1、第 1页，共 4页阜阳一中高二（上）数学第 3 次周考（普理）答案和解析1.【答案】C2.【答案】C解：11 11 4因为 ，则 1 1 4,解得 1 ,所以 1111 1,则 1，所以 3.故选 C.3.【答案】B解：如图所示：连接 AC,BD 交于点 O，连 AG,A1G，则 2 =，1 1，1=1，=1 1=1 1=1 1=1 1 1 1，=x +y +z1，x+y+z=1 1 1=1故选 B4.【答案】C解：因为非零向量1 ，不共线，如果 1 ，1 ，所以 =1 -1 =1 =所以 ，由平面向量基本定理可知，四点 A，B，C，D 共面故选 C5.【答案】B解：与的夹角为钝角，cos，小
2、于 0，且与不共线，0且（3，-2，-3）（-1，x-1，1），-3-2（x-1）-30，且 x，x 的取值范围是（-2，）（，+）故选 B6.【答案】C解：点 D 在直线 OC 上运动，存在实数使得 =（，2），1 ，1 ，=（1-）（2-）+（2-）（1-）+（3-2）（2-2）=62-16+10=6 4 4，当且仅当 4时，上式取得最小值，4，4，故选 C7.【答案】A解:依题意知4（）（）4（）1141，第 页，共 4页故向量在基底，下的坐标是（12，14，10）.故选 A.8.【答案】C解：根据题意，得；=（-1，3，-3），=（-1，0，1），cos，=1 1=-1，sin，=11
3、；又|=1，点 P（2，-1，2）到直线 l 的距离为|sin，=111=19.【答案】D解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为 1，如图所示；则=（1，1，1），=（0，y，1），且 E 在线段 DC上移动，当 E 在 D位置时，cos，=1111111 1=；当 E 在 C位置时，cos，=11111=为最大值【解法二】=（1，1，1），=（0，y，1）（0y1），=y+1，|=，|=1，cos，=1 1；设 t=1，则 t2-1=y2，y=1（1t），f（t）=1 11=1（1 1+1）；设 sin=1，则 1sin ，即4，g（）=1（1 +sin）=1（cos+sin
4、）=sin（+4），当=4时，g（）取得最大值为=故选：D10.【答案】B解：设1 ,棱长均为 1，则 =1，=1，=1，1=+，1=+，1 1=（+）（-+）=1 1 1 1 1+1=1，|1|=1 1 1=，|1|=1 1 1 1 1 1=，cos 11=，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 故选 B11.【答案】（0，）解：=（1，1，0），=（-1，0，2），+=（0，1，2），与+同方向的单位向量，可设单位向量为（0，m，2m），m0，m2+4m2=1，解得 m=第 页，共 4页与+同方向的单位向量是（0，），故答案为（0，）.12.【答案】/解：点 A（0，0，1），B
5、（0，1，0），C（1，0，0），1111，设平面的法向量为 ,令 z=1，则 x=y=z=1，111 它与的一个法向量共线，且、不重合，/故答案为/13.【答案】-4 +解：=+=+=+（+）=+（-+-）=-1 +=-1+，而 =+，故 =-=-1+-=-4+，故答案为-4+14.【答案】，解：取 BB1 的中点 M，连接 A1C1，A1M，C1M，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AA1，CC1 的中点，BEA1M，BFC1M，BEBF=B，A1MC1M=M，BE，BF平面 BEF，A1M，C1M平面 A1MC1平面 BEF平面 A1MC1，P
6、 是侧面 BCC1B1 内一点，A1P平面 BEF，P线段 C1M，A1C1=，A1M=C1M=，线段 A1P 长度的最大值为 A1C1=，最小值为点 A1 到线段 C1M 的距离 d，以 D为原点，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A1（1，0，1），M（1，1，1），C1=（0，1，1）11=（1，-1，0），1=（1，0，-1），点 A1 到线段 C1M 的距离：d=|11|1 11，1=1 1=，线段 A1P 长度的取值范围是 ，故答案为 ，15.【答案】（1）证明：以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，过 E 作平面 ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 A
7、（-1，0，0），D（1，0，1），A1（-1，0，2），E（0，0，0），C（0，0），=（2，0，1），1=（-1，0，2），=（0，0），1 ，=0，ADEA1，ADEC，EA1EC=E，AD平面 A1EC（2）解：B1（1，0，2），1=（1，0，2），由（1）可知 AD平面 A1EC，平面 A1EC的一个法向量 =（2，0，1），点 B1 到平面 A1EC 的距离 d=1 =4 4 第 4页，共 4页16.【答案】证明：（）在平行四边形 ABCD 中，ADC=60，CD=，AD=2，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=12+3-2 =9，AC2+CD2=AD
8、2，ACD=90，CDAC，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD又 ACCD=C，CD平面 PCA，又 CD平面 PCD，平面 PCA平面 PCD（）E 为侧棱 PC 上的一点，若直线 BE 与底面 ABCD 所成的角为 45，如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（-，3，0），P（0，0，3），设 E（x，y，z），=，（01），则（x，y，z-3）=（0，3，-3），E（0，3，3-3），平面 ABCD 的一个法向量=（0，0，1），sin45=|cos ，|=，解得=1，
9、点 E 的坐标为（0，1，2），=（0，1，2），=（，），设平面 EAB 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 z=1，得 =（0，-2，1），设二面角 E-AB-D 的平面角为，则 cos=，二面角 E-AB-D 的余弦值为 17.【答案】方法一：（1）证明：由题设，M，N 是矩形的边 AD 和 BC 的中点，所以 AMMN，BCMN，折叠垂直关系不变，AMD 是平面 ABNM 与平面 MNCD 的平面角，依题意，所以AMD=60，（2 分）由 AM=DM，可知MAD 是正三角形，所以 AD=，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=，所以，BD=，由题可知 BO=OD=，由勾股定理可知BO
10、D 是直角三角形，所以 BODO（5 分）（2）解：如图 1（2）设 E，F 是 BD，CD 的中点，则 EFCD，OFCD，所以 CD面 OEF，OECD又 BO=OD，所以 OEBD，OE面 ABCD，OE面 BOD，平面 BOD平面 ABCD过 A 作 AHBD，由面面垂直的性质定理，可得 AH平面 BOD，连接 OH，（8 分）所以 OH 是 AO 在平面 BOD 的投影，所以AOH 为所求的角，即 AO 与平面 BOD 所成角（11 分）AH 是 RTABD 斜边上的高，所以 AH=，BO=OD=，所以 sinAOH=（14 分）方法二：取 MD，NC 中点 P，Q，如图 2 建系，则 Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，2），O（0，1），所以 =（，1），=（0，-1）所以 =0，即 BODO（5 分）（2）设平面 BOD 的法向量是 ，可得 +z=0-z=0，令 可得 ，所以 A ，又 =（，-1），设 AO 与平面 BOD 所成角为则 ，=（14 分）
