1、函数及其性质多选题1一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A若为的跟随区间，则B函数存在跟随区间C若函数存在跟随区间，则D二次函数存在“3倍跟随区间”2若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD3定义“正对数”：，若，则下列结论中正确的是（ ）.ABCD4已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A当时，有3个零点B当时，有2个零点C当时，有4个零点D当时，有1个零点5设表示不超过的最大整数，如：，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函
2、数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）A，B，若，则C，D不等式的解集为或6对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）AB函数的最大值为1C函数的最小值为0D方程有无数个根7狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数.对于狄利克量函数，给出下面4个命题：其中真命题的有（ ）A对任意，都有B对任意，都有C对任意，都存在，D若，则有8把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）A函数的图象不经过第三象限B函数在R上单调递增C函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D函数不存在零点9设函数是定义在区间上的函数，
3、若对区间中的任意两个实数，都有则称为区间上的下凸函数.下列函数中是区间上的下凸函数的是（ ）ABCD10已知函数则下列结论中正确的是（ ）A是奇函数B是偶函数C的最小值为D的最小值为211函数， 则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B的值域是C方程的解为D方程的解为12数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（ ）A对于任意一个圆，其“优美函数”有有限数个B正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”C函数y=f(x)是“
4、优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形D可以是某个圆的“优美函数”13对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（ ）A，B，C，D，14已知当时，；时，以下结论正确的是（ ）A在区间上是增函数；B；C函数周期函数，且最小正周期为2；D若方程恰有3个实根，则或；15德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函
5、数有如下四个命题,正确的为( )A函数是偶函数B,恒成立C任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立D不存在三个点,使得为等腰直角三角形16下列关于函数的叙述正确的为( )A函数有三个零点B点(1，0)是函数图象的对称中心C函数的极大值点为D存在实数a，使得函数为增函数17若满足对任意的实数，都有且，则下列判断正确的有（ ）A是奇函数B在定义域上单调递增C当时，函数D18已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）A的定义域为B的值域为CD若，则x的值是E.的解集为19已知函数(n为正整数)，则下列判断正确的是（ ）A函数始终为奇函数B当n为偶数时，函数的最小值为4C当n为奇数时，函数的极小值为4D当
6、时，函数的图象关于直线对称20已知函数，则下列结论正确的是（ ）A是以为周期的函数B是奇函数C在上为增函数D在内有20个极值点21已知函数，以下结论正确的有（ ）A是偶函数B当时，与有相同的单调性C当时，若与的图象有交点，那么交点的个数是偶数D若与的图象只有一个公共点，则22已知函数，以下结论正确的是（ ）AB 在区间上是增函数C若方程恰有3个实根，则D若函数在上有6个零点，则的取值范围是23已知函数，则以下结论正确的是( )A在上单调递增BC方程有实数解D存在实数，使得方程有个实数解24已知函数,则下列判断正确的是（ ）A为奇函数B对任意,则有C对任意,则有D若函数有两个不同的零点,则实数m
7、的取值范围是25已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A常值函数为回旋函数的充要条件是；B若为回旋函数，则；C函数不是回旋函数；D若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.26已知函数，若方程F（x）f（x）ax有4个零点，则a的可能的值为（）ABCD27已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD28对于函数，下面结论正确的是（ ）A任取，都有恒成立B对于一切，都有C函数有3个零点D对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是29对于定义域为D的函数f（x），若存在区间m，nD，同时满足下列
8、条件：f（x）在m，n上是单调的；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n，则称m，n为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（ ）A BC D30对，表示不超过的最大整数十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）ABC函数的值域为D若，使得同时成立，则正整数的最大值是531设函数，则（ ）A在单调递增B的值域为C的一个周期为D的图像关于点对称32某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）A函数在区间上单调递减，上单调递增B函数的最小值为，没有最大值C存在实数，
9、使得函数的图象关于直线对称D方程的实根个数为233设，函数的图象可能是（ ）ABCD34已知函数满足：当时，下列命题正确的是（ ）A若是偶函数，则当时，B若，则在上有3个零点C若是奇函数，则，D若，方程在上有6个不同的根，则的范围为35设函数，则（ ）ABC曲线存在对称轴D曲线存在对称中心36已知函数，以下结论正确的是（ ）A在区间上是增函数BC若函数在上有6个零点，则D若方程恰有3个实根，则37若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是（ ）ABCD38已知是定义域为的奇函数，是偶函数，
10、且当时，则（ ）A是周期为2的函数BC的值域为-1，1D的图象与曲线在上有4个交点39设函数，则下列结论正确的是（ ）ABC曲线存在对称轴D曲线存在对称轴中心40某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）A函数的图象关于原点对称B对定义域中的任意实数的值，恒有成立C函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且41函数，是（ ）A最小正周期是B区间，上的减函数C图象关于点，对称D周期函数且图象有无数条对称轴42下列命题正确的是（ ）A已知幂函数在上单调递减则或B函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是C已
11、知函数，若，则的取值范围为D已知函数满足，且与的图像的交点为则的值为843若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A在内单调递减B和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D和之间存在唯一的“隔离直线”44新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，人体肺部结构中包含，的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为.则下列结论正确的是（ ）A若，则为周期函数B对于，的最小值为C若在区间上是增函数，则D若，满足，则45已知定义
12、在上的函数满足：，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为( )ABCD46已知函数，下列结论中正确的是( )A，B函数的图象一定关于原点成中心对称C若是的极小值点，则在区间单调递减D若是的极值点，则47定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）A是的一个“完美区间”B是的一个“完美区间”C的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为48函数在，上有定义，若对任意，有，则称在，上具有性质设在，上具有性质，下列命题正确的有（ ）A在，上的图象是连续不断的B在，上具有性质C若在处取得最大值1
13、，则，D对任意，有49已知为上的奇函数，且当时，.记，下列结论正确的是（ ）A为奇函数B若的一个零点为，且，则C在区间的零点个数为3个D若大于1的零点从小到大依次为，则50定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式一定成立的是( )ABCD51已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）ABCD52对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:在D内单调递增或单调递减;存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是( )A函数是闭函数B函数是闭函数C函数是闭函数D时,函数是闭函数E.时,函数是闭函
14、数53高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C在R上是增函数D的值域是E.的值域是54定义“正对数”：若，则下列结论中正确的是（ ）ABCDE.55若函数具有下列性质：定义域为；对于任意的，都有；当时，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是（）A为奇函数B为偶函数C为单调递减函数D为单调递增函数56（多选）下列判断不正确的是（ ）A函数在定义域内是减函数B奇函数，则
15、一定有C已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是D已知在上是增函数，则的取值范围是57对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：在上是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）ABCD58德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）AB函数是偶函数C任意一个非零有理数，对任意恒成立D存在三个点，使得为等边三角形59已知函数.下列命题为真命题的是（ ）A函数是周期函数B函数既有最大值又有最小值C函数的定义域是，且其图象有对称轴D对于任意，单调递减60已
16、知函数，则，满足（ ）ABCDE.参考答案，仅供参考1ABCD【分析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【解析】对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；对B,因为函数在区间与上均为减函数,故若存在跟随区间则有,解得：.故存在, B正确.对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,即,因为,所以.易得.所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.故,解得,故C正确.对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的
17、两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.故D正确.故选：ABCD.【点评】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2ABD【分析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；对于选项B：利用换底公式：，等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；【解析】令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，对于选项A：因为，所以，即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；对于选项C：，由于函数在上单调递减，所以，即，因为，所以，取，则，故
18、选项C错误；对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.对于选项B：，因为，所以等价于，因为，因为，所以不等式成立，故选项B正确；故选：ABD【点评】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.3AD【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假.【解析】对A，当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以所以当，时，故A正确对B，当，时满足，而，所以，故
19、B错误；对C，令，则，显然，故C错误；对D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以；当，时，因为，所以，所以综上所述，当，时，故D正确故选AD【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论的方法使解题无法入手致错.4CD【分析】令y0得，利用换元法将函数分解为f（x）t和f（t）1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论【解析】令，得，设f（x）t，则方程等价为f（t）1，若k0，作出函数
20、f（x）的图象如图：f（t）1，此时方程f（t）1有两个根其中t20，0t11，由f（x）t20，此时x有两解，由f（x）t1（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数yff（x）+1有4个零点若k0，作出函数f（x）的图象如图：f（t）1，此时方程f（t）1有一个根t1，其中0t11，由f（x）t1（0，1），此时x只有1个解，即函数yff（x）+1有1个零点故选：CD【点评】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题5BCD【分析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D
21、正确与否.【解析】对于A，则，故，故A不成立.对于B，则，故，所以，故B成立.对于C，设，其中，则，若，则，故；若，则，故，故C成立.对于D，由不等式可得或，故或，故D正确.故选：BCD【点评】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.6ACD【分析】根据新的定义，研究函数的性质，对A选项直接计算进行判断【解析】，A正确；显然，因此，无最大值，但有最小值且最小值为0B错，C正确；方程的解为，D正确故选ACD.【点评】本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法就是用新定义把“新问题”转化为“老问题”，转化为我们熟
22、悉的问题进行解决7ACD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、B，根据，可判定C，根据的值域，可判定D，即可得到答案.【解析】对于A中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以A是真命题；对于B中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以B是假命题；对于C中，显然当时，对任意，都存在，所以C是真命题；对于D中，由，可得函数的值域为，当时，当时，故，所以D为真命题.故选：ACD【点评】本题主要考查了函数的新定义及其应用，以及命题的真假判定，其中解答中认真审题，熟练应用函数的新定义，逐项判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8ACD【分析】根据
23、函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可判定A准确，B不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判定C正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定D正确.【解析】由题意，方程，当时，表示椭圆在第一象限的部分；当时，表示双曲线在第四象限的部分；当时，表示双曲线在第二象限的部分；当时，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，设点，则点满足时，即则，当时，所以C正确；令，可得，即，则函数的零点，即为函数与的交点，又由直线为双
24、曲线和渐近线，所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，所以D是正确的.故选：ACD.【点评】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合性强，属于中档试题.9ACD【分析】根据函数的解析式，求得，可判定A正确；根据特殊值法，可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.【解析】对于A中，任取且，则，可得，满足，所以A正确；对于B中，取，则，可得，所以，此时，不符合题意，所以B不正确；对于C中，函数，由幂函数的图象向上移动5个单位，得到函数的图象，如图所示，取且，由图象可得，因为，所以，符合题意，所以是
25、正确的；对于D中，函数由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，如图所示，取且，由图象可得，因为，所以，符合题意，所以是正确的；【点评】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.10BC【分析】利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.【解析】是偶函数， A错；是偶函数，B对；，当且仅当和时，等号成立，即当且仅当时等号成立，C对；令，则，令，得或时，单调递增当有最小值，最小值为4，D错故选：BC.【点评】本题综合考查奇偶性、
26、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.11ABC【分析】逐项分析判断即可.【解析】 当为有理数时，也为有理数 当为无理数时，也为无理数是偶函数，A对；易知B对； 时，C对 的解为全体有理数D错故选：ABC.【点评】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.12BD【分析】A从圆的直径的角度分析问题；B根据函数本身的特点进行分析；C举例分析；D分析函数与单位圆的关系，得到结论.【解析】A任何一个圆都有无数条直径，均可以平分圆的周长和面积，所以“优美函数”有无数个，故错误；B是奇函数，其图象关于原点对称，所以当圆的圆心在
27、坐标原点时，可以平分圆的周长和面积，故正确；C如图所示： 此时的图象平分圆的周长和面积，但是的图象不是中心对称图形，所以不是充要条件，故错误；D的图象关于原点对称，单位圆的图象也关于原点对称，所以是单位圆的“优美函数”，故正确；故选：BD.【点评】本题考查函数的新定义问题，主要涉及函数的对称性分析，对学生分析问题的能力要求较高，难度较难.13BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【解析】解：和存在分渐近线的充要条件是时，对于，当时，令，由于，所以为增函数，不符合时，所以不存在分渐近线；对于，因为当且时，所以存在分渐近线；对于，当且时，与均单调递减，
28、但的递减速度比快，所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于，当时，且，因此存在分渐近线故存在分渐近线的是BD故选：BD【点评】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.14BD【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数相切，结合图像将问题简单化.【解析】对于A，时，即在区间上的单调性与在区间上单调性一致，所以在上是增函数，在上是减函数，故A错误；对于B，当时，故B正确
29、；对于C，当时，当时，不是周期函数，故C错误；对于D，由时，；时，可求得当时，；直线恒过点，方程恰有3个实根，即函数和函数的图像有三个交点， 当时，直线与函数（）相切于点，则，解得，要函数和函数的图像有三个交点，则的取值范围为：；当时，当时，直线与函数有两个交点，设直线与函数（）相切于点，则，解得综上，方程有3个实根，则或,故D正确.故选：BD.【点评】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.15ACD【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可【解析】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；对于B，取，
30、则，故选项B错误；对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； 直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这
31、与点的纵坐标为1矛盾，故不成立 综上，不存在三个点，使得为等腰直角三角形，故选项D正确故选：【点评】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题16ABC【分析】令函数等于零即可求出零点个数，可判断出选项A；由可得出函数图像关于点(1，0)中心对称，可判断出选项B；由导函数求出函数单调区间，根据函数单调性即可得出最大值点，可判断出选项C；根据导函数判断出是否存在实数a，使得，可判断出选项D.【解析】，令，则或或，所以函数有三个零点，所以A正确；，所以，所以函数图像关于点(1，0)对称中心，所以B正确；求出的导函数
32、，令，则或，令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时函数有极大值，所以函数的极大值点为，所以C正确；假设函数为增函数，则恒成立，由上可知当或时，若要满足，则需在和上恒成立，图像如下，如图所示函数在上不可能恒成立，所以不存在这样的实数a，所以D错误. 故选：ABC【点评】本题主要考查函数的性质，涉及到函数的零点，对称中心，极值以及单调性等问题，考查学生综合分析问题的能力.17BCD【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断计算出判断A；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算（），
33、然后求得D中的和，从而判断D【解析】令，则，即，不可能是奇函数，A错；对于任意，若存在，使得，则，与矛盾，故对于任意，对于任意，对任意正整数，同理，对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），则，对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限，而，与的极限，综上对所有正实数，有，C正确，设，则，则，是增函数，B正确；由已知，D正确故选：BCD【点评】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题18BD【分析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.【解析】由题意知函数的定义域为，
34、故A错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；当时，故C错误；当时，解得（舍去），当时，解得或（舍去），故D正确；当时，解得，当时，解得，因此的解集为；故E错误.故选：BD.【点评】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.19BC【分析】由已知得，分n为偶数和n为奇数得出函数的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令，则，构造函数，利用其单调性可判断C；当时，取函数上点，求出点P关于直线对称的对称点，代入可判断D.【解析】因为函数(n为正整数)，所以，当n为偶数时，函数是偶函数；当
35、n为奇数时，函数是奇函数，故A不正确；当n为偶数时，所以，当且仅当时，即取等号，所以函数的最小值为4，故B正确；当n为奇数时，令，则，函数化为，而在上单调递增，在上单调递递减，所以在时，取得极小值，故C正确；当时，函数上点，设点P关于直线对称的对称点为，则，解得，即，而将代入不满足，所以函数的图象不关于直线对称，故D不正确，故选：BC【点评】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.20BCD【分析】根据周期函数的定义判定选项A；根据奇偶性的定义判断选项B；根据导函数取得正负的区间判断C；根据导函数取得零点的值判断D选项.【解析】对于A选项：，所以函数不是周期为
36、的函数，故选项A错误；对于B选项：的定义域为R，所以函数是奇函数，故B正确；对于C选项：当时，所以函数在单调递增，当时，所以函数在单调递增，所以函数在上为增函数，故C正确；对于D选项：当时，令，得，当时，令，得，所以在，使导函数的点有20个，且这20个点是变号零点，所以函数在内有20个极值点，故D正确.故选：BCD.【点评】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性， 考查综合分析求解与论证能力，属于较难题.21ABCD【分析】根据偶函数的定义，可判断根据利用导数函数与平移变换调性，结合二次函数的单调性可判断；利用结合对称性可判断.【解析】即，所以是偶函
37、数故正确；，当时，所以在上单调递增又是偶函数在上单调递减因为图象是由的图象移一个单位得到，所以在单调递减，在单调递增，当时，在单调递减，在单调递增，又因为在单调递减，在单调递增，故正确； 当时， 关于对称， 关于对称，且处不相交，所以交点的关于对称，交点的个数是偶数，故正确 若与 的图象只有一个公共点，则，且两函数图象的极值点点重合，可得故正确故选：【点评】本题考查如何判定函数的奇偶性，考查了利用对数研究函数的单调性，同时考查了计算能力与转化思想的应用，属于中档题22BCD【分析】利用函数的图象结合四个选项进行分析，注意函数在大于0部分的周期性，从而进行选项判断，即可得到答案.【解析】函数的图
38、象如图所示：对A，所以，故A错误；对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.【点评】本题考查利用函数的图象研究分段函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时画出函数图象是求解问题的关键.23BCD【分析】求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.【解析】，则，故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；，根据单调性知，正确；，故方程有实数解，正确；，易知当时成立，当时，设，则，故函
39、数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；故选：.【点评】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.24CD【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对进行分类讨论，判断C选项；对选项D，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.【解析】对于A选项，当时，则 所以函数不是奇函数，故A错误；对于B选项，的对称轴为，的对称轴为所以函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，并且所以在上单调递增即对任意，都有则，故B错误
40、；对于C选项，当时，则 则 当时，则当时，则则即对任意,则有，故C正确；对于D选项，当时，则不是该函数的零点当时，令函数，函数由题意可知函数与函数的图象有两个不同的交点因为时，时，所以当时，设，因为，所以，即设，即所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增同理可证，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增函数图象如下图所示由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点则实数m的取值范围是，故D正确；故选：CD【点评】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.25ACD【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断
41、选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有 ，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.【解析】A.若，则，则，解得：，故A正确；B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有 ，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；D. 若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.故选：ACD【点评】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档
42、题型.26AB【分析】讨论当，两种情况下，结合导数和对称性画出函数的图像，即可求出a的取值范围，进而可选出正确答案.【解析】令得，由题意知，即函数与函数图象有个交点，当时，设是的切线，切点为，解之得，当时，故函数图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，由图知，当时，函数与函数图象有个交点，故选: AB.【点评】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图
43、象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质27ACD【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，根据这些函数在的单调性可得结果.【解析】设，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，A正确；设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，即，故，B错误；设，则在上恒成立，故函数单调递增，即，C正确；设，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.【点评】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.28ABC【分析】先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与
44、的图象,数形结合可判断C,D选项.【解析】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;由题可知,所以即,故选项B正确;作出的图象，因为，由图象可知与有3个交点,故选项C正确;结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,即时,不等式恒成立,又,所以,即在时恒成立,设,则,故时,函数在上单调递减,所以时,又,所以,即,故选项D错误.故选:ABC.【点评】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.29BC【分析】根据函数的新定义，确定函数的单调性，根据定义域计算值域，确定的解的个数，依次计算每个选项得到答案.【解析】易知单调递增，故
45、，解得，故不满足；取，在上单调递减，故，故满足.，易知函数单调递增，故，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数有两个零点，故满足.在上单调递增，故，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减.故，故函数只有一个零点，不满足；故选：.【点评】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力，阅读能力和综合应用能力.30BCD【分析】由取整函数的定义判断，由定义得，利用不等式性质可得结论【解析】是整数， 若，是整数，矛盾，A错误；，B正确；由定义，函数的值域是，C正确；若，使得同时成立，则，因为，若，则不存在同时满足，只有时，存在满足题意，故选：BCD【点评】本题考查函数新定义，正确理解新定
46、义是解题基础由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题31BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【解析】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点评】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.32ABD【
47、分析】设点，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，让点P在x轴上移动，可观察出的变化情况，从而判断出各选项的正确性.【解析】设点，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；，而，显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，当时，所以存在唯一的，使得，当时，
48、故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.故选：ABD.【点评】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x轴上的点到A、B两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.33BD【分析】令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.【解析】由题意，函数，令，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，且可得在递减，在上递增，且；当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性，可
49、得在递减，在上递增，且，此时选项B符合题意；当当时，即时，此时函数有两个零点，不妨设另个零点分别为且，此时函数在单调递减，在上单调递增，可得在递减，在上递增，且， 则在递减，在上递增，且，此时选项D符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD.故选：BD.【点评】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.34BC【分析】A选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B选项，函数关于直线对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像
50、可知当时，函数与直线有3个交点可判断；C选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D选项，函数周期为3，作出函数图像知方程在上有两个不同的根，则时方程在上有4个不同的根.【解析】A选项，若，则，因为函数是偶函数，所以，A错误；B选项，若，则函数关于直线对称，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，且，作出函数大致图像如图所示，则当时，函数与直线有3个交点，即函数在上有3个零点，B正确；C选项，由B知当时，若函数为奇函数，则当时，所以，C正确；D选项，若，则函数的周期为3，作出函数在上的图像如图所示，若方程即在上有6个不同的根，因为方程在上有两个不同的根，所以在上有4个不同的根，
51、又，所以，D错误.故选：BC【点评】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.35ABC【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，再将化为，通过数形结合判断是否成立.【解析】函数解析式可化为：，因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，故曲线也关于直线对称，选项C正确；当时，函数取得最大值，此时取得最小值，故，选项A正确；若，则，令，则恒成立，则在上递增，又，所以当时，；当时，；作出和的图象如图所示：由图象可知成立，即，选项B正确；对于D选项，若存在一点使得关于
52、点对称，则，通过分析发现不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点评】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.36BCD【分析】根据在，上的单调性判断，根据判断，根据图象的对称性判断，根据直线与的图象有3个交点判断【解析】解：由题意可知当时，是以3为周期的函数，故在，上的单调性与在，上的单调性相同，而当时，在，上不单调，故错误；又，故，故正确；作出的函数图象如图所示：由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，不妨设，2，3，4，5，
53、由图象可知，关于直线对称，关于直线对称，关于直线对称，故正确；若直线经过点，则，若直线与相切，则消元可得：，令可得，解得或，当时，当时，（舍，故若直线与在上的图象相切，由对称性可得因为方程恰有3个实根，故直线与的图象有3个交点，或，故正确故选：【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题37AD【分析】求导得到，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案.【解析】，则；，则，当时，函数单调递增，函数单调递增，A满足；，故B不满足；，故C不满足；当时，故D满足.故选：AD.【点评】本题考查了函数的新定义问题，利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的计算能
54、力和应用能力.38BCD【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；对于B，由是周期为4的周期函数，则， ，可判断B对于C，当时，有，又由为R上的奇函数，则时，可判断C对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D【解析】根据题意，对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，则，则，则；故B正确对于C，当时，此时有，又由为R上的奇函数，则时，函数关于对称，所以函数的值域故C正确对于D，且时，是奇函数，的周期为，设，当，设在恒成
55、立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，所以在有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，则，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，在单调递减，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.39ABC【分析】分别研究函数和函数的性质，逐一分析选项，即可判断各个选项的真假.【解析】解：A：，所以，当且仅当时
56、，.故A正确.B： 等价于.当时，设单调递增，都是偶函数，所以恒成立，所以恒成立，又，所以.故B正确.C：的图像关于对称，关于对称，所以曲线存在对称轴.故C正确.D：若曲线存在对称中心，设对称中心为，所以，令，令则，即只有时成立，从而为整数，令，不一定成立，故D不正确.故选：ABC.【点评】本题考查利用函数的解析式研究函数的性质，考查三角函数性质的应用，考查利用放缩的思想比较大小，属于中档题.40BD【分析】由函数奇偶性定义判断可知A错误，由函数性质可知，构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可知B正确，由的图象与轴的交点坐标为可判断C错误，求导分析时成立的情况，即可判断D选项.【解析】对于A
57、项：函数的定义域为，为偶函数，图象关于轴对称. 故A错误对于B选项：由A项知为偶函数，当时，令，在上单调递增. ，即恒成立 . 故B正确对于C项：函数的图象与轴的交点坐标为交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故C错误.对于D项：，即，即.当时，区间长度为对于任意常数，存在常数，使在上单调递减且. 故选：BD【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，最值和零点等性质，考查推理能力，属于难题.41BD【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解.【解析】，则对应的图象
58、如图：A中由图象知函数的最小正周期为，故错误，B中函数在上为减函数，故正确，C中函数关于对称，故错误，D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确故正确的是故选：BD【点评】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复42BD【分析】根据幂函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判定D正确，即可求解.
59、【解析】对于A中，幂函数，可得，解得或，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以A不正确；对于B中，若函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足，解得，所以是函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B是正确；对于C中，由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，所以不等式中至少满足，即至少满足，所以C不正确；对于D中，函数满足，可得函数的图象关于点对称，又由，可得，所以函数的图象关于点对称，则，所以D正确.故选：BD.【点评】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答
60、问题的能力，属于中档试题.43ABCD【分析】求导得到得到单调区间得到正确，根据题意得到，计算得到正确，计算公切线为，再验证得到正确，得到答案.【解析】，则，解得，正确；，故，易知；，故，时成立，时，故，且，故，解得，故，同理可得，故正确；，故若存在，则一定为在处的公切线，故，故公切线方程为：，现证明满足：设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故恒成立，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，故正确.故选：.【点评】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.44ABD【分析】计算得到或正确，设，在上单调递增，在上单调递减，计算得到正确，化简即恒成立，计算故
61、，错误，三角恒等变换知正确，得到答案.【解析】，则，代换整理得到：，若，则为周期函数；若，则，则为周期函数，正确；设，故，设，故，故单调递减，且，故存在使.在上单调递增，在上单调递减，当时，故，正确；在区间上增函数，则，即恒成立，设，则，故在上单调递增，故在上单调递减，故，错误； D. 若，满足，则，其中.，即函数关于对称，故，即，故正确；故选：.【点评】本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.45CD【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinxk (2+sinx), 再根据题意，利用检验法判断即可.【解析】因为定义在上的函数满足：,所以为奇函数，时，显
62、然在上单调递增，所以在R上单调递增，由恒成立，可得在R上恒成立，即，整理得：当时，不恒成立，故A错误;当时，不恒成立，故B错误;当时，恒成立，故C正确；当时，恒成立，故D正确.故选：CD【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.46AD【分析】对于选项A：利用零点存在性定理判断即可；对于选项B：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可；对于选项C：采取特殊函数方法，若取，则，利用导数判断函数的单调性和极值即可；对于选项D：根据导数的意义和极值点的定义即可判断.【解析】对于选项A：因为当时，当时，由题意知函数为定义在上的连续函数，所以，故选项A正确；对于选项B：因
63、为，所以，即点为函数的对称中心，当时，函数的图象不关于原点对称，故选项B错误；对于选项C：若取，则，所以，由可得，或，由可得，所以函数的单调增区间为，减区间为，所以为函数的极小值点，但在区间并不是单调递减，故选项C错误；对于选项D：若是的极值点，根据导数的意义知，故选项D正确；故选：AD【点评】本题考查三次函数性质的判断；考查零点存在性定理、函数图象对称中心的判断、利用导数判断函数的单调性和极值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握基本初等函数的有关性质求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.47AC【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、
64、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【解析】对于A，当时，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；若，则，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两
65、个不等式实数根，解得， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点评】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.48CD【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明A和B都是错误的；同时证明C和D是正确的【解析】对A，反例在，上满足性质，但在，上不是连续函数，故A不成立；对B，反例在，上满足性质，但在，上不满足性质，故B不成立；对C：在，上，故，对任意的，故C成立；对D，对任意，有 ，故D成立故选：CD.【点评】本题考查函数新定义题，考查函数与方程思想、转
66、化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时说明一个结论错误时，只需举出反例即可，说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立49ABD【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将等价变形为，结合的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数的奇偶性判断C选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出的范围.【解析】由题意可知的定义域为，关于原点对称因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即时，所以当时，当时，当，则由于的一个零点为， 则，故B正确；当时，令，则大于的零点为的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且所以函数在
67、区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点所以故选：ABD【点评】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.50ABC【分析】先由推出关于对称，然后可得出B答案成立，对于答案ACD，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【解析】因为所以所以关于对称，所以又因为在区间上为增函数，所以因为所以所以选项B成立因为所以比离对称轴远所以，所以选项A成立因为所以，所以比离对称轴远所以，即C答案成立因为，所以符号不定所以，无法比较大小，所以不一定成立所以D答案不一定成立故选：ABC【点评】本题考查的是函数的性质，由条件得出关于对称是解题的关键.51A
68、BC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断.【解析】选项A：任取，则，取，故，所以存在这样的使得成立，选项A正确；选项B：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，当点运动时，直线与曲线均有交点，选项B是正确的；选项C：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，当点运动时，直线与曲线均有交点，选项C是正确的；选项D：在函数上取点时，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确；故选：A
69、BC【点评】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.52BD【分析】依次判断每个选项：根据单调性排除；在上的值域为 B正确；根据闭函数定义得到，故D正确，E错误，得到答案.【解析】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；在定义域上是减函数，由题意设，则，解得因此存在区间，使在上的值域为，B正确；在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两
70、个实数根，即方程有两个不等的实根.当时，有，解得；当时，有，此不等式组无解.综上所述，因此D正确，E错误；故选：BD【点评】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.53BCE【分析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项E正确，选项D不正确，即可求得结果.【解析】根据题意知，.，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；， ，D错误，E正确.故选:BC
71、E.【点评】本题考查函数的新定义，考查函数的奇偶性、单调性和值域，研究函数的单调性和值域要注意分离常数，属于较难题.54ACE【分析】对于A项，对“正对数”的定义分别对从两种情况进行推理；对于B项和D项，通过举反例说明错误；对于C项和E项，分别从四种情况进行推理，得到结果.【解析】对于A，当时，有，从而，所以，当时，有，从而，所以，当时， ，所以A正确；对于B，当时，满足，而，所以，所以B错误；对于C，由“正对数”的定义知，且，当时，而，所以，当时，有，而，因为，所以，当时，有，而，所以，当时，则，所以当时，所以C正确；令，则，显然，所以D不正确；对于E，由“正对数”的定义知，当时，有，当时，
72、有，从而，所以，当时，有，从而，所以，当时，因为，所以，从而，所以D正确；故选ACE.【点评】该题考查的是有关命题的真假判断与应用，涉及到的知识点是新定义，以及对数的运算法则，认真审题是正确解题的关键.55AC【分析】分析奇偶性：通过令值找到与之间的关系；分析单调性：通过令值找到与的大小关系.【解析】定义域关于原点对称，令则有：，令，则有，所以，故是奇函数；令，且，所以，又且，则 ，即，所以，所以是单调减函数.故选：AC.【点评】判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出与之间的关系以及与的大小.56AB【分析】依次判断每个选项的正误，举反例得到错误，根据定
73、义域不包含判断错误，根据均值不等式计算正确，计算分段函数单调性得到正确，得到答案.【解析】A. 函数在定义域内是减函数，错误；B. 奇函数，则一定有，定义域可能不包含，错误；C. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是，当时等号成立故，正确；D. 已知在上是增函数，则的取值范围是在上是增函数，满足： 解得，正确.故选：【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.57BD【分析】由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可【解析】对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；对B，可假设在存在“和
74、谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；对C，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”； 对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”故选：BD【点评】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题58ABCD【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案.【解析】，正确；，偶函数，正确；，正确；易知三点构成等边三角形，正确；故选：【点评】
75、本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.59BC【分析】将函数，利用对称性判断C,利用函数性质判断AD，利用导数判断C即可【解析】由函数A.函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x轴，故不是周期函数；B. 令， 单调递增，又且对称轴是x，故在取得最小值，又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当恒成立，且因为0在 恒成立，故的最小值在 取得，由，单增，又 单调递减，同理，在单调递减，在 单调递减，在单增，故 故f（x）有最大值又有最小值；B正确C.函数f（x）的定义域是R，且故其对称轴是x，此命题正确；D，f（），f（），f（）f（），故D不正确，综上，BC故选：BC【点评】本题主要考查了函数思想，转化思想，属中档题，是个基础题还考查函数图象的对称变化和利用导数解决单调性问题，数形结合法是解答本类题的重要方法本题函数解析式复杂，不利于判断60ABD【分析】依次判断每个选项：奇函数，为偶函数，A正确；根据单调性得到B正确；计算得到C不正确；D正确；E不正确，得到答案.【解析】A正确，所以；B正确，因为函数为增函数，所以；C不正确，；D正确，；E不正确，.故选：ABD.【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性，函数值的计算，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
