1、第六节空间向量的运算及空间位置关系【考纲下载】1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角
2、坐标系的含义：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，称这样的坐标系为右手系(3)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系2空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP|.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y
3、2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.3空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中既有大小又有方向的量向量的模空间向量的大小叫作向量的长度或模，用|或|a|表示向量的夹角过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量、，则AOB叫作向量a、b的夹角，记作a，b，规定0a，b，a，b时，向量a、b垂直，记作ab，a，b0或时，向量a、b平行，记作ab直线的方向向量若l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量平面的法向量如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量单位向量对于任意一个非零向量a，我们把叫
4、作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同向4空间向量的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(b0)共线的充分必要条件是存在实数，使得ab.(2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3.把e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底5线性运算的运算律(1)加法交换律：abba；(2)加法结合律：(ab)ca(bc)；(3)数乘向量分配律：(ab)ab；(4)向量对实数加法的分配律：a()aa；(5)数乘向量的结合律：(a)()a.6空间向量的数量积(1)定义：空间两个向量a和b的数量积等于|
5、a|b|cosa，b，记作ab.(2)运算律：交换律：abba；分配律：a(bc)abac；结合律：(ab)(a)b(R)(3)常见结论：|a|；abab0；cosa，b(a0，b0)7空间向量的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；(2)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)；(3)aba1b1a2b2a3b3；(4)a；(5)cosa，b.1空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均
6、为零2对于实数a，b，若ab0，则一定有a0或b0，而对于向量a，b，若ab0，则一定有a0或b0吗？提示：不一定因为当a0且b0时，若ab，也有ab0.3对于非零向量b，由abbcac，这一运算是否成立？提示：不成立根据向量数量积的几何意义，abbc说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等，而不是ac.1(教材习题改编)下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D
7、4解析：选B正确；对于，|a|b|ab|是a、b共线的充分不必要条件；对于，a与b所在的直线可能是同一条直线，故错2已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：选C易求，故xy.3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2解析：选A经验证可知，当2，时，a(3,0,2)，b(6,0,4)，即b2a，故ab.4(教材习题改编)已知a(3,2,5)，b(1，1)若ab，则_.解析：ab，(3)125(1)0，4.答案：45. 如图所示，正方体
8、的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点(靠近y轴)，则M、N之间的距离为_解析：由条件知，M，N，故| | .答案：考点一空间向量的线性运算 例1 (1)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点化简_；用，表示，则_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b的值自主解答(1)().()， ().(2)2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(5,13，28)答案(1) 【互动探究】本例中(1)条件不变
9、，结论改为：设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求x，y，z的值解： ()，由条件知，x，y，z. 【方法规律】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) .解：(1)P是C1D1的中点， aacABacb.(2)N是B
10、C的中点， abBCabADabc.(3)M是AA1的中点， aabc，又ca. abc.考点二共线、共面向量定理的应用 例2 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有( )自主解答(1)证明：连接BG，则 ().所以E，F，G，H四点共面(2)证明：因为 ().所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理.所以，即EHFG，EH=
11、FG，所以四边EFGH是平行四边形所以EG，FH交于一点M且被M平分故 ()( )【方法规律】1证明空间三点P、A、B共线的方法(1) (R)；(2)对空间任一点O，t (tR)；(3)对空间任一点O，xy (xy1)2证明空间四点P、M、A、B共面的方法(1) xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz (xyz1)；(4) (或或)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解：(1)由题知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，M，A，B，C四点共面，从而点M在平
12、面ABC内.考点三空间向量的数量积及其应用 例3直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值自主解答(1)证明：设a，b，c，由题意知，|a|b|c|且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2) ac，bc，|a|，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.故异面直线CE与AC所成角的余弦值为.【方法规律】空间向量数量积的应用(1)求夹角设向量a，b所成的角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计
13、算问题(3)解决垂直问题利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120.求AC1的长解：|22()2222222a2a2b202abcos 1202abcos 1202a2b22ab.所以|AC1|.课堂归纳通法领悟1种意识基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识2种方法基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解3个注意点利用向量解决立体几何问题应注意的问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾
14、相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别 方法博览(五)巧用基向量求解立体几何问题典例(2012浙江高考)已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解题指导本题是研究直线AC与BD、AB与CD、AD与BC是否垂直的问题，故可利用向量证明、是否为0.解析如图所示，在图(1)中，易知A
15、ECF，BEEFFD.在图(2)中，设a，b，c，则a，bb，c90，a，c，则abc，3b，故3b210，故AC与BD不垂直，A不正确；ab，bc，所以acb2cos.当cos ，即时，0，故B正确；a2b，2bc，所以ac4b2cos (cos 2)，故无论为何值，0，故C不正确答案B点评1.用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角ABDC大小在变化，即在变化，因此可以、为基向量，同时也便于运算2注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC4
16、5，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_解析：由题意知 ()84cos 4586cos 601624.cos，0.OA与BC所成角的余弦值为.答案：全盘巩固1点M(8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是()A(8，6，1) B(8，6，1)C(8，6,1) D(8，6,1)解析：选A点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P(a，b，c)2已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：选B由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)3设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0
17、,1,0)，AB的中点为M，则|CM|()A. B. C. D.解析：选C设M(x，y，z)，则x2，y，z3，即M，则|CM| .4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三个向量共面，则实数()A. B. C. D.解析：选D由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5. 以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()A. B.C. D.解析：选B连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的
18、中点由题意得A(0,0,0)，B1(1,0,1)，故AB1的中点坐标为.6已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析：选C设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.又(ab)，c，故 (ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.7在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为_解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，)答案：(0，)8已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b
19、，c，用a、b、c表示向量 _.解析：如图所示， ()()()(2)()(bca)答案：(bca)9已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确的序号是_解析：中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中，|0，故也不正确答案：10. 在空间直角坐标系中，|BC|2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，求点D的坐标解：过D作DEBC，垂足为E.在RtBCD中，由BDC90，DCB30，|
20、BC|2，得|BD|1，|CD|，|DE|CD|sin 30，|OE|OB|BE|OB|BD|cos 601，点D的坐标为.11. 如图ABCDA1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点(1)证明：直线MN平面B1CD1；(2)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长解：(1)证明：如图，连接AC，则N是AC的中点，在ACD1中，又M是AD1的中点，MNCD1.又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，MN平面B1CD1.(2)由条件知
21、B1(a，a，a)，M，|B1M| a，即线段B1M的长为a.12. 如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz.(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证： .解：(1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明：A1、E、F、C1四点共面，、共面选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，
22、a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.冲击名校如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，求：(1) ；(2) ；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解：设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc，(1) (a)a2ac.(2) (ca)(bc)(bcabc2ac).(3) abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4) bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.高频滚动如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ACCD，E是AA1上的一点(1)求证：CD平面ACE；(2)若平面CBE交DD1于点F，求证：EFAD.证明：(1)因为ABCD A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以AA1CD，即AECD.因为ACCD，AE平面AEC，AC平面AEC，AEACA，所以CD平面AEC.(2)因为ADBC，AD平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，所以BC平面ADD1A1.因为BC平面BCE，平面BCE平面ADD1A1EF，所以EFBC.所以EFAD.
