1、石嘴山三中2019届第一次模拟考试(理科)数学能力测试本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第2223题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答
2、,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。4保持卡面清洁，不折叠，不破损。5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中全集，根据补集的性质及运算方法，先求出，再求出其补集，即可求出答案.【详解】全集，集合，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键.2.复数在复平面内对应的
3、点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才
4、真，一假比假；（3）：真假相反.4.数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的 A. 2B. 3C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案。【详解】由题意，输入分别为，第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，满足退出循环的条件，故
5、输出，故选C。【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中当循环次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。5.关于函数，下列叙述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 最小正周期D. 图象可由的图像向左平移个单位得到【答案】C【解析】【分析】由辅助角公式可得，然后将代入可排除A、B，由可判断C正确，将的图像进行平移变换即可判断D错误。【详解】由题意，当时，不等于最值，也不等于0，故A、B都不正确，选项C正确，的图像向左平移个单位得到,故选项D不正确。答案为C.【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了三角函数的
6、对称轴、对称中心、周期，以及三角函数的平移变换，属于基础题。6.函数在的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题利用与的关系,判定奇偶性,计算的符号,即可.【详解】,所以是一个偶函数,关于对称,故选A.【点睛】本道题考查了函数图像和奇偶性判定规则,难度中等.7.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，可扩展为长方体，利用长方体的性质求解。【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角
7、顶点的三棱锥，可扩展为长方体，则长方体的对角线长即为外接球的直径，所以，即，所以该三棱锥外接球的表面积为，故选C。【点睛】本题主要考查了利用三视图求解几何体的外接球的表面积问题，其中解答中根据几何体的三视图得到该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，可扩展为长方体，利用长方体的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8.在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则A. 90B. 60C. 45D. 30【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA1，即A900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值
8、【详解】由正弦定理及得,因为，所以；由余弦定理、三角形面积公式及，得,整理得，又,所以,故.故选：D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题9.已知数列的首项为，第2项为，前项和为，当整数时，恒成立，则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n项和公式，计算结果，即可。【详解】结合可知，得到，所以，所以所以，故选D。【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n项和计算方法，难度中等。10.某班上午有五节课，分別安排
9、语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A. 24B. 16C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后
10、，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种，故选B。【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。11.已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴截得的弦长的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设圆心的坐标为，由圆M被轴截得的弦长为，求得，进而得到被x轴截得弦长为，即可求解。【详解】由题意，点是抛物线上的动点，设圆心
11、的坐标为，则圆心到x轴的距离为，到y轴的距离为，又因为以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，由弦长公式，可得，所以被x轴截得弦长为，当时，此时弦长取得最小值，故选B。【点睛】本题主要考查了圆的性质，以及圆的弦长公式的应用，其中解答中熟练应用圆的性质和圆的弦长公式，借助配方法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。12.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当x1，2时，f(x)ln xx1，若函数g(x)f(x)mx有7个零点，则实数m的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数有个零点，即函数的图象与有个交点，当时，此时单调递减，且，由知函数图象关于对
12、称，而是定义在上的偶函数，故，即是周期为的函数，易知，当时，作出函数与的图象，如图所示，则要使函数的图象与的图象有个交点，需有，即，解得，同理，当时，可得，综上所述，实数的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
13、的交点个数的图象的交点个数问题 .第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，可得将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，取得最小值， ，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，
14、属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为_【答案】【解析】【分析】分别求出，从而代入求余弦值，从而求角.【详解】单位向量，的夹角为，设向量与的夹角为，则，.故答案为：.【点睛】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运
15、算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的15.已知展开式中含项的系数为，则正实数_.【答案】 【解析】 展开式的通项公式 的系数为 .16.已知为双曲线的右焦点，若直线与交于，两点，且，则的离心率等于_.【答案】【解析】【分析】本道题先设出A,B坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e，即可。【详解】设结合直角三角形满足的定理可知,将AB直线方程,代入双曲线方程,得到:,而,结合代入AB中,得到,解得,即可.【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。三、 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等差数列的公差d0，其前n项和为成等比
16、数列(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由已知列出方程，联立方程解出，进而求得；（2）由（1）得，列项相消求和。详解：（1）因为，即，因为为等比数列，即所以，化简得：联立和得：，所以 （2）因为 所以 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的性质、等比中项以及列项相消法求和等数学知识，考查基础计算能力，由列项成是求解第二问的关键，属于中档题。18.(本小题满分12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的
17、部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得的分布列与数学期望试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0
18、元的概率为，两人都付40元的概率为，两人都付80元的概率为，则两人所付费用相同的概率为.(2)由题意得，所有可能的取值为0,40,80,120,160.，的分布列为：04080120160.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概
19、率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（）求得.19.（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，平面，是的中点. （1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1） 解法1证明：平面，平面，又，平面，平面. 2分过作交于，则平面.平面，. 4分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， 6分又平面，平面,平面. 7分平面,. 8分（2）平面，平面平面平面由（1）可知平面平面9分取的中点，连结，四边形是正方
20、形，平面，平面平面是二面角的平面角， 12分由计算得13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为.14分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 2分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 4分，6分, 7分. 8分（2）由已知得是平面的法向量. 9分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设平面与平面所成锐二面角的大小为，则13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 14分【解析】【分析】（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立
21、空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BDEG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值【详解】（），又，BE，EF，AE两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得，（）由已知得是平面DEF的法向量，设平面的DEG法向量为，即令，得，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【点睛】题考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题.20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右顶点分别为
22、A，B，其离心率，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值是(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，当时，求点的坐标【答案】（1）（2）当时，当时，【解析】【分析】（1）由题意可知解方程即可得解；（2）设直线的方程为，由直线与椭圆联立得，由根与系数的关系可得，从而得中点的坐标，进而得的垂直平分线方程，令x=0可得，再由，用坐标表示即可解.【详解】（1）由题意可知解得，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为，把代入椭圆方程，整理得，所以，则， 所以中点的坐标为，则直线的垂直平分线方程为，得又，即，化简得，解得故当时，当时，.【点睛】本题
23、主要考查了直线与椭圆的位置关系，用到了向量问题坐标化，坐标通过设而不求的方程灵活处理，考查了学生的运算能力，属于中档题.21.（本小题满分12分）已知函数是奇函数，的定义域为当时， (e为自然对数的底数)(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)如果当x1时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求出x0时函数的解析式，对函数求导，得到唯一的极值点1，使得1在所给区间内即可；（2），令，对函数求导研究函数的单调性得到函数的最值进而求解.【详解】设x0时，结合函数的奇偶性得到： （1）当x0时，有，；所以在（0，1）上单调递增，在上单调
24、递减，函数在处取得唯一的极值由题意，且，解得所求实数的取值范围为 （2）当时，令，由题意，在上恒成立 令，则，当且仅当时取等号 所以在上单调递增，因此， 在上单调递增， 所以所求实数的取值范围为【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.选
25、修44：坐标系与参数方程(本题满分10分)在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.【详解】解：（1）由得将代入，整理得曲线的普通
26、方程为， 设曲线上的点为，变换后的点为由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为 ，曲线的参数方程为(为参数). （2）设四边形的周长为，设点， ，且， ， 且当时，取最大值，此时，所以，此时.【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想. 23.已知函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将代入不等式，得到，再通过讨论的范围，即可求出结果；（2）先根据不等式有解，可得只需大于等于的最小值，进而可求出结果.【详解】（1）当时，不等式为，若，则，即，若，则，舍去，若，则，即，综上，不等式的解集为；（2）当且仅当时等号成立，题意等价于，的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及不等式成立的问题，根据含绝对值不等式的性质以及分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.
