1、第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的应用考情展望1.考查函数yAsin(x)的图象变换.2.考查函数yAsin(x)的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点，考查三角函数模型的应用一、yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0 三、由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移两种变换的差异先相位变换
2、再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的1已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6，BT6，CT6， DT6，【解析】由题意知f(0)2sin 1，sin ，又|，又T6，故选A.【答案】A2函数ysin在区间上的简图是下列选项中的()【解析】当x时，ysin0；当x时，ysin，从而排除B、C、D，选A.【答案】A3将函数ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图
3、象的函数解析式为()Aysin BysinCysin Dysin【解析】将ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为ysin x，再把所得图象上所有点向右平移个单位，得到的图象解析式为ysin sin.【答案】D图3414已知函数yAsin(x)(0，|)的部分图象如图341所示，则()A1，B1，C2，D2，【解析】由图象知A1，T4，2，排除A，B，再由2，得.【答案】D5(2012安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位【解析】ycos(2
4、x1)cos 2，只要将函数ycos 2x的图象向左平移个单位即可，故选C.【答案】C6(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图342所示，则，的值分别是()图342A2， B2，C4， D4，【解析】，T.又T(0)，2.由五点作图法可知当x时，x，即2，.故选A.【答案】A考向一 056作函数yAsin(x)的图象已知函数f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)将f(x)化为yAcos(x)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在0，上的图象【思路点拨】(1)运用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化为yAcos(x)的形式；(2)在表
5、中列出0，上的特殊点及两个区间端点，根据变化趋势画出图象【尝试解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表：2x2x0f(x)1001图象为：规律方法11.寻找0，上的特殊点时，可先求出2x的范围，在此范围内找出特殊点，再求出对应的x值.2.用“五点法”作图应注意四点：(1)将原函数化为yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的形式；(2)求出周期T；(3)求出振幅A；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点.对点训练已知函数f(x)sin.画出函数yf(x)在区
6、间0，上的图象【解】0x，2x.列表如下：2x2x0y1010画出图象如图所示考向二 057函数yAsin(x)的图象变换(1)(2012浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2013课标全国卷)函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则_.【思路点拨】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)先进行平移，得出的三角函数与所给的三角函数进行比较，求出的值. 【尝试解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1y
7、cos(x1)结合选项可知应选A.(2)ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos的图象，整理得ycos(2x)其图象与ysin(2x)的图象重合，2k，2k，即2k.又，.【答案】(1)A(2)规律方法2对yAsin(x)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为xa(a0)，变换后的函数解析式为yAsin(xa)；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为yAsin(x).对点训练(2014济南一中等四校联考)为了得到函数ysin 2x的图象，只需把函数ysin的图象()A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位 D向右平移个单位【解析】
8、ysinsin 2，故只需把该函数的图象向右平移个单位便可得到函数ysin 2x的图象【答案】D考向三 058求函数yAsin(x)的解析式(1)如图343是函数yAsin(x)2(A0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()图343AA3，T，BA1，T，CA1，T， DA1，T，(2)如图344是函数yAsin(x)(A0，0，|)的部分图象，则该函数的解析式为_图344【思路点拨】(1)利用求A，借助T求，利用点求.(2)借助图象特征求A及T，进而求出，利用点或(，0)，等条件确定的值【尝试解答】(1)由图象知，A1，T，由2k，得2k，kZ，令k0得，故选C.【答案】C(2)
9、由图知A5，由，得T3，此时y5sin.下面求初相.法一(单调性法)：点(，0)在递减的那段曲线上，(kZ)由sin0得2k(kZ)，2k(kZ)|，.该函数的解析式为y5sin.法二(最值点法)：将最高点坐标代入y5sin，得5sin5，2k(kZ)，2k(kZ)又|，.该函数的解析式为y5sin.法三(起始点法)：函数yAsin(x)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由x0解得的故只需找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得.由图象易得x0，x0.该函数的解析式为y5sin.法四(平移法)：由图象知，将y5sin的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数解析式为y5
10、sin.规律方法31.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.2.用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.对点训练(2013大纲全国卷)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图345，则()图345A5B4C3D2【解析】设函数的最小正周期为T，由函数图象可知x0，所以T.又因为T，可解得4.【答案】B考向四 059三角函数模型的简单应用图346如图34
11、6为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【思路点拨】【尝试解答】(1)以圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为.故点B的坐标为，h5.64.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1且用时最少得t
12、，t30，缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒规律方法41.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模2建模的方法是，认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程对点训练图347(2014郑州模拟)如图347所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】P0(，)，P0Ox.按逆时针转时间t
13、后，得POP0t，POxt.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2.当点P在P0处时，t0，d，排除A、D；当t时，点P在x轴上，此时d0，排除B.【答案】C规范解答之四三角函数的图象性质及平移变换1个示范例1个规范练(12分)(2012山东高考)已知向量m(sin x,1)，n(A0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域【规范解答】(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin.4分因为A0，由题意知A6.6分(2
14、)由(1)得f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；8分再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y6sin的图象.10分因此g(x)6sin.因为x，所以4x，故g(x)在上的值域为3,6.12分【名师寄语】(1)伸缩变换时，只是x的系数发生变化，横坐标缩短为原来的倍，则x变为2x，其他量不变.(2)求yAsin(x)的值域问题，应先根据x的范围，确定x的范围，再数形结合求值域.(2013安徽高考)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变化得到【解】(1)因为f(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin(x)，所以当x2k(kZ)，即x2k(kZ)时，f(x)取得最小值.此时x的取值集合为.(2)先将ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得ysin x的图象；再将ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得yf(x)的图象
