1、第五章数列第一节数列的概念与简单表示法考情展望1.以数列的前n项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.一、数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an叫做数列的通项通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an
2、1an判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：若an1an0，则数列an为递增数列若an1an0，则数列an为常数列若an1an0，则数列an为递减数列(2)作商比较法：不妨设an0.若1，则数列an为递增数列若1，则数列an为常数列若1，则数列an为递减数列三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法四、an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an已知Sn求an的注意点利用anSnSn1求通项时，注意n2这一前提条件，易忽略验证n1致误，当n1时，a1若适合通项，则n1的情况应并入n2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示1已知数列an的
3、前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列an的通项公式的一项是()Aan1(1)n1 Ban2sin Can1cos n Dan【解析】根据数列的前3项验证【答案】B2在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31 C32 D33【解析】a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.【答案】B3已知数列an的通项公式为an，则这个数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列【解析】an0，1.an为递增数列【答案】A4数列an的前n项和Snn21，则an_.【解析】当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn1(n2
4、1)(n1)21n2(n1)22n1.an【答案】5(2011浙江高考)若数列中的最大项是第k项，则k_.【解析】由题意可知即化简得解得k1.又kN*，所以k4.【答案】46(2013课标全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.【解析】当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1为首项的等比数列，其公比为2，an1(2)n1，即an(2)n1.【答案】(2)n1考向一 083由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888
5、，；(3)，.【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形【尝试解答】(1)符号可通过(1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列变为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列化为，an(1)n.规律方法11.求数列的通项时，要抓住以下几个特征.,(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符
6、号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整.考向二 084由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列an中，a11，an1an2n；(2)在数列an中，an1an，a14；(3)在数列an中，a13，an12an1.【思路点拨】(1)求an1an，利用累加法求解(2)求，利用累乘法求解(3)利用(an11)2(an1)构造等比数列求解【尝试解答】(1)由an1an2n，把n1,2,3，n
7、1(n2)代入，得(n1)个式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.当n1时，a11也符合，所以an2n1(nN*)(2)由递推关系an1an，a14，有，于是有3，将这(n1)个式子累乘，得.所以当n2时，ana12n(n1)当n1时，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN*)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2为公比的等比数列所以bnb12n1(a11)2n12n1，所以anbn12n11(nN*)规律方法2递推式的类型递推式方法示例an1anf(n)叠加法a
8、11，an1an2nf(n)叠乘法a11，2nan1panq (p0,1，q0)化为等比数列a11，an12an1an1panqpn1 (p0,1，q0)化为等差数列a11，an13an3n1考向三 085由an与Sn的关系求通项an已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(b为常数)【思路点拨】先分n1和n2两类分别求an，再验证a1是否满足an(n2)【尝试解答】(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(
9、3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an规律方法3已知Sn求an时的三个注意点,(1)重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论；特别注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写” .(3)由SnSn1an推得an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an对点训练若Sn满足的条件变为如下形式，则又如何求an?(1)Snn2n1；(2)log2(2Sn)n1.【解】(1)当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)
10、12n；当n1时，a1S1321，故a13不满足an2n.an(2)log2(2Sn)n1，2Sn2n1，即Sn2n12，当n2时，anSnSn1(2n12)(2n2)2n，当n1时，a1S1222221，故a12满足an2n.an2n.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题1个示范例1个防错练(2014安阳模拟)已知数列an中，ann2kn(nN*)，且an单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，3)C(，2) D(，3【解析】ann2kn(nN*)，且an单调递增，an1an0对nN*都成立，此处在求解时，常犯“an是关于n的二次函数，若an单调递增，则必有1，k2”的错误.
11、,出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.又an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k，所以由2n1k0，即k2n1恒成立可知k(2n1)min3.【防范措施】1.明确函数单调性与数列单调性的关系,(1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调.(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在nN*上的特殊函数.2.数列单调性的判断,一般通过比较an1与an的大小来判断：,若an1an，则该数列为递增数列；若an1an，则该数列为递减数列.(2014济南模拟)已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_【解析】法一(定义法)因为an是递增数列，故对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，故(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函数法)设f(n)ann2n，其对称轴为n，要使数列an为递增数列，只需满足n即可，即3.【答案】(3，)
