1、第三讲不等式、线性规划高考导航1对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主2对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解3对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式考点一不等式的性质与解法1不等式的基本性质(1)对称性：abbb，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cd
2、acbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0(nN，n2)2不等式的倒数性质(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.3求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、
3、层次清楚地求解1(2019河北武邑中学月考)已知ab|a|，则以下不等式中恒成立的是()A|b|0Cab0 D|a|b|解析解法一：由于ab|a|，可知a0，但b不能确定，当b0时，|b|00时，|b|b|a|a，|b|a成立；当b0时，ba，则|b|a成立综上，|b|a.解法二：因为abb，则()Aln(ab)0 B3a0 D|a|b|解析ab，ab0，取ab1，则ln(ab)0.故A错误由y3x在R上单调递增可知3a3b，故B错误由yx3在R上是增函数可知a3b3，故C正确取a0，b1，则|a|b|，故D错误答案C3(2019福州五校联考)已知集合A，Bx|ylg(x24x5)，则A(RB
4、)()A(2，1 B2，1C(1,1 D1,1解析依题意，Ax|20x|1x0时，由二次函数的性质可知，a0，且94a20，解得a；当a0时，由二次函数的图像可知不等式不恒成立综上可得a.故选B.答案B5(2019山东青岛城阳一中月考)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C. D.解析不等式ax2bx10的解集是，a0，方程ax2bx10的两个根为，a6，b5，x2bxa0，即x25x60，(x2)(x3)0，2x3，故选A.答案A6(综合创新)已知函数f(x)x22axa21，若关于x的不等式ff(x)0的解集是空集，则实数a的取
5、值范围是()A(，1) B(1，)C(，2) D(2，)解析函数f(x)x22axa21x22ax(a1)(a1)x(a1)x(a1)，由f(x)0，得a1xa1，则由ff(x)0可得a1f(x)a1.又f(x)(xa)21，所以当xa时，f(x)取得最小值1，所以函数f(x)(xa)21的值域为1，)若原不等式的解集为空集，则不等式a1f(x)a1的解集为空集，所以(a1，a1)与函数f(x)(xa)21的值域1，)的交集为空集，所以a11，a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值2几个重
6、要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号1(2019湖南师大附中月考)下列结论中正确的是()Algx的最小值为2B.的最小值为2C.的最小值为4D当00，22，当且仅当，即x1时取等号；对于C，当且仅当sin2x，即sinx2时取等号，但sinx的最大值为1；对于D，x在(0,2上为增函数，因此有最大值故选B.答案B2(2019吉林长春二模)已知x0，y0，且xy2xy，则x4y的最小值为()A4 B. C. D5解析由xy2xy得2.由x0
7、，y0，x4y(x4y)(54)，当且仅当时等号成立，即x4y的最小值为.故选C.答案C3(2019河南洛阳3月质检)已知正数a，b满足ab2，则的最大值为()A. B.1 C. D.1解析解法一：(基本不等式法)由已知可得a(b1)3.由基本不等式可得2，所以2(当且仅当时等号成立)所以()2a(b1)232322，整理得()26，所以.所以的最大值为.故选C.解法二：(几何法)设x，y，则x2y2ab13.因为x0，y1，所以该方程表示曲线x2y23(x0，y1)，即圆x2y23的一部分设txy(t1)，易知当直线xyt0与曲线相切时，t取得最大值此时有，解得t.故t的最大值为.故选C.答
8、案C4(2019福建厦门3月联考)对任意m，nR，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B2 C4 D.解析对任意m，nR，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a恒成立，2 2，当且仅当时取等号，a2，故a的最大值为2，故选B.答案B5(2019广东五校联考)已知x，y都是非负实数，且xy2，则的最小值为_解析x，y都是非负实数，且xy2，x2y48，82，即，当且仅当x2，y0时取等号，则.答案6(2019天津卷)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_解析x2y5，x0，y0，22 4，当且仅当即或时，原式取得最小值4.答案4利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形
9、式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax(ab0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法考点三线性规划1线性目标函数zaxby最值的确定方法把线性目标函数zaxby化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值2
10、常见的目标函数类型(1)截距型：形如zaxby，可以转化为yx，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；(2)斜率型：形如z，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z|AxByC|，表示区域内的动点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍1(2019武汉调研)设实数x，y满足则zx3y的最大值为()A15 B. C5 D6解析解法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线x3y0并平移，可知当直线经过点A时z取得最大值，由可得故A(0,2)，此时zmax066.故
11、选D.解法二：作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域的顶点坐标为A(0,2)，B，C(5,0)，分别代入目标函数，对应的z的值为6，5，故z的最大值为6，选D.答案D2(2019江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z的最大值为1，则z的最小值为()A BC. D解析作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a2)时，z取得最大值1，故1，解得a2，则C(2,0)当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin.故选D.答案D3(2019湖北黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0
12、，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2 B1 C. D.解析对于集合B，令mxy，nxy，则x，y，由于(x，y)A，所以有即因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域的面积，画出图形可知该平面区域面积为21，故选B.答案B4(2019广州3月测试)设x，y满足约束条件则z(x1)2y2的取值范围是_解析由解得即C.(x1)2y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(1，0)间距离的平方由图可知，点(1,0)到直线AB：2xy10的距离最小，为，故zmin；点(1,0)到点C的距离最大，故zmax22.所以z(x1)2y2的取值范围是.答案5(2019合肥一模
13、)某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_解析根据题意，设培优小组A，B能够成立的学生人数分别为x，y(x，y均为正整数)，则目标函数zxy，作出不等式组所表示的平面区域，为图中四边形OABC及其内部的整数点，作出直线xy0，平移该直线，当平移后的直线经过点(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)时，目标函数zxy取得最大值，zmax5，故两培优小
14、组能够成立的学生人数和最多是5.答案56(2019湖南长沙二模)过平面区域内一点P作圆O：x2y21的两条切线，切点分别为A，B，记APB，当最大时，点P的坐标为_解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出圆O：x2y21，由图知，当点P离圆O越近时，越大过点O作OP垂直于直线xy20，垂足为P，则直线OP的方程为yx.由得所以当最大时，点P的坐标为(1，1)答案(1，1)求目标函数的最值问题的3步骤(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线
15、的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值1(2019全国卷)设集合Ax|x25x60，Bx|x10，则AB()A(，1) B(2,1)C(3，1) D(3，)解析由题意得Ax|x3，Bx|x1，ABx|x1答案A2(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0log0.210，blog20.3log210，ab0，排除C.0log0.20.3log0.20.21，log20.3log20.51，即0a1，b1，ab0，排除D.
16、log20.2，blog20.3log20.2log21，b1abab，排除A.故选B.解法二：易知0a1，b1，ab0，ab0，log0.30.2log0.32log0.30.41，即ab，abab0.故选B.答案B3(2019天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为()A2 B3 C5 D6解析作出可行域(如图中阴影部分)，平移直线4xy0可知，目标函数z4xy在点P处取最大值由得P(1,1)zmax4(1)15.故选C.答案C4(2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_解析由已知，得2a2a23b222，当且仅当2a23b时等号成立，由a3b，a
17、3b60，得a3，b1，故当a3，b1时，2a取得最小值.答案5(2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_解析(1)x10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共140元，由题可知顾客需支付14010130元(2
18、)设每笔订单金额为m元，则只需考虑m120时的情况根据题意得(mx)80%m70%，所以x，而m120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则xmin，而min15，x15.所以x的最大值为15.答案(1)130(2)151.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第59或第1315题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上2若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大专题强化训练(九)一、选择题1(2019湖南衡阳
19、一模)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 D解析解法一(利用不等式性质求解)：由ab0，ab0，故0，即，故A项错误；由ab0，故abb2，故B项错误；由ab0，即a2ab，故aba2，故C项错误；由ab0，得ab0，故0，即1，ab21b2，ab24a2，f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由题意得，f(1)3，所以f(x)f(1)3，即f(x)3，如果x3，可得3x3，可得x3或0x0的解集是(，2)，则关于x的不等式0的解集为()A(2,0)(1，) B(，0)(1,2)C(，2)(0,
20、1) D(，1)(2，)解析关于x的不等式axb0的解集是(，2)，a0，2，b2a，.a0，0，解得x0或1x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析x1，yx1x1222，当且仅当x1，即x11时等号成立，故选A.答案A5(2019天津模拟)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A2 B2 C4 D2解析因为lg2xlg8ylg2，所以lg(2x8y)lg2，则2x3y2，x3y1.又x0，y0，所以(x3y)2224，当且仅当x3y时取等号故选C.答案C6(2019枣庄二模)已知logaxlogay(0a1)，则下列不等式恒成立的是()Ay2x2 Btanxtan
21、yC. D.logay(0a1)，所以0xx2，故A，D错误；对于选项B，取x，y，显然tanxtany，故B错误；对于选项C，由0xy可得，故C正确答案C7(2019湘东五校联考)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B C. D2解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当zyx取得最小值4时，直线yx4与x轴相交于点C(4,0)，所以直线kxy20一定过点C(4,0)，所以4k020，即k.答案B8(2019河南许昌二模)若关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2,2) D(2,2解析不等式(a2
22、)x22(a2)x40恒成立的条件为：当a2时，40恒成立；当a2时，解得2a2.故20，Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(1，)解析Ax|x22x30x|x1或x0，f(0)10，即所以即a1，b0，若ab2，且m2m恒成立，则实数m的取值范围为()A0,1 B(，01，)C(0,1) D(，0)(1，)解析由题意可得()max1，b0，ab2，a10，a1b1.，当且仅当ba1，ab2，即a，b时取等号所以m2m，解得m1或m0，10，b1，a1，则226，的最小值为6，故选C.答案C二、填空题13(2019宁波一模)已知集合M，N，则MN_.解析不等式0等价于(x2)(x3)0，解得2x3，故不等式0的解集为(2,3)，即M(2,3)由log (x2)1，可得解得20有解，则m的取值范围为_解析记f(x)x2mx4，要使不等式x2mx40在区间(1,2)上有解，需满足f(1)0或f(2)0，即m50或2m80，解得m5.答案(5，)16(2019郑州高三检测)若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是_解析对于x23xy10可得y，xy2(当且仅当x时，等号成立)，故xy的最小值是.答案
