1、第二讲复数、算法、推理与证明高考导航1对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义2对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解3对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力考点一复数的概念与运算1复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可2复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”3复数运算中常见的结论(1)(1i)22i，i，i；(2)i4n1，
2、i4n1i，i4n21，i4n3i；(3)i4ni4n1i4n2i4n30.1(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1i C1i D1i解析由题意得z1i，故选D.答案D2(2019广州调研)若复数z满足(1i)z12i，则|z|()A. B. C. D.解析解法一：由已知得zi，所以|z|，故选C.解法二：因为|1i|z|12i|，所以|z|，|z|，故选C.答案C3(2019山西太原模拟)设复数z1i(i是虚数单位)，则的虚部为()A.i B C. Di解析z1i，i.的虚部为.故选C.答案C4(角度创新)已知i为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应
3、的复数为z，则复数的共轭复数是()Ai B1iCi D1i解析易知z2i，则i，其共轭复数为i.答案A5(2019湖南株洲二模)欧拉公式eixcosxisinx(e是自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位特点是当x时，ei10被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析因为eixcosxisinx(e是自然对数的底数，i为虚数单位)，所以e2icos
4、2isin2.因为2，所以cos20.所以e2i表示的复数在复平面内对应的点位于第二象限答案B6(设问创新)已知复数zxyi，|z2|，则的最大值为_解析|z2|，(x2)2y23.如图，点(x，y)在以(2,0)为圆心，为半径的圆上，数形结合可知max.答案复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题考点二程序框图1当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构2注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若
5、满足条件，则进入循环体，否则结束循环3循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等1(2019山东聊城二模)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A4 B2C. D1解析S和n依次循环的结果如下：S，n2；S1，n4.所以12，a1.故选D.答案D2(2019北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A1 B2C3 D4解析由题意得，k1，s2，不满足k3，k2，s2，不满足k3，k3，s2，满足k3，退出循环，输出s2.故选B.答案B3(2019全国卷)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()AA BA2CA DA1解析观
6、察题目所给式子，由程序框图，得当k1时，k2成立，A；当k2时，k2成立，A；当k3时，k2不成立，输出A，程序结束故选A.答案A 4(角度创新)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值大于110，则输入正整数N的最小值为()A5 B4 C3 D2解析因为求最小值，结合选项，不妨取N2，第一次循环，则有S1001101，M10，i2；第二次循环，则有S10110111，M1，i3，退出循环输出S111，选D.答案D5(2019广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，若输入a110011，则输出的b的值是()A45 B47 C51 D53解析输入a110011，b0，i1，第一次循环，t1，b012
7、111，i2；第二次循环，t1，b112213，i3；第三次循环，t0，b303，i4；第四次循环，t0，b303，i5；第五次循环，t1，b3125119，i6；第六次循环，t1，b19126151，i7，满足条件，退出循环输出b51，故选C.答案C6(2016河南开封二模)执行如图所示的程序框图，输出的S的值是_解析由程序框图可知，n1，S0；Scos，n2；Scoscos，n3；Scoscoscoscos252coscos25200，n2019，输出S.答案求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值然后看循环体，若循环次数较少，可依
8、次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“in？”或“in？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可考点三推理与证明1归纳推理的思维过程2类比推理的思维过程1(2019安徽芜湖模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天
9、至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是()A今天是周四 B今天是周六CA车周三限行 DC车周五限行解析在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，A，C两车
10、连续行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意所以今天是周四故选A.答案A2(2019山西孝义模拟)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式d，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x2y2z30的距离为()A3 B5 C. D3解析类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0，z0)到直线AxByCzD0的距离公式为d，则所求距离d5，故选B.答案B3(情境创新)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生
11、成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为()A81 B121 C364 D1093解析由题图可知，当n1时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n2时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为13；当n3时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1332；据此归纳推理可知，当n6时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1332333435364.故选C.答
12、案C4(2018河北省五校联考)在正整数数列中，由1开始，按如下规则将某些数染成红色先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面的最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25；按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是_解析由题意可设第1组的数为1，第2组的数为2,4，第3组的数为5,7,9，所以第1组有1个数，第2组有2个数，根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数由于201620180.01
13、，x0.01，故当x时，结束循环，输出s122，故选C.答案C4(2019天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A5 B8 C24 D29解析i1，S0，i1不是偶数，S1；i2，i4，i2是偶数，j1，S12215；i3，i4，i3不是偶数，S538；i4，i4，输出S8.故选B.答案B5(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道
14、对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩故选D.答案D1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第13题的位置，难度较低，纯属送分题目2高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第69题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识3在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而
15、演绎推理，则主要体现在对问题的证明上专题强化训练(八)一、选择题1(2019西安二模)已知z12i，则复数的虚部是()A. BC.i Di解析i，该复数的虚部为.故选B.答案B2(2019南京模拟)若复数z12i，则等于()A1 B1Ci Di解析i.故选C.答案C3(2019吉林调研)已知z(i)i(i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z，z对应的点位于复平面内的第三象限故选C.答案C4(2019大连模拟)下列推理是演绎推理的是()A由于f(x)ccosx满足f(x)f(x)对任意的xR都成立，推断f(x)ccosx为奇函数B由
16、a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜出数列an的前n项和的表达式C由圆x2y21的面积Sr2，推断：椭圆1的面积SabD由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义A是演绎推理，B是归纳推理，C和D为类比推理，故选A.答案A5(2019江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x3，n2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s()A8 B17 C29 D83解析根据已知的程序框图可得，该程序的
17、功能是利用循环结构计算并输出变量s的值模拟程序的运行过程：输入的x3，n2，当输入的a为2时，s2，k1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s8，k2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s29，k3，满足退出循环的条件故输出的s的值为29.故选C.答案C6(2019河北保定模拟)用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若ab3，则a，b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是()Aa，b至少有两个不小于2Ba，b至少有一个不小于2Ca，b都小于2Da，b至少有一个小于2解析根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”故选C.答案C7(2019广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，
18、输出的结果是()A56 B54 C36 D64解析模拟程序的运行，可得：第1次循环，c2，S4，c20，a1，b2；第2次循环，c3，S7，c20，a2，b3；第3次循环，c5，S12，c20，a3，b5；第4次循环，c8，S20，c20，a5，b8；第5次循环，c13，S33，c20，退出循环，输出S的值为54.故选B.答案B8(2019广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是()A. B1C2019 D2解析模拟程序的运行，可知S2，k0；S1，k1；S，k2；S2，k3；，可见S的值每3个一循环，易知k2019对应的S值是第2020个，又202036731，输出的S值是2，
19、故选D.答案D9(2019湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()Ai100，nn1 Bi34，nn3 Di34，nn3解析算法的功能是计算1的值，易知1,4,7，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为nn3，令1(i1)3100，解得i34，终止程序运行的i值为35，判断框内(1)处应为i34，故选C.答案C10(2019武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：
20、“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A甲 B乙 C丙 D丁解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案B11(2019昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()Ai6? Bi5? Ci3? Di4?解析依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S1
21、(31)13，i112；进行第二次循环时，S3(32)14，i213；进行第三次循环时，S4(33)11，i4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i4？”，选D.答案D12(2019长春一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A B C D解析设截面与底面的距离为h，则中截面内圆的半
22、径为h，则截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，则截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为R，则截面圆的面积为(R)2；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为(R2h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选D.答案D二、填空题13(2019河北唐山模拟)若z(m2m6)(m2)i为纯虚数，则实数m的值为_解析z(m2m6)(m2)i为纯虚数，解得m3.答案314(2019厦门模拟)如图是一个三角形数阵：1按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为_解析前15行共有120(个)数，故所求的数为a122.答案15(2019河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m30，n
23、18，则输出的m的值为_解析如果输入m30，n18，第一次执行循环体后，r12，m18，n12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r6，m12，n6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r0，m6，n0，满足输出条件，故输出的m值为6.答案616(2019天津调研)“求方程xx1的解”，有如下解题思路：设f(x)xx，则f(x)在R上单调递减，且f(2)1，所以原方程有唯一解x2，类比上述解题思路，可得不等式x6(x2)(x2)3x2的解集是_解析因为x6(x2)(x2)3x2，所以x6x2(x2)3(x2)，所以(x2)3x2(x2)3(x2)令f(x)x3x，所以不等式可转化为f(x2)f(x2)因为f(x)在R上单调递增，所以x2x2，解得x2.故原不等式的解集为(，1)(2，)答案(，1)(2，)
