1、第13讲椭圆、双曲线、抛物线1.(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为() A.13B.12C.22D.2232.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为()A.3B.1C.34D.333.(2018广东惠州第二次调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514B.59C.49D.5134.(2018湖北八校联考)已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,
2、C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=05.(2018课标全国,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.46.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是()A.1,52B.52,+C.1,54D.54,+7.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且
3、垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.已知双曲线过点(4,3)且渐近线方程为y=12x,则该双曲线的标准方程是.9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为(1,1),则直线l的方程为.10.若椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.11.已知椭圆与抛物线y2=42x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若AP=2PB,求
4、AOB的面积.12.(2018课标全国,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.13.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=52|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若点M-1617,217在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.答案全解全析1.C由题意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,a=22,e=ca=22
5、2=22.故选C.2.A设M(x0,y0),由题意知x0+p2=2p,则x0=3p2,从而y02=3p2,则M3p2,3p或M3p2,-3p,又Fp2,0,所以kMF=3.3.D如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OMPF2,可得PF2x轴,则|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=2a-|PF2|=133,所以|PF2|PF1|=513,故选D.4.A因为ab0,所以椭圆C1的离心率为a2-b2a,双曲线C2的离心率为a2+b2a.因为C1与C2的离心率之积为32,所以a2-b2aa2+b2a=32,所以ba2=12,即ba=22,所以C2的渐近线方程为y=22x,即
6、x2y=0,故选A.5.B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=33x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN=90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=3,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.6.B依题意,双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,且“右”区域是由不等式组y-bax所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有112,因此双曲线的离心率e=1+ba252,+,选B.7.答案(1,0)解析由题意知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,2a)
7、(a0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4a=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).8.答案14x2-y2=1解析设双曲线方程为y2-14x2=,0,把点(4,3)代入,可得3-1416=,所以=-1,所以双曲线的标准方程是14x2-y2=1.9.答案2x-y-1=0解析依题意得抛物线的方程为y2=4x,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为线段MN的中点为(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,则x1x2,由题意知y12=4x1,y22=4x2,两式相减得y12-y22=4(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=2,故直线l的方程为y-1=2(x-1
8、),即2x-y-1=0.10.答案43解析由已知得a=1,b=c=22,所以椭圆C的方程为x2+y212=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=x02+2y02=3x02,解得x02=13,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4x02=43.11.解析(1)依题意,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意可得c=2,又e=ca=22,a=2.b2=a2-c2=2,椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由AP=2PB,得-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),设直线AB的方程为
9、y=kx+1,将其代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.结合x1=-2x2可得,4k2k2+12=12k2+1,解得k2=114.AOB的面积S=12|OP|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x22=1228k2+22k2+1=3148.12.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x
10、2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.13.解析(1)由|AB|=52|BF|,得a2+b2=52a,所以4a2+4b2=5a2,即4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e=ca
11、=32.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:x24b2+y2b2=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x124b2+y12b2=1,x224b2+y22b2=1,可得x12-x224b2+y12-y22b2=0,即(x1+x2)(x1-x2)4b2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即-3217(x1-x2)4+417(y1-y2)=0,从而kPQ=y1-y2x1-x2=2,所以直线l的方程为y-217=2x-1617,即2x-y+2=0.由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.=322+1617(b2-4)0b21717,x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.因为OPOQ,所以OPOQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,从而5(16-4b2)17-12817+4=0,解得b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
