1、本章整合 数学归纳法 原理应用 证明等式问题证明整除问题证明几何问题证明不等式证明贝努利不等式专题 专题 数学归纳法证题的常用技巧 在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步,验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法 用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.专题 应用 1 求证:1 12+1
2、 23+1(+1),nN*.证明:(1)当 n=1 时,因为1 12=1 2 1,所以原不等式成立.(2)假设当 n=k(kN*,且 k1)时,原不等式成立,即1 1 2+1 2 3+1(+1).则当 n=k+1时,1 12+1 23+1(+1)+1(+1)(+2)+1(+1)(+2).因此,欲证明当 n=k+1 时,原不等式成立,只需证明 +1(+1)(+2)1(+1)(+2).专题 从而转化为证明1+1+1 2+3+2,也就是证明 2+3+2 +1+.因为(2+3+2)2-(+1+)2=k2+k+1-2(+1)=(+1)1)20.所以 2+3+2 +1+.所以当 n=k+1 时,原不等式也
3、成立.根据(1)(2)可知,当 n 是任意正整数时,原不等式都成立.专题 应用 2 设 a,b 为正数,nN*,求证:+2 +2 .证明:(1)当 n=1时,+2+2,显然成立.(2)假设当 n=k(kN*,且 k1)时,不等式成立,即+2 +2 ,则当n=k+1 时,证明不等式成立,即证明+1+12 +2 +1.在 +2 +2 的两边同时乘以 +2,得(+)(+)4 +2+1.要证明+1+12 +2 +1,只需证明+1+12(+)(+)4.专题 而+1+12(+)(+)42(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0 ak+
4、1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,即当n=k+1时,不等式成立.根据(1)(2)可知,对任何 nN*,不等式+2 +2 成立.专题 2.放缩法 涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.专题 应用 3 用数学归纳法证明:1+12+13+12-1 1).证明:(1)当 n=2时,1+12+13 2,不等式成立.(2)假设当 n=k(kN*,且 k2)时不等式成立,即 1+12+13+12-1,则当 n=k+1 时,1+12+13+12-1+12+12+1-1k+12k
5、+12k+1-1 共有2k项0,求证:+重根号 a+1.证明:(1)当 n=1 时,因为 a a+1,所以原不等式成立.(2)假设当 n=k(kN*,且 k1)时,原不等式成立,即 +重根号 +1.专题 作数列xn,使 xn=+重根号,则 xk+1=+,xk +1,从而 xk+1 +1 +2 +1=+1,即 xk+1 0),其中r为有理数,且0r1,求f(x)的最小值;(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a10,a20,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则 a1b1+a2b2;(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式(x)
6、=x-1.1122解:(1)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.当0 x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(2)由(1)知,当 x(0,+)时,有 f(x)f(1)=0,即 xrrx+(1-r).若 a1,a2 中有一个为 0,则1122a1b1+a2b2 成立;若 a1,a2 均不为 0,又 b1+b2=1,可得 b2=1-b1,于是在中令 x=12,r=b1,可得 12 1b1 12+(1-b1),即1121-1a1b1+a2(1-b1),即1122a1b1+a2b2.综
7、上所述,对 a10,a20,b1,b2 为正有理数且 b1+b2=1,总有1122a1b1+a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为:设 a1,a2,an 为非负实数,b1,b2,bn 为正有理数.若 b1+b2+bn=1,则1122 a1b1+a2b2+anbn.用数学归纳法证明如下:()当 n=1 时,b1=1,有 a1a1,成立.()假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,已知 a1,a2,ak,ak+1 为非负实数,b1,b2,bk,bk+1 为正有理数,且 b1+b2+bk+bk+1=1,此时 0bk+10,于是1122 +1+1=(1122
8、 )+1+1=111-+1221-+11-+1 1-+1+1+1.因为11-+1+21-+1+1-+1=1,所以由归纳假设可得111-+1221-+1 1-+1a111-+1+2 21-+1+ak1-+1=11+22+1-+1,从而1122 +1+1 11+22+1-+1 1-+1+1+1.又(1-bk+1)+bk+1=1,由得 11+22+1-+1 1-+1+1+1 11+22+1-+1(1-bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,从而1122 +1+1a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,成立.根据()()可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明:(3)中如果推广形式中指出式对n2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.
