1、第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷椭圆的离心率T4命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第 411 或1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20题的位置，一般难度较大学科素养通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素养.卷双曲线的渐近线问题T6椭圆的离心率T11卷双曲线的离心率与渐近线问题T102017卷双曲线的性质及应用
2、T5椭圆的综合应用T12卷双曲线离心率的范围T5抛物线的方程及应用T12卷椭圆的离心率求法T11已知双曲线的渐近线求参数T142016卷椭圆的离心率求法T5卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法T12圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第 45 页悟通方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系3抛物线方程中 p 的几何意义为焦点到准线的距离全练快速解答1(2018南宁、柳州联考)已知双曲线x23y2b1(b0)的一个焦点与抛物线 y
3、28x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为()Ay13x By 33 xCy3xDy 3x解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x23y2b1 的一个焦点坐标是(2,0)，则 c2，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 3b22，即 b1，于是双曲线的渐近线方程为y 33 x，故选 B.答案：B2(2018贵阳模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P，Q 两点，若 cosPAQ35，则椭圆 C 的离心率 e 为()A.12B.22C.33D.23解析：根据题意可取 P(c，b2a)，Q(c，b2a)，所以
4、 tanPAFb2aacb2a2aca2c2a2acaca1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAF1tan2PAF1tan2PAF11e211e235，故 55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)214.又椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1)，所以 1e12，e12.故选 A.答案：A3(2018惠州模拟)已知 F1，F2 是双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆内，则双曲线离心率
5、的取值范围是()A(1,2)B(2，)C(1，2)D(2，)解析：如图，不妨设 F1(0，c)，F2(0，c)，则过点 F1 与渐近线 yabx 平行的直线为 yabxc，联立，得yabxc，yabx，解得xbc2a，yc2，即 M(bc2a，c2)因点 M 在以线段 F1F2为直径的圆 x2y2c2 内，故(bc2a)2(c2)2c2，化简得 b23a2，即 c2a23a2，解得ca2，又双曲线的离心率 eca1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选 A.答案：A4(2018高考全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A，B 两
6、点若AMB90，则 k_.解析：法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y214x1，y224x2，y21y224(x1x2)，ky1y2x1x24y1y2.设 AB 中点 M(x0，y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A，B，则|MM|12|AB|12(|AF|BF|)12(|AA|BB|)M(x0，y0)为 AB 中点，M 为 AB的中点，MM平行于 x 轴，y1y22，k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 yk(x1)，直线方程与y24x 联立，消去 y，得 k2x2(2k24)xk20.设 A(x1，y1
7、)，B(x2，y2)，则 x1x21，x1x22k24k2.由 M(1,1)，得 AM(1x1,1y1)，BM(1x2,1y2)由AMB90，得 AMBM0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又 y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，12k24k21k212k24k21 k2k24k22 10，整理得4k24k10，解得 k2.答案：2【类题通法】1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b
8、 用 a，c 代换，求ca的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系授课提示：对应学生用书第 46 页悟通方法结论 弦长问题设直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线 AB 的斜率存在(设为 k)，则|AB|1k2|x1x2|或|AB|11k2|y1y2|(k0)，其中|x1x2|x1x224x1x2，|y1y2|y1y224y1y2；若直线 AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式
9、求弦长(2017高考全国卷)(12 分)设 A，B 为曲线 C：(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线求直线 AB的方程学审题条件信息想到方法注意什么信息：曲线 yx24上两点 A，B 的横坐标之和为 4设两点坐标，作两点坐标满足方程的差，结合斜率公式和横坐标的和来求解(1)利用两点的斜率公式时，两点的横坐标应不相等(2)直线与曲线交于两点，联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于 0信息：切线平行直线 AB导数的几何意义，利用平行直线斜率相等可得 M 的坐标信息：AMBMABM 为直角三角形及其性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半规
10、范解答(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1x214，y2x224，x1x24，(2 分)于是直线 AB 的斜率 ky1y2x1x2x1x241.(4 分)(2)由 yx24，得 yx2.设 M(x3，y3)，由题设知x321，解得 x32，(6 分)于是 M(2,1)设直线 AB 的方程为 yxm，(8 分)故线段 AB 的中点为 N(2,2m)，|MN|m1|.将 yxm 代入 yx24，得 x24x4m0.当 16(m1)0，即 m1 时，x1,222 m1.从而|AB|2|x1x2|4 2m1.(10 分)由题设知|AB|2|MN|，即 4 2m12(m1)，
11、解得 m7(m1 舍去)所以直线 AB 的方程为 xy70.(12 分)【类题通法】直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成 xmyb 的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系练通即学即用1(2018高考全国卷)已知双曲线 C：x23y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形
12、，则|MN|()A.32 B3C2 3D4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y 13x.设两渐近线夹角为 2，则有 tan 13 33，所以 30.所以MON260.又OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示在 RtONF 中，|OF|2，则|ON|3.则在 RtOMN 中，|MN|ON|tan 2 3tan 603.故选 B.答案：B2(2018洛阳模拟)已知短轴的长为 2 的椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，直线 n 的横、纵截距分别为 a，1，且原点 O 到直线 n 的距离为 32.(1)求椭圆 E 的方程；(2)直线 l 经过椭圆 E 的右焦点
13、 F 且与椭圆 E 交于 A，B 两点，若椭圆 E 上存在一点 C满足OA 3OB 2OC 0，求直线 l 的方程解析：(1)椭圆 E 的短轴的长为 2，故 b1.依题意设直线 n 的方程为xay1，由11a21 32，解得 a 3，故椭圆 E 的方程为x23y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线 l 的斜率为 0 时，显然不符合题意当直线 l 的斜率不为 0 或直线 l 的斜率不存在时，F(2，0)，设直线 l 的方程为 xty2，由x23y21，xty 2，得(t23)y22 2ty10，y1y22 2tt23，y1y2 1t23，OA 3OB 2O
14、C 0，x312x1 32 x2，y312y1 32 y2，又点 C 在椭圆 E 上，x233y2313(12x1 32 x2)2(12y1 32 y2)214(x213y21)34(x223y22)32(13x1x2y1y2)1，又x213y211，x223y221，13x1x2y1y20，将 x1ty1 2，x2ty2 2及代入得 t21，即 t1 或 t1.故直线 l 的方程为 xy 20 或 xy 20.授课提示：对应学生用书第 130 页一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线x225y2201 的渐近线方程为()Ay45x By54xCy15xDy2 55 x解析：在双曲线 x2
15、25y2201 中，a5，b2 5，而其渐近线方程为 ybax，其渐近线方程为 y2 55 x，故选 D.答案：D2已知椭圆 C 的方程为x216y2m21(m0)，如果直线 y 22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为()A2B2 2C8 D2 3解析：根据已知条件得 c 16m2，则点16m2，2216m2 在椭圆x216y2m21(m0)上，16m21616m22m2 1，可得 m2 2.答案：B3(2018张掖模拟)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与圆 x2(y2)21 相切，则双曲线的离心率为()A.2B.3C2D3解析：双
16、曲线x2a2y2b21 的渐近线与圆 x2(y2)21 相切，则圆心(0,2)到直线 bxay0 的距离为 1，所以2aa2b21，即2ac 1，所以双曲线的离心率 eca2，故选 C.答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a.由题意，圆心到直线 bxay2ab0 的距离为2aba2b2a，即 a23b2.又 e21b2a223，所以 e
17、63.答案：A5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 5，渐近线方程为 2xy0，则双曲线的方程为()A.x24y2161B.x216y241C.x216y2641D.x264y2161解析：易知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为 2xy0，得ba2，因为双曲线的焦距为 4 5，所以 c2 5，结合 c2a2b2，可得 a2，b4，所以双曲线的方程为x24y2161，故选 A.答案：A6(2018长春模拟)已知 O 为坐标原点，设 F1，F2 分别是双曲线 x2y21 的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点 F1 作F1PF2 的
18、平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|()A1B2C4D.12解析：不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交 PF2 于点 M，由于 PH 既是F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故PF1M 为等腰三角形，|PF1|PM|且 H 为 F1M 的中点，所以OH 为MF1F2 的中位线，所以|OH|12|MF2|12(|PF2|PM|)12(|PF2|PF1|)1.故选 A.答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为()A.2B2C.3 22D2 2解析：由题意，得 eca 2，c2a2b2，得 a
19、2b2.又因为 a0，b0，所以 ab，渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 422 2，故选 D.答案：D8(2018石家庄一模)已知直线 l：y2x3 被椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)截得的弦长为 7，有下列直线：y2x3；y2x1；y2x3；y2x3.其中被椭圆 C截得的弦长一定为 7 的有()A1 条B2 条C3 条D4 条解析：易知直线 y2x3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2x3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y2x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.选 C.答案：C9(2018洛
20、阳模拟)设双曲线 C：x216y291 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近线的垂线，垂足分别为 M，N，若 d 是双曲线上任意一点P 到直线 MN 的距离，则 d|PF|的值为()A.34B.45C.54D无法确定解析：双曲线 C：x216y291 中，a4，b3，c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y34x.不妨设 M 在直线 y34x 上，N 在直线 y34x 上，则直线 MF 的斜率为43，其方程为 y43(x5)，设 M(t，34t)，代入直线 MF 的方程，得34t43(t5)，解得 t165，即 M(165，125)由对称性可得 N(165，125)，所以直线 MN
21、 的方程为 x165.设 P(m，n)，则 d|m165|，m216n29 1，即 n2 916(m216)，则|PF|m52n214|5m16|.故 d|PF|m165|14|5m16|45，故选 B.答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A5B6C7D8解析：由题意知直线 MN 的方程为 y23(x2)，联立直线与抛物线的方程，得y23x2，y24x，解得x1，y2或x4，y4.不妨设 M 为(1,2)，N 为(4,4)又抛物线焦点为 F(1,0)，FM(0,2)，FN(3,4)，
22、FM FN03248.故选 D.答案：D11(2018广西五校联考)已知点 F1，F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M，N 两点，若MF1 NF10，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A(2，21)B(1，21)C(1，3)D(3，)解析：设 F1(c,0)，F2(c,0)，依题意可得c2a2y2b21，得到 yb2a，不妨设 Mc，b2a，Nc，b2a，则MF1NF12c，b2a 2c，b2a 4c2b4a20，得到 4a2c2(c2a2)20，即 a4c46a2c20，故 e46e210，解得 32 2e23
23、2 2，又 e1，所以 1e232 2，解得 1e1 2答案：B12(2018南昌模拟)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB 的最大值为()A.3B.34C.56D.23解析：由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又 x1x242 33|AB|，得|AF|BF|2 33|AB|，所以|AB|32(|AF|BF|)所以 cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|2|BF|232()|AF|BF|22|AF|BF|14|AF|214|BF|232|AF|BF|2|AF|
24、BF|18|AF|BF|BF|AF|34182|AF|BF|BF|AF|3412，而 0AFB，所以AFB 的最大值为23.答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线x2a2y221(a0)和抛物线 y28x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为_解析：易知抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x2a2y221 的一个焦点为(2,0)，则a2222，即 a 2，所以双曲线的离心率 eca 22 2.答案：214(2018武汉调研)双曲线：y2a2x2b21(a0，b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 的实轴长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 yabx，即
25、 axby0 的距离为|5b|a2b25bc b3，所以 a4,2a8.答案：815(2018唐山模拟)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|2|BF|6，则 p_.解析：设 AB 的方程为 xmyp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 y22pmyp20，所以 y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为 l，过 A作 ACl，垂足为 C，过 B 作 BDl，垂足为 D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x1p26，|BF|BD|x2p23，所以 x1x23，x1x2
26、9p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即 18p720，解得 p4.答案：416(2017高考全国卷改编)设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是_解析：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即3m3，解得 0m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即 m3 3，解得 m9.故 m 的取值范围为(0,19，)答案：(0,19，)三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆 C：x
27、2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B，若BF1F2 的周长为 6，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1，A2 是椭圆 C 长轴的两个端点，P 是椭圆 C 上不同于 A1，A2 的任意一点，直线A1P 交直线 xm 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值解析：(1)由题意得 F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，则 2a2c6，直线 BF2 的方程为 bxcybc0，所以|bcbc|c2b2 b，即 2ca，又 a2b2c2，所以由可得 a2，b 3，所以椭圆 C 的方程为x24y231
28、.(2)不妨设 A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，则直线 A1P 的方程为 y y0 x02(x2)，所以 M(m，y0 x02(m2)，又点 P 在椭圆 C 上，所以 y203(1x204)，若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2MA2P，A2M A2P 0，所以(m2，y0 x02(m2)(x02，y0)(m2)(x02)y20 x02(m2)(m2)(x02)31x204x02(m2)(x02)(14m72)0.又点 P 不同于点 A1，A2，所以 x02，所以 m14.18(2018广州模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：y2a2x2b21(ab0)的上
29、焦点为 F1，椭圆 C 的离心率为12，且过点(1，2 63)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若F1B F1H 0，且|MO|MA|，求直线 l 的方程解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为12，所以ca12，即 a2c.又 a2b2c2，所以 b23c2，即 b234a2，所以椭圆 C 的方程为y2a2 x234a21.把点(1，2 63)代入椭圆 C 的方程中，解得 a24.所以椭圆 C 的方程为y24x231.(2)由(1)知，A(0,2)，设直
30、线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 ykx2，由ykx2，x23y241，得(3k24)x212kx0.设 B(xB，yB)，得 xB12k3k24，所以 yB6k283k24，所以 B(12k3k24，6k283k24)设 M(xM，yM)，因为|MO|MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM1，因为 yMkxM2，所以 xM1k，即 M(1k，1)设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH1k，即11kxH1k.所以 xHk1k，即 H(k1k，0)又 F1(0,1)，所以F1B(12k3k24，49k23k24)，F1H(k1k，1)因为F1B F1H 0，所以 12k3k24(k1k)49k23k240，解得 k2 63.所以直线 l 的方程为 y2 63 x2.
