1、复数三角形式解答题1、若复数z满足，当复数z的辐角为300时，求复数z的模。翰林汇2、已知复数, 求复数的辐角的主值.翰林汇3、设z满足，求z.翰林汇4、已知向量的模|r，幅角为，求：(1)点P的坐标；(2)如果直线OP分别交直线xr与yr于T、S两点，点T、S的坐标分别是多少？翰林汇5、已知复数, 是z的共轭复数,求复数的辐角主值.翰林汇6、设0qp，复数z=1-cosqisinq，u=a2ai，且z，u是纯虚数(aR)，求复数u的辐角主值argu.翰林汇7、设|z|=1，z5z=1，求复数z的值。翰林汇8、复数z的模是1且z22z是负实数，求z.翰林汇9、已知复数z满足z2iz=32ai(
2、aR),且，求a的取值范围。翰林汇10、已知：,是非零复数z=r(cos+isin)的n个不同的n次方根(n3),(1)求证： ,组成等比数列;(2)求和=+;(3)求积：T=.翰林汇11、设复数若的取值范围.翰林汇12、若是z的五次方根，求z其余的五次方根翰林汇13、设z+=2,求的三角形式。翰林汇14、设f(z)=z100z501，求.翰林汇15、将化为三角形式。翰林汇16、将下列复数代数式化为三角式：（1）； （2） .翰林汇17、将下列复数代数式化为三角式：（1）； （2）.翰林汇18、将下列复数代数式化为三角式：（1）； （2） .翰林汇19、已知复数z1=,z2=cos30oisi
3、n30o,是z2的共轭复数，且=z1，求复数z的代数形式。翰林汇20、已知复数z1z2满足|z1|=3，|z2|=5，|z1-z2|=7，求的值。翰林汇21、复数w的辐角主值是，且为一实数，求复数w.翰林汇22、设z=cosqisinq，求z3z-3.翰林汇23、已知A、B、C是ABC的三个内角，三个复数z1=1cos2Aisin2A,z2=1cos2Bisin2B,z3=1cos2Cisin2C,试求的值。翰林汇24、复数的辐角主值是多少.翰林汇25、已知复数z满足条件|z|1，其中常数a为正实数.(1)试证；(2)当a=1时，试确定复数z的辐角主值的取值范围.翰林汇26、已知复数z满足(z
4、1)(1)=|z|2，且是纯虚数.(1)求z；(2)求z的辐角主值.翰林汇27、已知z1=1+i,|z2|=2,argz2,求|z1+z22|的最值。翰林汇28、已知复数z满足等式，且，求z翰林汇29、设复数,并且,求.翰林汇30、复数z满足，且，求a的取值范围。翰林汇31、满足是实数,且z+3的辐角主值是的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.翰林汇32、复数w的辐角主值是，且为一实数，若复数z=cos+isin(02),求|zw|的最大值、最小值。翰林汇33、设复数求，使：（1）z为实数；（2）z纯虚数；（3）z在复平面内的对应点在第二象限；（4）z的实部与虚部相等.翰林
5、汇34、已知复数z=abi(a,bR)的三角形式是r(cosisin),试写出下列各复数的三角形式.(1)z1=abi. (2)z2=abi. (3)z3=abi.翰林汇35、已知z=abi(a0,b0,a,bR),试求复数z的辐角主值argz.翰林汇36、已知复数z=(2k23k2)i(3k2k2)的辐角主值是,求实数k.翰林汇37、已知z1，z2C，z1，z20，且满足z12-z1z2z22=0(1)证明|z1|=|z2|，并求z1，z2对应向量与所在直线的夹角；(2)若令z2=1mi，且z1z2的辐角主值是，试确定实数m的值。翰林汇38、设O是复平面的原点,Z1,Z2是单位圆上的它们分别
6、对应复数z1和z2,若z1,z2的辐角主值分别是,且OZ1Z2的重心所对应的复数是,试求tg()的值.翰林汇39、设虚数z1,z2满足 = z2.(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.(2)若z1=1mi(m0,i为虚数单位)w=z22,w的辐角主值为,求的取值范围.翰林汇40、把复数z1与z2对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,重合于向量且模相等,已知z2=1i,求复数z1的代数式和它的辐角主值.翰林汇41、已知kR, 复数z = cos+isin. (1) 当k 和分别为何值时, 复数z3+ 是纯虚数 ; (2) 当变化时, 求出| z3+ | 的最大值和最
7、小值.翰林汇42、已知辐角分别为1 , 2的复数z1 , z2 满足条件：z1 + z2 = 5i , | z1 z2 | = 14 . 试求cos (12)的最大值及最小值, 并求取得最小值时的z1 , z2 的值.翰林汇43、设,其中a实数,i是虚数单位,且，求的辐角主值的取值范围翰林汇44、将下列复数化成三角形式：512.翰林汇45、下面复数化为三角形式：（1）（2）翰林汇46、将下面复数化为三角形式：（1）；（2）.翰林汇47、将复数化成三角形式：翰林汇48、复平面内，根据要求作出复数z的对应点所构成的图形：翰林汇49、已知复数(1)求|z|及argz；(2)要使求的取值范围.翰林汇5
8、0、已知复数z1、z2分别对应复平面上的点Z1、Z2，且z1、z2满足条件：z2=az1i(aR)，|z1|z2|z1z2|=10.(1)当a为何值时，Z1OZ2的面积取得最大值？并求出这个最大值；(2)当Z1OZ2面积取得最大值时，求动点Z1的轨迹.翰林汇51、设02，复数z=1cosisin，u=a2ai，且积zu是纯虚数，aR.（1）求复数u的辐角主值argu（用只含的代数式表示）；（2）记=zu，试问可能是实数吗？为什么？翰林汇52、函数y=x24px2的图像经过点M(tg,1)及N(tg,1),求2cos2cos2+psin2(+)+2sin2()的值.翰林汇53、设二次方程x22p
9、x4=0的两个虚根为、,且在复平面上,2的对应点组成正三角形.试求实数p的值.翰林汇复数三角形式解答题 答案 1、 解：设z=r(cos300+isin300)，代入 .翰林汇2、 解： 所以复数辐角的主值为翰林汇3、 解：由已知得，即， z=.翰林汇4、 P点(rcos，rsin)；T点(r，rtan)，S点(rcot，r)翰林汇5、 翰林汇6、 翰林汇7、 z=i.翰林汇8、 z1=-1，z2=-i，z3-i.翰林汇9、 a0翰林汇10、 (1)为定值;(2)0;(3)当n为奇数时,T=r(cos+isin);当n为偶数时,T=rcos(+)+isin(+).翰林汇11、 .翰林汇12、
10、、.翰林汇13、 或翰林汇14、 则i100=1=1i1=i.翰林汇15、 翰林汇16、 解：（1）=；（2）当a0时 当a0时 .翰林汇17、 解 （1）=； （2）=.翰林汇18、 解 （1）=；（2）= 当时 当时 =.翰林汇19、 z=i翰林汇20、 -i翰林汇21、 w=1+i翰林汇22、 2cos3q翰林汇23、 2i翰林汇24、 ，由三角形式得辐角主值为翰林汇25、 （1）设z=r(cosisin) (r0，02)，代入已知条件不等式得，即 cos21，.即r4(12a)r2a20.解得.故（2）在式中取a=1，得cos2(r2)1.2k22k，即kk(k为整数).故当k=0、1
11、时，有或.翰林汇26、 由(z1)(1)=|z|2得zz1=|z|2.z=|z|2，z1=0，z=1，由是纯虚数得，2z=2，z=1.于是z，是方程x2x1=0的两根，解得，所以.当时，z的辐角主值为；当时，z的辐角主值为.翰林汇27、 |z1+z22|max=4+, |z1+z22|min=翰林汇28、 设，即.解得翰林汇29、 解：=,因0,故有(1)当时,得或,这时都有,得 ,适合题意.(2) 当时,得或,这时都有,得 ,不适合题意,舍去.综合(1),(2)知或.翰林汇30、 由，解得，.，.又，.，.翰林汇31、 解： 设,则, b0, a2+b2=5又的辐角主值为, a+3=b.把a
12、+3=b与a2+b2=5联立解之,得 或 , 或 ,此时或的辐角主值均为.满足条件的虚数z不存在.翰林汇32、 最大值是+1,最小值是1翰林汇33、 (1) (2)(3) (4)翰林汇34、 解：z1=abi=r(cosisin)=rcos()isin().z2=abi=r(cosisin)=rcos()isin().z3=abi=r(cosisin)=rcos(2)isin(2).翰林汇35、 解：设z=abi,在复平面上对应的点为Z.当a0,b0时,Z在第一象限：argz=arctg.当a0,b0时,Z在第二象限：argz=arctg.当a0,b0时,Z在第三象限：argz=arctg.当
13、a0,b0时,Z在第四象限：argz=2arctg.翰林汇36、 解：依题意有：解得k=0.翰林汇37、 (1)；(2)2.翰林汇38、 由题意可设z1=cosisin,z2=cosisin由已知(z1z20)=即coscosi(sinsin)=由复数相等,化积后两式相除得tg，tg()=.翰林汇39、 解(1)z1,z2为实系数方程的两个根z2=且|z2|=又=z2= |z1|2=|zi|=|z1| |z1|=1 z1= z2=或z1= z2= (2)由z1=1mi(m0), = z2得z2=(1m2)2mi w=(1m2)2mi tg= m0 m21tg0 又由(m21)0 2m0得所求的
14、取值范围为,).翰林汇40、 解：由复数乘法的几何意义得z1(cosisin)=z2(cosisin)又z2=1i =2(cosisin),z1=2cos(3)isin(3)=i,z1的辐角主值为.翰林汇41、 (1) 当 k = 1 , ( n Z ) 或 k 1 , = + ( n Z ) 时, z3+ 是纯虚数 ; (2) 当 k 0 时, 最大值 1 + k , 最小值| 1k | ; 当 k 0 时, 最大值 1 k , 最小值| 1 + k | . 翰林汇42、 最大值, 最小值 1. 取得最小值时, z1 = 7i , z2 = 2i 或z1 =2i , z2 = 7i . 翰林
15、汇43、 解： z=1i,因为, 所以, 解得 0a2又由,得tg=a1,因此1tg1所以的取值范围是.翰林汇44、 如图， ，512翰林汇45、 （1）（2）翰林汇46、 （1）；（2）翰林汇47、 解：如图， 翰林汇48、 翰林汇49、 (1)当时， 当时， 当时，(2) 或翰林汇50、 由已知z2=az1i（aR），Z1OZ2=90，且|z2|=a|z1|，设z1=xyi(x，yR)，z2=ai(xyi)=ayaxi，z1z2=(xyi)(ayaxi)=(xay)(yax)i,由已知|z1|z2|z1z2|=10，得S=|z1|z2|=|z1|az1|=a|z1|2=令aR，u0， ，两
16、边平方得，au1+a222a2a=1a2，化简得au2a=2(a1) ，两边平方得，a2u24a2u4a2=4a3u8a2u4au，aR，a0，整理得4ua2(u24u4)a4u=0 aR，0，且a0，=(u24u4)2(8u)2=(u24u4) (u212u4)0，u24u4=(u2)2，u0，u24u40.u212u40，u64，或u64.=25(32)式中等号，当u=64时成立，当u=64时，方程化为a22a1=0，即（a1）2=0，a=1与aR相符.当a=1时，Z1OZ2的面积取得最大值为25(32).（2）当S取得最大值时，a=1，由已知z2=az1i，z2=z1i，|z2|=|z1
17、|，z1z2=z1z1i=（1i）z1，|z1z2|=|1i|z2|=|z1|z1|z2|z1z2|=10，|z1|z2|z1|=10，|z1|=5（2）.即|z1|=5（2）.动点Z1的轨迹是以原点为圆心，5（2）为半径的圆.翰林汇51、 （1）zu=(1-cosisin)(a2ai)=a2(1-cos)-asina2sina(1-cos)i是纯虚数，.由（1）知a0，又02，1cos0.因此由（2），可得.由（1）、（2）知，tg(argu)=.0argu2，当0，即0时，复数u=(ctg)2ictg在复平面上对应的点在第四象限，于是得argu=.当0时，argu=；当2时，argu=.(2)=zu=1cosa2(asin)i，若为实数，则asin=0，即a=sin .已知zu是纯虚数，由（1）知，且sin0，因此有sin=，即cos=2，这是不可能的，故不可能是实数.翰林汇52、 2翰林汇53、 解 由于,2在复平面上的对应点组成正三角形,不妨设=2(cos120isin120)=1,=2(cos240isin240)=1,且.由根与系数关系,有=2p,p=1.其他情况无解.翰林汇
