1、高三数学选填专题练习（37）培优冲刺（7）难度评估：困难 测试时间：60分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一 支股票在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票则只持有B股票的股民人数是（）A7B6C5D42(本题5分)已知数列满足，若，则正整数k的值是（ ）A8B12C16D203(本题5分)已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次
2、变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，如此下去，经过一次变换后得到，设=，则等于（ ）ABCD4(本题5分)对任意实数若的运算规则如图所示，则的值为A4B5C6D75(本题5分)已知函数，为x轴上的点，且满足，过点分别作x轴垂线交于点，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，其中，则满足条件的p，q共有（ ）A0对B1对C2对D无数对6(本题5分)为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则第三次稀释后桶中
3、的药液所占百分比的最大值为（ ）A55%B50%C45%D40%7(本题5分)某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大O上，点M，N在半径为10m的小O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）A BCD8(本题5分)如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆如此下去，则前n个内切圆的面积和为（）A BCD9(本题5分)已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面
4、角为，若，则下列叙述正确的是（ ）ABCD10(本题5分)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y（x0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为ABCD11(本题5分)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）ABCD12(本题5分)下列语句中，说法正确的有（1）当是一个大于2的常数时，函数是指数函数；（2）当时，方程有2个不等实根；（3）定义，设函数，则函数的最小值为；（4）存在正实数使不等式
5、成立，则实数的取值范围为.A（1）（2）B（2）（3）C（2）（4）D（3）（4）二、填空题(共20分)13(本题5分)已知平面向量，满足|1，|2，的夹角等于，且（）（）0，则|的取值范围是_14 (本题5分)已知数列满足，且，则数列的前项和取得最大值时，_15 (本题5分)椭圆上的点到直线的最大距离是_.16(本题5分)已知三棱锥的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积，的面积，的面积，满足，且三棱锥的外接球半径为3，则的面积之和的最大值为_参考答案1A【解析】【分析】【详解】设只持有A股票的人数为（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为（图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有
6、一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为（图中部分）假设只同时持有了B和C股票的人数为（如图所示），那么：，即：，则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1与之对应的值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得，即，故，时满足题意，故，故只持有B股票的股民人数是，故选：A.2B【解析】【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可.【详解】解：由题意结合递推关系式可得：，.故选：B.3B【解析】【分析】根据题意，可得，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长
7、为原来的倍得到向量因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，所以接下来再对、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项【详解】根据题意，一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，即由逆时针旋转1弧度而得，且设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有，即向量逆时针旋转1弧度，得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍，得到，因此当时，即，由此可得对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；对于，当时，与计算结果相等，故正确；对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；对于，当时，与计算结果不相等，故不正确故选：B.4A【解析】【详解】试题分析：执行
8、如图所示的程序框图可知，此程序的功能是输出分段函数的值，又，所以运行程序后，输出，故选：A5C【解析】【分析】由已知可得，由与相似得到或，再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图，由题意，的纵坐标为，所以，与均为直角三角形，故与相似或.当时，无解；当时，所以故存在两对满足条件的，分别为，或，故选：C.6C【解析】【分析】根据题意表达出第二次稀释后桶中药液含量，列出不等式，求出体积的范围，再表达出第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过，根据体积的取值范围，求出最值.【详解】第二次倒出后桶中剩余农药升，则，即，解得：，又，.第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过，
9、故选：C.7C【解析】【分析】用表示出的面积为，求导，令求得极值点，从而求得面积最大时对应的值.【详解】如图所示，等腰中，设的面积为，则求导令，即，解得：（舍去负根）记， 当，函数单调递增；当 ，函数单调递减；故当时，即， 取得极大值，即最大值.故选：C.8B【解析】【分析】从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，则可得内切圆半径是以为首项，为公比的等比数列，利用数列通项、求和公式，即可得答案.【详解】设第n个正三角形的内切圆半径为，因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三
10、角形内切圆半径的，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，设前n个内切圆的面积和为，则=，故选：B.9C【解析】【分析】结合正方体的几何特征，以及面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，判断P在如图所示的阴影范围内.利用正方体的特点，判断P接近于D时APCBPD,故A、B错误；PHAPB，PGPF,BPC，等价于P到HF的距离比到EG的距离大，所以P在如图所示的阴影范围内.在APC和BPD中，AC=BD,PQ公用，Q为共同的中点，APC,BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所决定，所成角越小，则对应角越大，显然PQ与AC和BD所成的角的大
11、小关系不确定，当P在靠近A时PQ与直线AC所成的角较小，与直线BD所成的角则接近于90，此时BPDAPC,同样当P接近于D时APCBPD,故A、B错误；APD与BPD的大小关系看P实在EG的左侧还是右侧。若是在左侧，则APDBPC,若是在右侧，则APDCPD,P在HF上，则APB=CPD, P在HF的后面，则APBCPD,所以当P在AOH内时，maxAPD,BPC=APD,minAPD，BPC=BPC,maxAPB,CPD=APB, minAPB,CPD=CPD,PHAPB，PGPF,BPCCPD,故C正确，D错误，根据对称性，在其余范围内，具有相同的结论.故选：C.10C【解析】【详解】因为
12、.所以点M取自E内的概率为.故选：C.11B【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，所以直线的方程为，设圆心坐标为，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以故选：B12B【解析】【详解】（1）当是一个大于2的常数时，函数是指数函数；由指数函数的定义，需满足 即；故（1）不正确；（2）画出函数的图像如图所示，由图可知，（
13、3）当 即时方程 有2个不等实根；正确：由题可知的最大值为1（如图所示）；则函数的最小值 ，；正确；（4）命题：存在正实数使不等式成立，则：对任意正实数 都有 成立，分离参数 设 为减函数， 为减函数， 为减函数，在 上， 故对任意正实数 都有 成立，此时 的取值范围是1，+），则命题：存在正实数使不等式成立，实数的取值范围应为 故（4）不正确综上2）（3）正确，故选：B.13【解析】计算得到|，|cos1，解得cos，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（）（）0 可得 （）|cos12cos|cos1，为与的夹角再由 21+4+212cos7 可得|，|cos1，解得cos0，
14、1cos1，1，即|+10，解得 |，故答案为：148.【解析】【详解】由题知当为奇数时，当为偶数时，又，可得当时，有即，当时，有，即，当时，有，即由可得，由可得，则都是等差数列则当时，取最大值故本题答案为：15【解析】【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线与椭圆相切由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:.1618【解析】【分析】连接并延长交于E，由线面垂直的判定定理证得平面，进而证明，由知，根据相似三角形可得，进而证明两两垂直，补三棱锥为以为棱的长方体，可得，再利用基本不等式求最值.【详解】如图，连接并延长交于E，则，连接，则平面，平面，又，平面，同理可证由，得，即，结合，知，又，平面，又，平面，两两垂直，将三棱锥补成以为棱的长方体，则该长方体的体对角线为长方体外接球的直径，当且仅当时，等号成立，所以的面积之和的最大值为18.故答案为：18.
