1、1合肥六校联盟 2020-2021 学年第二学期高二年级期末联考数学试卷（理）答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5.DBAAB6-10 BDCCB11-12.AB二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13614.6015.1616.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）(1)当1n 时，1122Sa，1122aa，123a；当2n 时，112222nnnnSaSa，两式相减得12nnnaaa(2)n，即13(2)nnaan，又1
2、0na 113nnaa(2)n，数列na是以 23为首项，13为公比的等比数列1211()2()333nnna.(2)由（1）知12()3nnbn，2311112()()()(123)3333nnTn 111()(1)3321213nnn211()32nnn 18.（本小题满分 12 分）【解析】（1）f(x)sin(x)3cos(x)212sin(x)32 cos(x)2sin(x3)因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)2sin(3)0，又 0|2，可得3，所以 f(x)2sin x，由题意得2 22，所以2.2故 f(x)2sin 2x.因此 f(6)2sin3 3.(2)将 f(x)的
3、图象向右平移6个单位后，得到 f(x6)的图象，所以 g(x)f(x6)2sin2(x6)2sin(2x3)当 2k22x32k2(kZ)，即 k 12xk512(kZ)时，g(x)单调递增，因此 g(x)的单调递增区间为k 12，k512(kZ)19.（本小题满分 12 分）（1）若选19b，2c，,0152,cos22222aaBaccab即舍）或(35aa，所以ABC的面积235232521sin21BacS.（2）若选2c，CAsin5sin2由CAsin5sin2,得ca52 又5,2ac所以ABC的面积235232521sin21BacS.（3）若选19b，CAsin5sin2由C
4、Asin5sin2,得ca52，,4,cos22222cBaccab即2c，525ca所以ABC的面积235232521sin21BacS.20（本小题满分 12 分）（1）证明：连接OB，BD，易证四边形OBCD 为正方形，所以 BDOC因为 AD，AB 的中点分别是O，G，所以/GOBD所以GOOC因为 PAPD，AD 的中点是O，所以 POAD因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCDAD，PO 平面 PAD所以 PO 平面 ABCD 3又GO 平面 ABCD，所以 POGO又因为OCPOO，所以GO 平面 POC（2）解：法一：由（1）知OB，OD，OP 两两垂直，
5、建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz因为224ADBCCD，2 2PAPD所以2POOAOBOD则点(0,0,2)P，(0,2,0)D，(0,0,0)O，(2,2,0)C，(1,1,0)G所以(1,3,0)CG ，(1,1,2)PG 由（1）知 POOC，GOOC，又 POGOO，PO，GO 平面 PGO所以OC 平面 PGO，所以(2,2,0)OC 为平面 PGO 的一个法向量；又设平面 PGC 的法向量为(,)nx y z，由 nPGnCG 得2030n PGxyzn CGxy 得23zyxy 取1y ，得(3,1,2)n 所以(2,2,0)(3,1,2)7cos,7|2 214OC nO
6、C nOC n 由图知二面角CPGO为锐角，所以二面角CPGO的余弦值为77法二：由（1）知 POOC，GOOC又 POGOO，PO，GO 平面 PGO所以OC 平面 PGO 0过 点 O 作 OEPG，垂 足 为 E，连 接 CE，则OEC即 为 二 面 角CPGO的平面角由2 2PD，2OD，POOD，易得2PO 由2OAOB，OAOB，易得22ABOG 在 Rt POG中，2222232(2)PO OGOEPG，222 2OCODOC4因为OC 平面 POG，OE 平面OG，所以OCOE在 Rt DCE中，2 2tan623OCOECOE则7cos7OEC故二面角CPGO的余弦值7721
7、（本小题满分 12 分）解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得：22222322311143caababcabc 故椭圆 C 的方程为2214xy（2）由题意知(0,1)P，直线 l 的斜率存在，不妨设直线 l 的方程为(4)1yk x，设 A，B 两点的坐标为1122,A x yB xy，联立2222(4)1418(41)32(21)014yk xkxkkxkkxy由12,x x 是上方程的两根得：1212228(41)32(21),4141kkkkxxxxkk又12121212424211PAPBk xk xyykkxxxx12121222(21)kx xkxxx x212122(21)1
8、6(21)(41)41122232(21)22kxxkkkkkkkx xkk故直线 PA与直线 PB 的斜率之和为定值，且定值为 12。21.（本小题满分 12 分）（1）解：f x 的定义域为0,，2221221()1axaxfxxxx.令 221g xxax，方程2210 xax 的判别式244411aaa，（）当0，即 11a 时，2210g xxax 恒成立，5即对任意0,x，20g xfxx，所以 f x 在0,上单调递增.（）当0，即1a 或1a.当1a 时，2210g xxax 恒成立，即对任意0,x，20g xfxx，所以 f x 在0,上单调递增.当1a 时，由2210 xa
9、x，解得21aa ，21aa.所以当0 x时，0g x；当x时，0g x；当 x时，0g x，所以在 220,11,aaaa 上，0fx，在221,1aaaa上，0fx，所以函数 f x 在20,1aa和21,aa 上单调递增；在221,1aaaa上单调递减.综上，当1a 时，f x 在0,上单调递增；当1a 时，f x 在20,1aa和21,aa 上单调递增，在221,1aaaa上单调递减.（2）证明：由121211lnlnxxxx，得12lnln0 xx，所以120 xx，因为121211lnlnxxxx，所以1112221211lnxxxxxxxxx，令12xtx，则1t ，11lnttx，所以11lntxt，21lntxtt，所以2121lntxxtt.所以要证122xx，只要证212lnttt，即证12ln1tt tt.由（1）可知，当1a 时，所以 12lnfxxxx在0,上是增函数，所以，当1t 时，10f tf，即12ln1tt tt成立，6所以122xx成立.
