1、第7讲指数函数指数函数的图象及性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)图象特征当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y1常用结论1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象
2、越高，底数越大一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yax是R上的增函数()(2)函数ya (a1)的值域是(0，)()(3)函数y2x1是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m0且a1，所以a4.答案：42若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若方程|3x1|k有一解，则k的取值范围为_【解析】(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0
3、.答案：(0，)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|k的图象如图所示由图象知k1，即k(，1答案：(，1【迁移探究3】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y|3x1|的图象知其在(，0上单调递减，所以k(，0指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住关键点(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是
4、从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论1已知函数f(x)ax22(a0且a1)的图象恒过定点A，则A的坐标为()A(0，1)B(2，3)C(3，2) D(2，2)解析：选B令x20，则x2，f(2)3，即A的坐标为(2，3)2函数ye|x1|的大致图象是()解析：选B因为|x1|0，所以0e|x1|e0，即00且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_解析：(1)当0a1时，y|ax1|的图象如图.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1，所以0a1时，y|ax1|的图象如图，而y2a21不可能与y|a
5、x1|有两个交点综上，0a.答案：指数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较指数幂的大小 (1)已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()Acab BbacCacb Dabc(2)(2020高考全国卷)若2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|，所以，即bac.(2)由2x2y3x3y，得2x3x2y3y，即2x2y，设f(x)2x，则f(x)f(y)，因为函数y2x在R上为增函数，y在R上为增函数，所以f(x)2x在R上为增函数，则由f(x)f(y)，得x0，所以yx11，所以ln(yx1)0，故选A【答案】(1)B(2)A比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底
6、后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 角度二解简单的指数方程或不等式 (1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_【解析】(1)当a1时，代入不成立故a的值为.(2)因为f(x)为偶函数，f(x)在0，)上递增，且f(2)0，所以|x2|2，解得x4或x0，且a1)的函
7、数求值域时，要借助换元法：令uf(x)，先求出uf(x)的值域，再利用yau的单调性求出yaf(x)的值域(2)形如yaf(x)(a0，且a1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反 1已知0ab1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是()Aaa BabCba Dbb
8、解析：选C因为0a1，ab1，即aaab，同理可得，babb，又因为aa，即ba最大2不等式恒成立，则a的取值范围是_解析：由题意，y是减函数，因为2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，解得2a0且a1)的函数、方程、不等式问题，通常令tax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法 已知函数f(x)，a为常数，且函数的图象过点(1，2)(1)求a的值；(2)若g(x)4x2，且g(x)f(x)，求满足条件的x的值解：(1)由已知得2.解得a1.(2)由(1)知f(x)，又g(x)
9、f(x)，则4x2，所以20，令t，则t0，t2t20，即(t2)(t1)0，又t0，故t2，即2.解得x1，故满足条件的x的值为1.高考新声音1德育为先，立德树人以德育为背景的高考试题道德源于生活，以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康等生活内容为题材，考查学生的数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养 (2020高考全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数当I(t*)0.
10、95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A60 B63C66 D69【解析】由题意可知，当I(t*)0.95K时，0.95K，即1e，e，e19，所以0.23(t*53)ln 193，所以t*66.故选C【答案】C例题以新冠肺炎为背景设计，情境贴近实际，引导学生关注现实社会，体现了品德教育的素养导向，着重考查学生的理性思维以及使用数学模型解决实际问题的能力 (2019高考全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()AR BRCR DR解析：选D由(Rr)，得M1.因为，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以rR，故选D
