；问长和宽的和是多少步?）你回去慢慢算吧,什么时候算出来,什么时候再来”.说完便往椅子上一靠,闭目养起神来,心里却暗暗发笑：“小子一定犯难了,这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程）,即使他懂得算学,那一年半载也是算不出来的.”谁料,正当老秀才闭目思

71、量时,少年说话了：“老先生,学生算出来了,长阔共 60 步.”“什么?！”老秀才一听,惊奇地从椅子上跳起来,一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊,这小子是从哪里学来的?居然用这么简单的方法就算出来了.妙哉！老朽不如.”老秀才转过脸来,对少年夸奖道：“神算,神算,怠慢了,请问高姓大名?”“学生杨辉,字谦光.”少年恭敬地回答.后来的事,同学们都能想象出来了,在老秀才的指导下,杨辉通读了许多古典数学文献,数学知识得到全面、系统地发展.经过不懈的努力,杨辉终于成了我国古代杰出的数学家,并享有数学“宋元第三杰”之誉.7第 12 级下超常体系教师版第 5 讲(1)13 14912,14 15

72、1052,因此 100 在第 14 行,100-91+1=10,所以 100 是 14 行第 10 个数.(2)626319532,63 6420162,2016-2014+1=3,因此 2014 在第 63 行第 3 个数.(3)1+2+3+19+5=195(4)1+2+3+20+21-8+1=224如图,把从 1 开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表,如果这个数表有 40行,请通过计算回答下列问题：(1)第 1 行的数是多少?(2)第 20 行中最大数与最小数之和是多少?(3)第 35 行中最大数与最小数之和是多少?【分析】此数表有如下特点：(1)第 1 行有 1 个数,第 2 行有

73、2 个数,第 n 行有 n 个数.(2)数表中 1 所在行的下面每增加 1 行,上面会增加 2 行,因此 1 所在的行上下行数之比为 2：1.即 1 上面有26 行,下面有 13行.(3)按下面左表的方式来看,加粗的点所在的数为 1+2+3+.即从 1 开始的连续数的和.(4)每行中最大数在第 1 列.(5)前 27 行中奇数行的最小数在下面右表中 A,B,C,D的位置,偶数行的最小数在下面右表中 E 的位置,且 C 和 E 差 1.(4)第 28 行到第 40 行的最小数在下面右表中 X,Y,Z 的位置.因此：(1)根据题意,40 行共有：123440820个数,则根据题意有：第 1 行中的

74、数,应为：820-39=781;(2)第 20 行中的最大数为：781+19=800;第 2 行的最小数为 1+2+3+39;第 4 行的最小数为1+2+3+36;第 6 行的最小数为 1+2+3+33;第 20行最小数为 1+2+3+12=78,因此和为 800+78=878例 88第 12 级下超常体系教师版(3)第 35 行中的最大数为：781+34=815;第 28 行最小数为 1+1;第 29 行最小数为 1+2+3+4+1;第 30 行最小数为 1+2+3+4+5+6+7+1;第 35 行最小数为 1+2+3+22+1=254.和为815+254=1069ZYXEDCBA1.找规律

75、填数：1,5,11,19,29,55.【分析】+14+12+10+8+6+45541291911511 跟 5 差 4,5 和 11 差 6,11 和 19 差 8,19 和 29 差 10,29 跟下一个数差 12,291241家庭作业?处应填的数为_.99453936282172271821?137答案：72,99 数字和为 7+2+9+9=27；27,45 数字和为 18；18,39 数字和为 21；21,36 数字和为 12；12,28 数字和为 13；13,21 数字和为 7.答案为 12.9第 12 级下超常体系教师版第 5 讲2.将自然数 1,2,3,4,5,6,按如下的方式写出

76、,则含 300 的等式的结果为_.123456789101112131415【分析】第 n 个等式最左边的一个数为2n,紧挨着等号的左边的数为(1)n n,222891730018324,因此 300在第 17 行,17 18306因此含 300 的等式的结果为 289+290+291+306=(289306)18535523.有一串数 11,12,22,12,13,23,33,23,13,14,24,34,44,34,24,14,这串数从左往右,第个数是99.514 在这串数中的什么位置.【分析】需要求出 99 是第几个,先得知道分母是 18 的分数共有多少个?分母是 8 的分数共有2811

77、5(个),前 8 组共有1 158264.再算出,1999 共有 9 个分数,所以共有 64973(个).巧解为28973.514 会出现两次,第 1 次为分母为 14 的第 5 个数;第 2 次为分母为 14 的倒数第 5 个数.2135174;21441924.将自然数 1,2,3,4,按如下方式排出.则 300 在第_行第_列.12510436987 【分析】每一行的第 1 个数均为行数的平方,222891730018324,300-289=1118,因此 300 在第 11 行第 18 列.5.如图,把从 1 开始的自然数排成数阵.试问：能否在数阵中放入一个 33 的方框.使得它围住的

78、几个数之和等于：(1)300;(2)450;(3)648.如果可以,请写出方框中最大的数.10第 12 级下超常体系教师版【分析】9 个数之和为中间数的 9 倍,且中间数不能除以 7 余 0 或 1 才能框出.(1)300 不是 9 的倍数,因此不能框出.(2)4509=50,5071,因此不能框出.(3)6489=72,7272,可以框出,最大数为 72+7+1=806.下面方阵中所有数的和是多少?19011902190319041950190219031904190519511903190419051906195219481949195019511997194919501951195219

79、98【分析】我们不难看出,每一行、每一列都是一个等差数列,通过观察,每一列的相邻两个数都相差 1,由于每一行都有 50 个数,所以每行的和构成公差为 50 的等差数列.第一行的和我们可以求出,为：1901 195050296275（）一共有 19491901 1（）行,每行的和构成首项为 96275,公差为 50,项数为 49 的等差数列,那么最后一行的和为：962755049198675（）,所以,方阵中所有数的总和为96275986754924776275（）.7.如图所示,将 1 至 400 这 400 个自然数填入下面的三角形中,每个小三角形内填有一个数.“1”所处的位置为第 1 行;

80、“2,3,4”所处的位置为第 2 行;请问：(1)第 15 行正中间的数是多少?(2)第 12 行中所有空白三角形内的数之和是多少?(3)前 8 行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?11第 12 级下超常体系教师版第 5 讲【分析】(1)由于第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,第 3 行有 5 个数,则第 n 行有 2n-1 个数,根据题意,第 15 行有 29 个数.第 15 行的最后一个数为：1+3+5+7+9+.+29=225.由于第 15 行有 29 个数,则其中间数为：225-14=211;(2)根据题意,第 11 行中共有：21 个数,则有第 12

81、 行中最后一个数为 144.观察可知,偶数行时,奇数部分为空白部分.由于第 11 行中的最后一个数为 121.所以第 12 行中所有空白部分的数字为：123、125143,他们的和为：1231251431231431121463();(2)根据题意,第 1 行阴影部分比空白部分多：1 个;第 2 行阴影部分比空白部分多：212;第 3 行阴影部分比空白部分多：223;第 4 行阴影部分比空白部分多：234;第 5 行阴影部分比空白部分多：245;第 6 行阴影部分比空白部分多：256;第 7 行阴影部分比空白部分多：267;第 8 行阴影部分比空白部分多：278;所以他们的和为：7815361

82、7668.图中的数是按一定规律排列的,那么第 6 行第 23 列的数字是多少?【分析】根据题意,第 22 列的最后一个数字应为 1234567891011.的第 1+2+3+22=253 个数字.由于 1 到 9 中有数字：19=9 个;10 到 99 中有数字：290=180 个;100 到 999 中有数字：3900=2700 个.所以 253-189=64.643=21 余 1.所以第 22 列最后一个数为 121 中的 1,第 23 列第 1 行为 121 中的 2,所以第 23 列第 6 行为123 中的 1.1第 12 级下超常体系教师版第 7 讲六年级秋季圆柱圆锥六年级秋季复合图

83、形拆分六年级寒假几何模块综合选讲(一)六年级春季几何模块综合选讲(二)六年级春季几何模块综合选讲(三)复习长正方体，圆柱、圆锥，三视图，旋转问题.漫画释义知识站牌第七讲 几何模块综合选讲（三）2第 12 级下超常体系教师版1、基本计算:立体图形表面积体积2222Srhr圆柱侧面积个底面积2Vr h圆柱22360nSlr圆锥侧面积底面积=注:l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可,不需要掌握)213Vr h圆锥体()2Sabacbca、b、c 分别为长方体的长宽高.Vabc或VSh26Sa(a 为正方体棱长)3Va或VSh2、三视图与空间想象:(1)积木块表面积的求法:三视图(是主视

84、图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为:先俯后正侧检验;面积乘 2 加凹槽.三视图中,俯视图可能出现少木块的情况(2)正方体的 11 种展开图3、水中浸物问题:物体浸入水中的体积与排开水的体积相等.铁块浸入水中三种情况:1、水溢出;2、铁块完全浸入;3、铁块露出.水溢出时水高:H 容器;铁块完全浸入水高:H 原+容底铁SV;铁块露出时水高:铁底容底水SSV.4、切片法与标数法:体积切片“表”标数.(1)思想:化立体为平面、化无序为有序.(2)利用标数法时,注意利用图形的对称性.经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 7 讲例 1：组合图形计算例 2：组合图形计算例 3：排水问题

85、例 4：旋转问题例 5：三视图例 6：切片与标数法例 7：染色例 8：构造问题(1)一个无盖的长方体水槽,长5 米,宽0.5 米,高 0.4 米,做这个水槽至少要铁皮_平方米.将它注满水,水的体积是_立方米.(2)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5 厘米、4 厘米、3 厘米,把它们拼在一起可组成一个新长方体,在这些长方体中,表面积最小的是_平方厘米.(3)有高度相同的一段方木和一段圆木,体积之比是 1:1.如果将方木加工成尽可能大的圆柱,将圆木加工成尽可能大的长方体,则得到的圆柱体体积和长方体的体积的比值为_(结果保留).【分析】(1)长方体表面积:(50.50.50.40.45)9.

86、4平方米,注意到水槽没有上面,9.450.56.9 平方米;体积为50.50.41 立方米.(2)由于拼在一起可组成一个新长方体,所以拼接的两个面是完全相同的两个面,拼接成的长方体的面积,即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积,所以,在拼成的长方体中,表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况,而原来的长方体中最大的面为54这个面,所以,在拼成的这些长方体中,表面积最小为:(54433 5)454218840148 (平方厘米).(3)正方体:加工成的圆柱=4:,圆柱:加工成的正方体=:2,根据正方体与圆柱体积相同,经过连比圆柱体体积和长方体的体积的比值为2:8.求以下立

87、体图形的体积和表面积(取 3)(单位：厘米).例 2例 1例题思路4第 12 级下超常体系教师版【分析】体积：238121220 81728192036484 立方厘米，表面积:34 圆柱表面积23(8228 12)7204 ，正方体表面积(208)1212 820 8220 12800 ，720+800=1520 平方厘米.(1)正方体铁块,棱长是 6 厘米.将其放入一圆柱形杯子中,水面高度为 5 厘米(水没有溢出);再将铁块取出,水面下降 1 厘米.请问杯子里原来有多少立方厘米的水?(2)一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米,深 20 厘米,水深 15 厘米今将一个底面半径为 2厘

88、米,高为 18 厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析】(1)解：设杯子底面积为 x.(51)(66)5xx 解得 x=180.1804=720立方厘米.(2)若铁圆柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为：22251521817.885(厘米);它比铁圆柱体的高度要小,那么铁圆柱体没有完全浸入水中底面积为225221,水的体积保持不变为2515315所以有水深为 315617217(厘米),小于容器的高度 20 厘米,显然水没有溢出于是6177 厘米即为所求的水深如图,ABCD是矩形,6cmBC,10cmAB,对角

89、线 AC、BD 相交O 图中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周,则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米(取 3)?例 4例 35第 12 级下超常体系教师版第 7 讲DCBAO【分析】设三角形 BCO 以 CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V,则V 等于高为 10 厘米,底面半径是 6 厘米的圆锥,减去 2 个高为 5 厘米,底面半径是 3 厘米的圆锥的体积后得到所以,22116102359033V (立方厘米),那么阴影部分扫出的立体的体积是 2180540V(立方厘米)(1)已知：如图,20 个棱长为 1 厘米的小正方体组成一个立体图形,它的表面积是_平方厘米.阿基米德（公元前 2

90、87 年公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人.阿基米德流传于世的数学著作有 10 余种.其中方法论已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用.研究者们认为，“阿基米德有能力创造出伽利略和牛顿所创造的那种物理科学”.球与圆柱熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径.阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的三分之二.在这部著作中，他还提出了著

91、名的“阿基米德公理”.另一篇著作十四巧板组合数学的专家研究之后，又有了惊人发现十四巧板中的十四巧板总共有 17152 种拼法可以得到正方形。十四巧板表明“希腊人完全掌握了组合数学这门科学的最早期证据”.“阿基米德羊皮书”提供的方法论和十四巧板这两篇阿基米德遗作的重新问世，确实可以说是“改写了科学史”.正因为他的杰出贡献，许多人都认为：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯.例 56第 12 级下超常体系教师版(2)由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图,则组成几何体的小立方体个数的最大值是_,最小值是_(3)小明用若干个大小相同

92、的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体的主视图和俯视图都是 33 的图形,那么这个几何体至少用了块木块【分析】(1)俯视图面积 11;侧视图面积 7;正视图面积 9;还有两个凹槽面积为 4,所以其表面积为(1179)2458平方厘米.(2)最大111121131共 12 个;最少030020101共 7 个.(3)11110133314 块.已知：如图,两个555 的正方体被用两种方式打通,分别求两个立体图形的表面积和体积.例 67第 12 级下超常体系教师版第 7 讲【分析】(1)由顶到底的切片如下：故体积为 2424162424112;正视图标数如下：22222 211 1111 1111

93、 111 11 12 2正视图面积标数总和为 32;本题图形 6 个方向对称,故表面积为326192.(2)由顶到底的切片见下页图：故体积为 2192192181;正视图标数如下：131313 11333313 131 331 3正视图面积标数总和为 45;本题图形 6 个方向对称,故表面积为456270.例 78第 12 级下超常体系教师版把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为 1 的小立方体,其中,两面有红色的小立方体有 40 块,一面有红色的小立方体有 66 块,那么这个长方体的体积是多少?【分析】解：设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z 且 xyz.两面有红色的

94、小立方块只能在长方体的棱上出现,若 x=1,则没有两面有红色的小立方块,所以2x,此时两面红色的方块只能与长方体的棱共棱,一面红色的方块只与长方体的面共面,从而有4(x-2)+(y-2)+(z-2)=40,2(x-2)(y-2)+(x-2)(z-2)+(z-2)(y-2)=66整理得,x+y+z=16xy+yz+zx=85于是有22286xyz即2,9x y.逐个检验,可知 x=5,y=5,z=6,此时长方体的体积为 150.已知：如图,正方体的棱长为 6cm,连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形,而连接其中三个顶点形成一个正三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面,它的体积是

95、_立方厘米.【分析】从图中可以看出,夹在六边形与三角形之间的立体图形有2 个底面和6 个侧面(六边形的每一条边对应一个侧面),所以共有 8个面,由于正方体是关于它的中心成中心对称的,而根据正六边形和正三角形的连法,如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后,剩下的部分正好被六边形分成 2 个同样的立体图形,这就是所要求的立体图形所以所要求的立体图形的体积是：3111666266672(cm)232 【铺垫】如图,原正方体的棱长为 12 厘米,沿图中的线将正方体切掉正面的部分,求剩下不规则立体图形的体积是多少?例 89第 12 级下超常体系教师版第 7 讲【分析】倾斜于

96、上下底面的切面,把正方体一分为二被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的中心是对称的33122864(cm).1、基本计算:立体图形表面积体积2222Srhr圆柱侧面积个底面积2Vr h圆柱22360nSlr圆锥侧面积底面积=注:l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可,不需要掌握)213Vr h圆锥体有一个牛奶瓶，其下半部分是圆柱形，高度为整个瓶高的 34；其上半部分形状不规则，占瓶高的 14.现在瓶内只剩一部分牛奶，在不打开瓶盖的情况下，利用一把直尺，怎样测定这些牛奶占整个牛奶瓶容积的几分之几(奶瓶的内径忽略不计)?答：先把奶瓶正放，用直尺量出瓶子里牛奶的高度记为 a；再把

97、瓶子倒过来，量出从牛奶液面到瓶底的高度记为 b.所以 a+b 就是整个奶瓶容积的圆柱体高度.则牛奶占整个牛奶瓶容积的aab.知识点总结10第 12 级下超常体系教师版()2Sabacbca、b、c 分别为长方体的长宽高.Vabc或VSh26Sa(a 为正方体棱长)3Va或VSh2、三视图与空间想象:(1)积木块表面积的求法:三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为:先俯后正侧检验;面积乘 2 加凹槽.三视图中,俯视图可能出现少木块的情况(2)正方体的 11 种展开图3、水中浸物问题:物体浸入水中的体积与排开水的体积相等.铁块浸入水中三种情况:1、水溢出;2、铁块完全浸

98、入;3、铁块露出.水溢出时水高:H 容器;铁块完全浸入水高:H 原+容底铁SV;铁块露出时水高:铁底容底水SSV.4、切片法与标数法:体积切片“表”标数.(1)思想:化立体为平面、化无序为有序.(2)利用标数法时,注意利用图形的对称性.1.求以下图形的表面积和体积(取 3).【分析】体积：2320620620256404.表面积：2334622620220620202084688002204.44 2.如图,圆锥形容器中装有水 50 升,水面高度是圆锥高度的一半.这个容器最多能装水升.家庭作业11第 12 级下超常体系教师版第 7 讲【分析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的 4 倍,圆锥容

99、器的高是现在装水时圆锥高的 2 倍,所以容器容积是水体积的 8 倍,即50 8400升.3.有一个足够深的水槽,底面是长为 16 厘米,宽为 12 厘米的长方形,原本在水槽里盛有 6 厘米深的水和 6 厘米深的油(油在水的上方).如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、8 厘米、12 厘米的铁块,那么油层的高是_厘米.【分析】铁块被放入后,液面的高度变成8 8 121216()16 12cm,其中水层的高度变成166 129()16 128 8cm ,所以油层的高度为 16-9=7(cm).4.(1)已知：如图，由 18 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，求它的表面积是多少(2)正

100、视图和侧视图都如下图所示，那么最少_块木块.(1)(2)【分析】(1)(998)2254.(2)43212344+3+2+1+2+3+4=19 块.5.左边正方形的边长为 4,右边正方形对角线长度为 6.如果按照图中所示的方式旋转,那么得到的12第 12 级下超常体系教师版两个旋转体的体积之比是多少?【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：22416;右边正方形旋转所围成的体积为：21661834所以两者所围成的体积之比为 8:9.6.已知：如图,每个小正方体棱长为 1，该有孔(贯穿)正方体的表面积(含孔内各面)是【分析】观察有孔正方体的特点,先求出有孔正方体外表面的面积,再加上孔内表面的面积总

101、和,即可求出有孔正方体的表面积有孔正方体外表面面积为：25 56126138 本题关键是计算孔内表面面积,观察一组相对面之间的孔,每个孔均分别与另两个方向的一个孔“相交”,所以,其每个孔内表面面积是1 342216,但是两个“相交”的孔,不仅互相破坏了对方的内壁,两个孔位被重叠的部分也出现了重叠,所以,有孔正方体孔内表面面积总和是：16236284所以,有孔正方体表面积为：138842227.64 个棱长为 1 的小正方体,其中 34 个为黑色的,30 个为白色的;现将它们拼成一个 444 的大正方体;那么在大正方体的表面上,黑色部分的面积最小为;最大为.13第 12 级下超常体系教师版第 7

102、 讲【分析】若要黑色部分的面积最小,那么应当有 8 个黑色块去做这个图形不会露出来的“内核”,剩下34826个黑色块中,再拿出 4624个放在只露出一个面的位置上;但此时还剩下26242个黑色块,它们应当被放在只露出 2 个面的棱块的位置上;综上,面积最小值为242228;若要黑色部分的面积最大,那么应先拿出 8 个黑色块放在露出 3 面的角块的位置上;剩下34826个黑色块中,再拿出2 1224个放在露出 2 个面的棱块的位置上;但此时还剩下26242个 黑 色 块,它 们应 当 被放 在 露出 1 个面 的位置 上;综 上,面积 最大 值为3 8224274.8.已知：如图是一个立体图形的

103、平面展开图,图中的正方形边长都为 2.按图所示数据,这个五棱柱的体积等于.【分析】棱长为 2 的正方体减去一个三棱柱，3121 1272 .1第 12 级下超常体系教师版第 8 讲六年级秋季神奇的九六年级秋季数的进制六年级寒假数 论 模 块 综 合 选 讲（一）六年级春季数论模块综合选讲(二)六年级春季数论模块综合选讲(三)主要是对带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理的复习和巩固.漫画释义知识站牌第八讲 数论模块综合选讲（三）2第 12 级下超常体系教师版1.余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b,若有 abqr ，或者abqr,0rb；当0r 时，我们称a 能被b 整除；

104、当0r 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以 b 的余数，q 为a 除以 b 的商2.同余若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用“同余式”表示为modabm意味着(我们假设 ab)abmk，k 是整数，即|mab若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被 c 整除3.余数的性质被除数 除数 商 余数；除数 (被除数 余数)商；商 (被除数 余数)除数；余数小于除数如果,a b 除以 c 的余数相同，就称,a b 对于除数 c 来说是同余的，且有 a 与 b 的差能被 c 整除(,a b c 均为自然数)例如

105、：17 与 11 除以 3 的余数都是 2，所以1711能被 3 整除 a 与b 的和除以c 的余数，等于,a b 分别除以 c 的余数之和(或这个和除以 c 的余数)例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以(2316)除以 5 的余数等于314 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以 c 的余数例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以(2319)除以 5 的余数等于(34)除以 5 的余数 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于,a b 分别除以 c 的余数之积(或这个积除以 c 的余数)例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，

106、所以(23 16)除以 5 的余数等于3 13 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以 c 的余数例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以(23 19)除以 5 的余数等于(34)除以 5 的余数4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余例如 AaBbd,则有,NdA B n，而 N 的最小值是,NA Bd;绝招二：加同补例如：AaBbe;则有,NeA B n，而 N 的最小值是,NA Be;绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法经典精讲3第 12 级下超常体系教师版第 8 讲带余除法：例 1余数性质：例 2、例 3余数性质、同余问题：例 4同余问题：例 5、例 6剩

107、余问题：例 7、例 8(1)a、b 两数的差是 737，数 a 除以数 b，得商 16，余 17，则 a=，b=.(2)两个正整数相除，商是 7，余数是 5，如果被除数、除数都扩大到原来的 4 倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于 1039.原来的被除数是_，除数是_.【分析】(1)由 题 知1617ab，并 且737ab,即=+737a b,所 以7371617bb，即1573717720b，所以48,737785bab.(2)被除数 除数=7 余5，如果被除数、除数都扩大到原来的 4 倍，那么商不变，但是余数也要变成原来的 4 倍，即 44720被除数除数余.这时，由题意有：447201

108、039 被除数除数，化简可以得到253被除数除数，结合75被除数除数余 得 25357 131除数，25331222被除数.na 表示7n 的末两位数，那么12320132014+=_.aaaaa【分析】11707,a 23452345749,743,701,707,aaaa所以四个一循环.201445032，1234+=07+49+43+01=100aaaa，12320132014+=10050374950356aaaaa，末两位是 56，所以原式最后结果是56.123420132014123420132014除以 10 所得的余数为多少？【分析】求结果除以 10 的余数即求其个位数字从 1

109、 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把所有加数的个例 2例 3例 1例题思路4第 12 级下超常体系教师版位数按每 20 个(20 是 4 和 10 的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算 123420123420的个位数字，为1476563690163656749094 的个位数字，为 4，由于 2014 个加数共可分成100 组零 14 个数，100 组的个位数字和是 4 100400，个位数为 0.另外 14 个数它们的个位数字是943163的个位数，即 3，所以原式的个

110、位数字是3，即除以 10 的余数是 3在 1 到 2014 的所有自然数中，有多少个整数 x 使得 2x 与2x 被 7 除的余数相同？【分析】2x 被 7 除的余数是 2、4、1、2、4、1每 3 个数以循环；2x 被 7 除的余数是 1、4、2、2、4、1、0；1、4、2、2、4、1、0每 7 个一循环.同时满足两个条件的，必然是 3 和 7 的公倍数，即 21 的倍数.所以余数列是 21 个一循环.x1234567891011121314151617181920212x2412412412412412412412x142241014224101422410余数列中 21 个数有 6 个余

111、数相同，2014219519，所以共有 9566576.例 5费马数221n 人们一般把整数看作最基本的数，其它数都由整数衍生出来.然而专业的数学人士却不这么看，他们认为质数才是最基本的数，他们试想用一个公式能找出所有的质数.被称为“17 世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质.费马发现，设2()21nF n=，则当 n 分别等于 0、1、2、3、4 时，()F n 分别给出 3、5、17、257、65537，都是质数，由于5F 太大（54294967297F），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，()F n 都是质数，这便是费马数.但是，就是在5F 上出了问题！费马死后

112、67 年，25 岁的瑞士数学家欧拉证明：54294967297641 6700417F，它并非质数，而是一个合数！更加有趣的是，之后人们发现随着 n 增大，很多数都不是质数.质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！同学们，寻找质数之旅就需要依赖大家的智慧啦！例 45第 12 级下超常体系教师版第 8 讲(1)两位自然数ab与ba 除以 7 都余 1，并且 ab，求 abba(2)学校举行“六一”联欢晚会，老师给孩子们准备了 50 个橘子，260 块饼干，120 块奶糖.平均分发完毕，还剩 4 个桔子，7 块饼干，5 块奶糖.问这个班有多少位小朋友?(3)现有糖果 254 粒，饼干

113、 210 块和桔子 186 个某幼儿园大班人数超过 40每人分得一样多的糖果,一样多的饼干，也分得一样多的桔子余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是 1:3:2，这个大班有_名小朋友，每人分得糖果_粒，饼干_块，桔子_个【分析】(1)abba能被 7 整除，即(10)10)9abbaab（）能被 7 整除所以只能有7ab，那么 ab 可能为 92 和 81，验算可得当92ab 时，29ba 满足题目要求，92292668abba(2)小朋友人数应是 46、253 和 115 的公因数，只有 23 满足条件，所以该班有 23 人.(3)设大班共有a 名小朋友由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1

114、:3:2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而 254186210230一定是 a 的倍数同样，2254186322也一定是a 的倍数所以，a 只能是(230,322)23246的因数但 a40,所以 a=46此时 254=465+24，210=463+72，186=463+48故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个已知 60，154，200 被某自然数除所得的余数分别是1a ，2a，31a ，求该自然数的值【分析】根据题意可知，自然数 61，154，201 被该数除所得余数分别是 a，2a，3a 由于2aaa，所以自然数2613721与1

115、54 同余；由于32aaa，所以 61 1549394与201 同余，所以除数是3721 1543567和93942019193的公因数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)29，该除数为 29经检验成立(1)n 除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 16 余 15.n 最小为 _.(2)a 是一个三位数.它的百位数字是 4，9a 能被 7 整除，7a 能被 9 整除，问 a 是多少？(3)一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？【分析】(1)加上1后变成1 16的公倍数，所以

116、1n 最小为16957 11 13720720 ，n 最小为720719.(2)9a能被 7 整除，说明972aa 能被 7 整除；7a 能被 9 整除，说明792aa 能被 9 整除；7 963，则 63261符合上述两个条件，又 a 是一个百位数字是 4 的三位数，估算知，63 661439a .(3)根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是 537 18 ，这样我们可以把余数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以例 7例 66第 12 级下超常体系教师版7 余 8，所以可以看成这个数除以 5、7、9 的余数都是 8，那么

117、它减去8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315，所以这个数最小为 315 8323 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?BA【分析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为 1，然后沿逆时针方向顺次编号为 2，3，4，B 孔的编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔 2 孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应

118、在 1，4，7，10，上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是 3 的倍数加 1按题意，小明最后跳到 B 孔，因此总孔数是 3 的倍数加 1同样道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是 5 的倍数加 1；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A 孔，就意味着总孔数是 7 的倍数如果将孔数减 1，那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数，因而是 15 的倍数这个 15 的倍数加上 1 就等于孔数，设孔数为 a，则157105(m 为非零自然数)而且a 能被 7 整除注意 15 被 7 除余 1，所以156 被 7 除余 6，15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除我们还可以看出，15 的

119、其他(小于的 7)倍数加 1 都不能被 7 整除，而157105已经大于 1007 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191 例 87第 12 级下超常体系教师版第 8 讲1.余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b,若有 abqr ，或者abqr,0rb；当0r 时，我们称a 能被b 整除；当0r 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以 b 的余数，q 为a 除以 b 的商2.同余若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用“同余式”表示为modabm意味着(我们假设 ab)abmk，k 是整数，即|mab3.余数的性质

120、被除数 除数 商 余数；除数 (被除数 余数)商；商 (被除数 余数)除数；余数小于除数和之余同余于余之和.差之余同余于余之差.积之余同余于余之积.4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余绝招二：加同补绝招三：中国剩余定理知识点总结过去使用过这样的币制：12 便士相当于 1 先令，20 先令相当于 1 磅.如果我花了 3 磅 11 先令4 便士买了一所崭新的豪华居所，那么我付 5 磅的钞票应该找回我多少钱？【答案】1 磅 8 先令 8 便士8第 12 级下超常体系教师版绝招四：逐步满足法1.数 1257 除以一个三位数，余数是 150，则这个三位数是.【分析】因为除数商=被除数余数=12571501

121、107所以 1107 应是除数的整数倍.将 1107 分解质因数，得11073 3 341 ，而除数应大于 150，并且是三位数，可知符合条件的 1107 的因数只有 3341=369，所以这个三位数是 369.2.小闻在计算有余数的除法时，把被除数 268 看成 286，结果商比原来多 1，余数比原来多 6，问原来除式中的余数是多少？【分析】268amb，做错变成28616amb，可得：286268612a，268 12224，原来的余数为 4.3.在大于 2009 的自然数中，被 57 除后，商与余数相等的数共有_个.【分析】根据题意，设这样的数除以 57 所得的商和余数都为 a(a57)

122、，则这个数为 57a+a=58a.，所以 58a2009，得到 a200958=3734 58，由于 a 为整数，所以 a 至少为 35.又由于 a57，所以 a 最大为 56，则 a 可以为 35，36，37，56.由于每一个 a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有5635122 个.4.六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是_【分析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”

123、可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以 3 余 2六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 11935.1991 和 1769 除以某个自然数 n，余数分别为 2 和 1那么，n 最小是多少？【分析】如果用 1990 和 1769 去除这个自然数 n 时，余数是 1而1990176922113 17，经检验13n 符合要求，所以 n 最小为 136.若 2836，4582，51

124、64，6522 四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同，除数是多少？【分析】24582283617462973，516445825822973，6522516413582977，因为除数是两位数，所以除数是 97.家庭作业9第 12 级下超常体系教师版第 8 讲7.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数.这三个连续自然数最小是多少？【分析】根据题意，令这三个连续的自然数分别是：a、1a 、2a，则它们从小到大依次是 5、7、9 的倍数.所以我们有：507697aaa 满足前两个的所有的自然数为：2035n所以有：203597n ，所以 3595n ，有895n ，则

125、n 最小取 4，此时 a 最小取160.所以这三个自然数为 160、161、162.8.已知：三个连续自然数，它们都小于 2002，其中最小的一个自然数能被 13 整除，中间的一个自然数能被 15 整除，最大的一个自然数能被 17 整除，那么，最小的一个自然数是_.【分析】能被 17 整除且除以15 余1 的最小自然数是136.因为17 15255，所以最大数应具有形式：136255(0,1,2)k k.因 为 是 三 个 连 续 自 然 数，所 以 最 小 一 个 自 然 数 是134255(0,1,2)k k.当6k 时，1342551664k能被 13 整除，所以最小的一个自然数是 16

126、64.1第 12 级下超常体系教师版第 9 讲六年级暑假最值问题综合六年级秋季数字谜中的计数六年级秋季抽屉原理进阶六年级寒假组合模块综合选讲（一）六年级春季组合模块综合选讲（二）对组合中最值问题，体育比赛，统筹问题，构造论证等问题的复习漫画释义知识站牌第九讲 组合模块综合选讲（二）2第 12 级下超常体系教师版组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科.简单来说组合数学解决的主要有以下几个问题：1.是否存在?2.存在构造或论证3.不存在论证4.存在的话，上下限最值问题5.共有多少种情况计数6.哪种情况最佳统筹与最优化,必胜策略例 1：最值原理例 2

127、：体育比赛例 3：统筹与最优化例 4：计数例 5：概率例 6：染色与覆盖例 7：中国邮差例 8：构造与论证例题中字母均代表正整数.(1)a+b=100,则 ab 最大为_，最小为_.(2)a+b+c=100，则 abc 最大为_，最小为_.(3)将 100 拆成若干个自然数之和，则这些数的乘积最大为_.(列出式子即可)(4)ab=100,则 a+b 最大为_，最小为_.(5)abc=100,则 a+b+c 最大为_，最小为_.【分析】(1)和一定，差小积大，差大积小.100=50+50=99+1，乘积最大为 5050=2500，最小为 991=99.例 1例题思路经典精讲3第 12 级下超常体

128、系教师版第 9 讲(2)100=33+33+34=98+1+1，积最大为 333334=37026，最小为 9811=98(3)整数分拆最值情况为：多 3 少 2 无 1.1003331，可以拆为 32 个 3，2 个 2，因此乘积最大为23223(4)积一定，差小和小，差大和大.100=1001=1010，和最大为 100+1=101，最小为 10+10=20(5)100=10011=455，和最大为 100+1+1=102，最小为 4+5+5=14.有 10 支队伍参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛 1 场)，需比赛_场.(2)如果进行淘汰赛(胜者继续比赛，负者下场)产生冠军，共需

129、比赛_场.(3)如果进行双循环赛(每两队赛 2 场)，需比赛_场.(4)如果在 2-0 赛制下(胜者得 2 分，负者得 0 分，无平局)，单循环赛结束后，所有队的总积分为_分，每个队的得分均为_(填“奇”或“偶”)数.(5)如果在 2-1-0 赛制下(胜者得 2 分，平局各得 1 分，负者得 0 分)，单循环赛结束后，所有队的总积分为_分.(6)如果在 3-1-0 赛制下(胜者得 3 分，平局各得 1 分，负者得 0 分)，单循环赛结束后，所有队的总积分最高为_分，最低为_分.若最后总积分为 128 分，则出现了_场平局.【分析】(1)21045C场(2)每场淘汰一个，最终剩下一个，因此共比赛

130、了 9 场.(3)双循环赛，每只队伍都比赛 9 场，因此共比赛了 90 场.(4)2-0 赛制下，每场总积分为 2 分，单循环共比赛了 45 场，因此总积分为 452=90 分，2和 0 均为偶数，因此每个队的得分也均为偶数.(5)2-1-0 赛制下，每场总积分为 2 分，单循环共比赛了 45 场，因此总积分为 452=90 分.(6)3-1-0 赛制下，每场最高积 3 分(无平局)，最低积2 分(出现平局)，总积分最高为 453=135分，最低为 90 分.每出现一场平局，就会在最高分上减 1 分，135-128=7，若总积分为 128分，则出现了 7 场平局.40 名学生参加义务植树活动，

131、任务是：挖树坑，运树苗.这 40 名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如下表所示.如果他们的任务是：挖树坑 30 个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?例 3例 24第 12 级下超常体系教师版【分析】法 1：这三类学生挖树坑的相对效率是甲类：20.120挖树坑运树苗乙类：1.20.1210挖树坑运树苗丙类：0.80.1147挖树坑运树苗.由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖 1.215=18(个)，再安排丙类学生挖树坑，可挖 0.810=8(个)，还差 30-18-8=4(个)树坑，由两名甲类学

132、生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，其余 13 名甲类学生运树苗，可以运1320=260(棵).法 2：设甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有 x 人、y 人、z 人，其中 0 x15，0y15，0z10，则甲、乙、丙三类学生中运树苗的分别有(15-x)人、(15-y)人、(10-z)人.要完成挖树坑的任务，应有 2x+1.2y+0.8z=30，即 20 x300-12y-8z，在完成挖树坑任务的同时，运树苗的数量为 P=20(15-x)+10(15-y)+7(10-2)=520-20 x-10y-7z 将式子整理解得p=520-300+12y+8z-10y-7z=220+2y+z.当 y=15，

133、z=10 时，P 有最大值，maxp=220+215+10=260(棵).将 y=15，z=10 代入，解得 x=2，符合题意.因此，当甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有 2 人、15 人、10 人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最多，最多为 260 棵.能被 3 整除且至少有一个数字是 6 的四位数有个.【分析】用排除法，四位数总共有 9101010=9000 个，其中能被 3 整除的四位数有 3000 个，排除掉能被 3 整除且不含有数字 6 的四位数之后剩下的所有的四位数都满足条件！设能被3 整除且不含有数字 6 的四位数为 abcd，最高位千位 a 有 8 种选法(不能选 0 或

134、6)，百位有 9 种选法(不能选 6)，十位也有 9 种选法(也不能选 6)，若前三位的数字和(a+b+c)除以3 余 0 则个位 d 有 3 种选法(可选 0，3，9)；若前三位的数字和(a+b+c)除以 3 余 1，则个位 d 有 3 种选法(可选 2，5，8)；若前三位的数字和(a+b+c)除以 3 余 2，则个位 d 还是有3 种选法(可选 1，4，7)；故能被 3 整除且不含有数字 6 的四位数有 8993=1944 个.从而得到能被 3 整除且至少有一个数字是 6 的四位数有 3000-1944=1056 个.例 45第 12 级下超常体系教师版第 9 讲一位养鱼专业户想测算出一个

135、鱼塘中养鱼的条数，他上个月从鱼塘中随机地捕捉了 60 条鱼，并对它们作了标记后又放回鱼塘中，这个月又从鱼塘中随机地捕捉了 70 条鱼，发现其中 3 条鱼是有标记的.为了计算出上个月鱼塘中养鱼的条数，他假定上个月鱼塘中鱼的 25到这个月时已不在塘中(由于死去和迁出)，这个月鱼塘中鱼的 40上个月时并不在塘中(由于出生和迁入).那么上个月和这个月这个鱼塘中各养鱼多少条?【分析】法 1：上个月：3(125%)4(条)，604 70(140%)(125%)840(条)这个月：1050 条法 2：上个月随机抽取的 60 条鱼现在还剩:60(125%)45(条)抽到的可能性就为：134515现在鱼塘里鱼的

136、总数：170105015(条)上月鱼塘里鱼的总数：1050(140%)(125%)840(条)上个月鱼塘里养鱼 840 条(1)能否用 9 个如图所示的“T 型”拼成一个 66的棋盘?例 6例 5中国邮递员问题著名图论问题之一。邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线?此问题由中国数学家管梅谷于 1960 年首先研究并给出算法，故名。此问题类似于 TSP 问题。TSP 问题（Traveling Salesman Problem），即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访 N 个城市，他必须选择所要走的路径，路径

137、的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值，这是一个 NP 难问题。TSP 的历史很久，最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。6第 12 级下超常体系教师版(2)能否用 9 个如图所示的1 4的长方形拼成一个 66的棋盘?(3)能否用 9 个如图所示的“L 型”拼成一个 66的棋盘?(4)证明：在 666 的正方体盒子中最多可放入 52 个 114 的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的表面平行.【分析】(1)不能

138、，按照左下图的黑白染色，每个 T 覆盖了奇数个黑，奇数个白，那么 9 个 T 只能盖住奇数个黑和奇数个白，但图中有 18 个黑格，所以不能完全覆盖.(2)不能，按照如左中图方式染色，每个1 4的长方形覆盖了 1 个黑色格子，那么 9 个1 4的长方形只能覆盖 9 个黑色格子，但图中有 10 个黑色格子，所以不能完全覆盖；(3)不能，如右下图方式染色，每个“L 型”覆盖奇数个黑格，9 个“L 型”覆盖了奇数个黑格，而黑格总数是偶数，所以不能完全覆盖.(4)先将 666 的正方体盒子视为实体，那么 666 的正方体可分成 216 个小正方体，这216 个小正方体可以组成 27 个棱长为 2 的正方

139、体.我们将这 27 个棱长为 2 的正方体按黑白相间染色，如下图所示.其中有 148=112 个黑色的,138=104 个白色的,一个 114 的小长方体放入，一定占 2 黑 2白，因此最多放入 1042=52 个 114 的小长方体.注：666 的正方体的体积为 216，114 的小长方体的体积为 4，所以可放入的小长方体数目不超过 2164=54 个.7第 12 级下超常体系教师版第 9 讲(1)A 邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1 千米.如果 A 邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么 A 邮递员最少需要走多少千米?(2)下图为 B 邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为

140、邮户，每个小长方形的长为 180 米、宽为 150米.如果 B 邮递员每分钟行 100 米，在每个邮户停留 1 分钟，从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟?【分析】(1)一笔画问题.图中有 2 个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出.现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重复.连接两个奇点，那么现在总路线多了 1 千米，奇点个数为 0 个，可以一笔画出.那么总路线为各条线段长度加起来，再加 1，共 26 千米.(2)算上邮局，共需要去 24 家，因此至少要走 24 段路，时间最少，则应该让 180 的路最少，但要保证回去，至少需要走 10 段 180(来回各

141、5 段)，剩下的 14 段为 150 的路，右图为一种符合条件的走法.因此最少路程为 15014+18010=3900 米，所用时间为 39+23=62 分钟.试着把边长为 1 1 11,2 3 4100的这 99 个小正方形不重叠地放入 1 个边长为 1 的正方形内.能做到就画出一种放法，不能，请说明理由.【分析】能.12+13 12 2=1,例 8例 78第 12 级下超常体系教师版14 15 16 17 14 4=1,18 19 110 115 18 8=1,116 117 118 131 11616=1,132 132 133 163 13231=1,164 165 166 1100

142、164 371.12 14 18 116 132 164=6364 1.如下图，将边长 12,13 的小正方形放入长 1、宽 12 的长方形；将边长 14 17 的小正方形放入长 1、宽 14 的长方形；将边长 18 115的小正方形放入长 1、宽 18的长方形；将边长 116 131的小正方形放入长 1、宽 116的长方形；将边长 132 163 的小正方形放入入 1、宽 132 的长方形；将边长 164 1100 的小正方形放入长 1、宽 164 的长方形.9第 12 级下超常体系教师版第 9 讲1.(1)四边均为正整数，且周长为 100 米的长方形(包括正方形)，面积最大为_，最小为_.

143、(2)面积为 100 平方米，且四边均为正整数的长方形(包括正方形)，周长最大为_，最小为_.【分析】(1)和一定，差小积大，差大积小.周长为 100，长与宽的和为 50，50=25+25=49+1，面积最大为225625平方米，最小为49 149 平方米.(2)积一定，差小和小，差大和大.100=1001=1010，因此周长最大为 2(100+1)=202 米，最小为 2(10+10)=40 米.2.参加世界杯足球赛的国家共有 32 个(称 32 强)，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出 16 强后，进入淘汰赛，每两个国

144、家用一场比赛定胜负，产生 8 强、4 强、2 强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名.至此，本届世界杯的所有比赛结束.根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场?【分析】单循环赛中，有3248(个)组.每组 4 个队.每组四个队中，每个队要与其他3队都比赛1场，每个队就比3 场.因为每场比赛要2 个队.所以1组里有4326(场).有8 个组，单循环赛就有8648(场).进入淘汰赛，有16 个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16115 场，还要决出第三名，第四名，又多了1场.淘汰赛就有15116场.世界杯的足球赛全程共有 481664(场).3.小明在家的一面墙上

145、贴奖状，一共有 32 张，给一张奖状涂满胶水需要 2 分钟，涂完胶水后要过2 分钟才能往墙上贴，贴的过程需要 1 分钟，但是如果等待超过 6 分钟的话胶水就会干掉不能家庭作业如图每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有_根火柴棒，共有_个正方形，至少去掉_根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形.答案：有 452=40 根火柴棒，4433221=30 个正方形.一共有 16 个小正方形，每去掉 1 根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉 8 根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏 1 个小正方形，所以至少要去掉 9 根火柴棒，构造如右图.10第 12 级下超常体系教师

146、版再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状?【分析】用最短时间贴完所有的奖状就相当于问如何最节省时间，这道题目应该从反面来考虑：时间如果浪费了，会浪费在等待上，也就是说如果不想浪费时间，我们最需要做的就是不能等待.那么可以试验一下，当第一张奖状涂完的时候，这时候不能贴也不能等那么就只能继续涂下一张，等第二张涂完了就可以继续贴，但是这样下去到了最后一张的时候还是需要等待胶水可以粘贴的一段时间.那么继续试验先涂第一张 A 然后涂 B，然后涂C，这时候 A 等待了 4 分钟马上贴上，再涂一张 D马上贴上已经等待了 5 分钟的 B，再涂一张 E 贴上已经等待 6 分钟的C(题目中说等待超过 6 分

147、钟就不可以，那么等于六分钟应是可以的)这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的 2 分钟和贴的 1 分钟，那么总时间是 96 分钟.4.某小组有 12 个同学，其中男少先队员有 3 人，女少先队员有 4 人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种?【分析】把4 个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5 名同学一块儿进行排列，有6665432 1720A (种)排法.然后在七个空档中排列 3 个男少先队员，有37765210A(种)排 法，最 后 4 个 女 少 先 队 员 内 部 进 行 排 列，有44432 124A (种)

148、排法.由乘法原理，这样的排法一共有 720210243628800(种).5.一个班有女生 25 人，男生 27 人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之几?【分析】从 25 名女生中任意抽出两个人有 25243002种不同的方法.从全体学生中任意抽出两个人有 525113262种不同的方法.计算概率：300501326221.6.证明：1010 的棋盘不能用 25 个 14 的长方形完全覆盖.【分析】如图，按照上图方法阶梯染色，一共有 26 个黑格，而每个小长方形只能覆盖一个黑格，所以不能完全覆盖整个图形.11第 12 级下超常体系教师版第 9 讲7.下图是某街区的示意图，各线段代表

149、马路.街区为正方形，边长 400 米，各小区都是 100 米200米的长方形.在 S 处的某人想找到 G 处的那个人，但是，由于他缺乏运动，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路.那么，他最多可以走多少米?【分析】(1)应用一笔画原理，图中共 14 个奇点，以 1 个奇点作起点，另 1 个奇点作终点，需 7 笔画成.因 S 与 G 是偶点，需另加 2 笔，共 9 笔画成.因他不走重复的路，所以会有 8 段路不能走到.(2)找出最短的 8 段路共 800 米，去掉即可.(3)全街区道路共 3200 米.最多可以走：3200-800=2400(米).8.黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写abab这个数，比如：可增写 5(因为1 2125 )；可增写 11(因为 1 51511).一直写下去，请问：能否得到下面两个数?若能，请你写出得到的过程；若不能，请说明理由.(1)143；(2)144【分析】(1)1，2，5，11，71，143；(2)不能，除 2 外全是奇数