1、第2课时余弦定理(2)1理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状2熟练边角互化(重点)基础初探教材整理射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16P17，完成下列问题1射影定理在ABC中，(1)bcos Cccos Ba；(2)ccos Aacos Cb；(3)acos Bbcos Ac.2平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和特别地，若AM是ABC中BC边上的中线，则AM.1在ABC中，若BC3，则ccos Bbcos C .【解析】ccos Bbcos CBC3.【答案】32若ABC中，AB1，AC3，A60，则BC边上的中线AD .【解析】在ABC中，由余弦定理
2、可知BC.AD.【答案】小组合作型利用正、余弦定理解决实际问题某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？【精彩点拨】先画出示意图，再借助正、余弦定理求解【自主解答】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x h后在B处追上走私船，则CB10x，AB14x，AC9，ACB7545120，由余弦定理，得(14x)292(10x)22910xcos 120，化简得32x230x270，即x或x(舍去)，巡逻艇需要1.
3、5 h才追赶上该走私船BC10x15，AB14x21.在ABC中，由正弦定理，得sinBAC.BAC3813，或BAC14147(钝角不合题意，舍去)，3813458313.答巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.5 h才追赶上该走私船准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解.再练一题1两船同时从A港出发，甲船以20 n mile/h的速度向北偏东80的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40方向航行，求一小时后，两船相距多少n mile.【解】一
4、小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC220212222012cos 120784，BC28(n mile)即一小时后，两船相距28 n mile.利用正、余弦定理判断三角形的形状在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，试确定ABC的形状. 【导学号：92862015】【精彩点拨】(abc)(abc)3ab求C；2cos Asin Bsin C求A与B的关系【自主解答】(abc)(abc)3ab，a2b2c2ab，2abcos Cab，cos C，C.法一：又2cos Asin Bsin
5、 Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，ABC，ABC为等边三角形法二：由2cos Asin Bsin C可知2bc，即b2a2，ab，ABC，ABC为等边三角形利用正、余弦定理判定三角形形状的策略再练一题2在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状【解】法一根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60，2bac，a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60，AC
6、120，C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60，ABC是正三角形探究共研型利用正、余弦定理度量平面图形探究1在ABC中，若ADBC，则ABcos BACcos C的值为多少？【提示】如图，易知ABcos BBD，ACcos CCD，又BDCDBC，故ABcos BACcos CBC.探究2在ABC中，若AD是BAC的平分线，则BD与DC有什么关系？【提示】BDDCABAC.探究3在ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？【提示】4AD22(AB2AC2)BC2.ABC中，D是BC上的点，AD平分B
7、AC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【精彩点拨】(1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可(2)利用余弦定理和(1)中得到的结论求解【自主解答】(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理，得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知AB2AC，所以AC1.1平面几何中的面积、长度问题常
8、借助正、余弦定理求解，合理转化已知条件是求解此类问题的关键2求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定理；(2)中隐含着ADBADC180.再练一题3.如图121，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度图121【解】在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理得，AD.1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4bsin A，则cos B .【解析】a4bsin A，由正弦定理知sin A4sin Bsin A，sin B，cos B.【答案】2若平行四边形两邻边的长分别是
9、和，它们的夹角是45，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是 【解析】两条对角线的长分别为和.【答案】3已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，经测量，ABC120，则A，C两地的距离为 km. 【导学号：92862016】【解析】AC210220221020cos 120，AC10.【答案】104在ABC中，B60，b2ac，则ABC的形状为 【解析】b2a2c22accos 60a2c2ac，a2c2acac，a22acc20，ac.又B60，ABC为正三角形【答案】正三角形5如图122所示，在四边形ABCD中，BC20，DC40，图122B105，C60，D150，求：(1)AB的长；(2)四边形ABCD的面积【解】(1)连结BD，因为ABC105，C60，ADC150，所以A3601056015045.在BCD中，BD2BC2CD22BCCDcos C202402220401 200，于是BD20.因为BD2BC2CD2，所以CBD90.所以ABD1059015，ADB1804515120.在ABD中，所以AB30.(2)因为sin 15sin(4530)，所以四边形ABCD的面积S四边形ABCDSDBCSDBA2020203050(9)
