1、九师联盟 3 月调研高三数学注意事项：1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4本卷命题范围：新高考范围.一、选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合22Axx，240Bx x
2、x，则 AB A(2,4)B(2,4C(0,2)D0,2)【答案】B【解析】因为集合(2,2)A ，0,4B，所以(2,4AB .故选 B.2复数2i112iz （i 为虚数单位），则 z A1B2C2 2D 2【答案】D【解析】复数2i(2i)(12i)5i1111i12i(12i)(12i)5z ，则2z.故选 D.3某市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位 4 名工作人员到路口执勤，协助交警劝导人们规范出行.现有含甲、乙在内的 4 名工作人员，按要求分配到 2 个不同的路口执勤，每个路口至少 1 人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有A3 种B9 种C6 种D12 种【答案】C【解析】法一
3、：把甲、乙两人看作一个整体，4 个人变成了 3 个元素，再把这 3 个元素分成 2 部分，每部分至少有 1 个人，然后分配到 2 个路口，共有212312C C A6种分配方案.法二：设另外令人为丙、丁，按照要求列举，分别有(),甲乙丙 丁，(),甲乙丁 丙，,()丁 甲乙丙，,()丙 甲乙丁，(),()甲乙丙丁，(),()丙丁甲乙，共 6 种情况.故选 C.42020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，长征五号遥五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约 2200 秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度v（单位：km/
4、s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为2ln 1Mvm，若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料为（参考数值为ln20.69；ln244.695.50，结果精确到0.01）A243.69 tB244.69 tC890.23 tD755.44 t【答案】D【解析】因为2ln 1Mvm，所以112ln 13100M，所以5.51e3100M，所以5.53100(e1)3100243.69755439(kg)755.44(t)M.故选 D.5我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦
5、图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 BC a，BA b，3BEEF，则 BF A 3455a+bB 4355a+bC16122525a+bD1292525ab【答案】C【解析】法一：过 F 作 FGBC于G，不妨设3,1BEEF，则4,3BFFCBE，所以5BC，165BG，125FG，所以1625BGBC，1225GFBA，所以1625BFBGGFBC121612252525BAab.故选 C.法二：3333()4444BFBCCFBCEABCEBBABCBFBA，即3344BFBCBFBA.解得16122525BFBCBA.即1
6、6122525BF ab.故选 C.6下表是关于某设备的使用年限 x（单位：年）和所支出的维修费用 y（单位：万元）的统计表：x23456y3.44.25.15.56.8由上表可得线性回归方程 0.81yxa，若规定：维修费用 y 不超过 10 万元，一旦大于 10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为A10B9C8D7【答案】A【解析】由已知表格，得1(23456)45x，1(3.44.25.15.56.8)55y，因为回归直线恒过样本点的中心(,)x y，所以50.81 4a，解得1.76a，所以回归直线的方程为 0.811.76yx.由10y，得 0.811.7
7、610 x，解得82410.1781x，由于*xN，所以据此模型预报，该设备使用年限的最大值为 10.故选 A.7下列命题正确的是A若0:0px，001xx，则:0px，1xx B若2:0,pxxx，则2000:0,pxxxC0000,sinxxxD“1a ”是“直线10axy 与直线10 xay 平行”的充要条件【答案】D【解析】由含有量词的命题的否定知，A，B 均错误；因为()sin(0)f xxx x，()1cos0fxx，所以()f x 在(0,)上单调递增，所以对0,()(0)0 xf xf，所以对0,sinxxx，则 C 错误；由1 10aa ，且11(1)a ，解得1a .则 D
8、正确.故选 D.8已知()f x 是R 上的偶函数，当0,)x 时，2()1f xxx ，若实数t 满足(lg)1ft ，则t 的取值范围是A10,(1,10)10B1,1(1,10)10C(1,0)(0,1)D10,(1,)10【答案】B【解析】由题意知，当0,)x 时，2()1f xxx ，则(1)(0)1ff，又()f x 是R上的偶函数，(1)(1)1ff，当()1f x 时，则 11x 且0 x，所以由(lg)1ft ，得 1lg1t 且lg0t，所以 11010t 且1t ，则t 的取值范围是1,1(1,10)10.故选B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
9、.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9若非零实数,a b满足ab，则下列结论正确的是A222ababB2ababC222()ababD11()4abab【答案】AC【解析】对于 A，显然成立，则 A 正确；对于 B，若,a b均为负数，则不等式显然不成立，则B 错误；对于 C，在222abab两边同时加上22ab，得2222()()abab，则222()abab成立，则C正确；取2,1ab，则1111()(21)21abab142，所以11()4abab不成立，则 D 错误.故选 AC.10已知双曲线222:1(0)xCy
10、aa 的右焦点为 F，左、右顶点分别为,A B，一条渐近线为l，则下列结论正确的是A当1a 时，C 的离心率为 2B当1a 时，直线1yx 与C 仅有一个公共点C F 到l 的距离为 1D若 F 在l 上的射影为M，则经过,M A B 三点的圆的方程为221xy【答案】ABC【解析】当1a 时，双曲线C 为221xy，所以1,2abc，所以2e，则 A 正确；当1a 时，其渐近线为 yx，直线1yx 与渐近线 yx平行，且过顶点(1,0)与双曲线 C 仅有一个公共点，则 B 正确；因为2(1,0)Fa 到渐近线0 xay的距离为221011aaa，则 C 正确；设O 为坐标原点，21ca，得1
11、bFM，结合OFc，得 OMa，则 OMOAOB，从而90AMB，所以经过,M A B 点的圆的方程为222xya（只有当1a 时，方程才是221xy），则 D 错误.故选 ABC.11如图，函数()2sin()0,2f xx的图象经过点,012和 5,012，则A1 B6 C若665f，则223sincos5D函数()f x 的图象关于直线23x对称【答案】BD【解析】5212122T，所以T，所以2，则 A 错误；()2sin(2)f xx，由()f x 的图象过点,012，且在12x 附近单调递增，所以2()6kk Z，结合2，可得6，则 B 正确；由2sin22cos262f65，得3
12、cos25，所以223sincoscos25 ，则 C 错误；()2sin 26f xx，当23x时，()2f x ，所以函数()f x 的图象关于直线23x对称，则 D 正确.故选 BD.12如图，在棱长为 6 的正方体1111ABCDA B C D中，E为棱1DD 上一点，且2DE，F为棱11C D 的中点，点G 是线段1BC 上的动点，则A四面体 ABEF的体积为 24B直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 2 1015C无论点G 在线段1BC 上如何移动，都有11AGB DD直线1AG 与平面1BDC 所成最大角的余弦值为 13【答案】ACD【解析】11114662432A BEFF
13、ABEDABEB AD EVVVV 三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，则 A正确；在棱1CC 上取点 N，使2CN，连结,BN NE FN（如图），则 易 知FBN为 直 线 AE 与 BF 所 成 角 或 其 补 角，可 得2 10BN，5FN，9FB，则222(2 10)95cos2 92 10FBN 84 10153 10，则 直 线AE 与 BF 所成角的余弦值为 4 1015，则 B 错误；在正方体1111ABCDA B C D中，易证1DB 面11A BC，又1AG 平面11A BC，所以11AGB D，则 C 正确；由题意知三棱锥11ABDC为棱长为6 2 的正四面体，作1AO 平面1B
14、DC，O 为垂足，则O 为正1BDC的中心，且1AGO为 直 线1AG 与 平 面1BDC所 成 角，所 以211211cos1OGAOAGOAGAG，当点G 移动到1BC 的中点时，1AG 最短，如图，此时1cosAGO最小，1AGO最大，此时1161cos33 6OGAGOAG，则 D 正确.故选 ACD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若抛物线22(0)ypx p上的点0(,3)A x 到其焦点的距离是 A到 y 轴距离的 2 倍，则 p等于_.【答案】3【解析】由题意，得0022pxx，解得02px，即,32pA，代入22(0)ypx p，得2(3)22
15、pp，结合0p，解得3p.14“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音（八度）分成 12 个半音音程的律制，是在 16 世纪由明朝皇族世子朱载堉（15361611 年）发现的.具体是指一个八度有 13个音，每相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的频率的 2 倍，设第三个音的频率为3f，第七个音的频率为7f，则73ff _.【答案】3 2【解析】由题意知 13 个音的频率nf 成等比数列，设公比为 q，则121312fqf，所以14373322fqf.15已知球O 的半径为 43，点,A B C D均在球面上，若ABC为等边三角形，且其面积为3，则三棱锥 DA
16、BC的最大体积是_.【答案】2 33【解析】设ABC外 接圆 的圆 心为1O，由ABC是面积为3 的等边三角形，得21sin602 AB3，解得2AB，112 32sin603ABO B.当三棱锥 DABC体积最大时，球心在1DO 上，因此有221123OOOBO B，所以1DO 的最大值为 2，三棱锥DABC的最大体积为1112 332333ABCVSDO.16已知函数ln,1,()1(5),1,3x xf xxx 若21xx且12()()f xf x，则12xx的最大值是_.【答案】3ln38【解析】因为ln,1,()1(5),1,3x xf xxx 令ln2x，解得2ex；令ln0 x，
17、解得1x.结合函数图象可知，若要满足12()()f xf x，且21xx，则221,e)x，且121(5)ln3 xx，解得123ln5xx，则12223ln5xxxx，221,e)x，令2()3ln5,1,e)g xxxx，则3()1g xx3xx，令()0g x，解得3x，故()g x 在区间(1,3)上单调递增，在区间2(3,e)上单调递减，则()g x 在3x 时取最大值(3)3ln38g，即12xx的最大值为3ln38.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）在5325SS，5243b，143a ab这三个条件中任选一个，补
18、充在下列问题中，并作答.设nS 为等差数列 na的前n 项和，nb是正项等比数列，113ab，42ab，且_.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）如果*(,)mnab m nN，写出,m n 之间的关系式()mf n，并求数列()f n的前n 项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为(0)q q.若选择：5325SS，由5325SS，得543 23 52 3 3522dd ，解得2d，所以*21()nann N，所以249ba，又13b，所以3q，所以*3()nnbn N.若选择条件：5243b，45243
19、3bq，则481q，因为0q，所以3q，则*3()nnbn N，所以42933abd，解得2d，又13a，所以*21()nann N.若选条件：143a ab又13a，所以433ab，又4223,3abbb，则3q，则*3()nnbn N，4219,3aba，得2d，则*21()nann N.（2）由mnab，得213nm ，即1(31)2nm，所以31()2nf n，121(1)(2)()(31)(31)(31)2nnTfff n1211 3(13)(333)2213nnnn11 3(13)323224nnnn.18（12 分）在ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，AD 为A
20、BC的中线，2 5c，2 5cos5B，22222()(1tan)bbcaA.（1）求角C 的大小；（2）求 AD 的长.【解析】（1）在ABC中，由余弦定理，得2222cosbcabcA，所以2cossin22coscosAAbbcAA，所以(cossin)bcAA，由正弦定理，得sinsin(cossin)BCAA，所以sin()sin(cossin)ACCAA，即sincoscossinsincossinsinACACCACA，所以sincossinsinACCA.因为sin0A，所以cossinCC，所以 tan1C ，又0C，所以34C.（2）因为2 5cos5B，(0,)B，所以5
21、sin5B.因为10sinsin()sincossincos10ABCBCCB，因为 sinsincaCA，所以102 5sin102sin22cAaC，所以1BD ，在ABD中，2222cosADABBDAB BDB，即22 520122 5 1135AD ，所以13AD.19（12 分）2020 年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取 500 名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这 500 名考生的本次数学竞赛的平均成绩 x（精确到整数）；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩 X 服从正态分布2(,)N ，其中 近似等于样本的平均
22、数 x，近似等于样本的标准差s，并已求得18s.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取 10 名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140之外的人数为Y，求(2)P Y 的值（精确到0.001）.附：（1）当2(,)XN 时，()0.6827PX，(22)PX0.9545；（2）820.81860.18140.0066.【解析】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.021150.018x 125 0.012135 0.008145 0.0012)10 10.416104.16104（分）.（2）由题意知2(,)XN ，且104,18，所以8
23、6104 18，140104 18 22，所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862PXPX，所以(2)1 0.81860.1814P XX 或，所以(10,0.1814)YB，所以22810(2)C0.18140.818645 0.006630.298P Y.20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 2 23，左、右焦点分别为12,F F，短轴的上端点为P，且127PF PF .（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(1,0)Q且不与 y 轴垂直的直线与椭圆C 交于,M N 两点，是否存在点(,0)T t，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若
24、存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）(0,)Pb，设1(,0)Fc，2(,0)F c，则1(,)PFcb，2(,)PFcb，由127PF PF ，得227bc ，结合222abc，得2227ac ；由2 23cea，得2289ac，代入2227ac ，解得229,8ac，所以21b ，故椭圆C 的方程为2219xy.（2）由已知直线l 过点(1,0)Q，设l 的方程为1xmy，则联立方程组221,1,9xmyxy消去 x 得22(9)280mymy，所以22432(9)0mm；设1122(,),(,)M x yN xy，则1221222,98.9myymy ym 又直线TM
25、 与TN 斜率分别为11111TMyykxtmyk，22221TNyykxtmyt，则12222128(1)(1)(9)9(1)TMTNy ykkmyt myttmt .要使TMTNkk为定值，则有290t，则3t ，当3t 时，mR，2829(1)9TMTNkkt；当3t 时，mR，2819(1)18TMTNkkt.所以存在点(3,0)T，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值.21（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，ABCD，ABAD，12CDPDADAB.（1）求证：平面 PBC 平面 PAB；（2）若2APDC，求二面角 DPCB正弦值.【解析】（1
26、）证明：作 PB 的中点 E，AP的中点 F，连接,DF EF EC，因为点E 是 PB 的中点，点 F 是 PA中点，所以 EFAB，且2ABEF.又因为 ABCD，且2ABCD，所以 EFCD，且 EFCD，所以四边形 EFDC 为平行四边形，所以CEDF.因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCDAD，ABAD，AB 平面 ABCD，所以 AB 平面 PAD，又 DF 平面 PAD，所以 ABDF.因为 PDAD，点 F 为 PA的中点，所以 DFAP.因为CEDF，所以,CEAB CEAP.又 APABA，,AP AB 平面 PAB，所以CE 平面 PAB.又因为C
27、E 平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PAB.（2）作,AD BC 的中点分别为,O G，连结,OP OG，则OGAB，因为 AB 平面 PAD，,PO AD 平面 PAD，所以 ABPO，ABAD，所以,OGAD OGPO.因为2APDC，2CDPDAD，所以APD为正三角形，所以,3,4POAD DFPOAB，所以,POOG POAD OGAD，即,OA OG OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以,OA OG OP 的方向为,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）.则(0,0,3)P，(1,2,0)C，(1,0,0)D，(1,4,0)B，所以(1,0,3)P
28、D ，(1,2,3)PC ，(2,2,0)BC .设平面 PDC 的法向量(,)x y zn，则0,0,PDPC nn即30,230,xzxyz 解得3,0,xzy 取1z ，则(3,0,1)n；设平面 PBC 的法向量(,)x y z m，则0,0,PCBCmm所以230,220,xyzxy解得,3,yxzx 取1x ，则(1,1,3)m，所以2 315cos,52 5m nm nm n，所以310sin,155m n.所以二面角 DPCB的正弦值为 105.22（12 分）已知函数()1ln()f xxaxx a R，()()1f xg xx.（1）当12a 时，求()f x 的最小值；（
29、2）当01a 时，()g xm恒成立，求整数m 的最小值.【解析】（1）当12a 时，()f x 的定义域为(0,)，1()(ln1)2fxx，由()0fx，得0ex；由()0fx，得ex，所以()f x 在(0,e)上单调递减，在(e,)上单调递增，所以()f x 的最小值为e(e)12f.（2）当1x 时，因为01a，()1ln0f xaxa ，所以()f x 在1,)上单调递减，所以max()(1)0f xf，则()0f x，又10 x ，所以()0g x（当1x 时等号成立），所以0m.当01x 时，ln0 x，又当01a 时axx，所以lnlnaxxxx，所以lnlnaxxxx，所以
30、1ln1lnxaxxxxx，即()1lnf xxxx.因为10 x ，所以1ln()1xxxg xx，令1ln()(0,1)1xxxh xxx，所以问题转化为()h xm在(0,1)上恒成立，因为23ln()(1)xxh xx ，令()3ln,(0,1)xxx x ，则1()10 xx ，所以()x在(0,1)上单调递减，又因为4433111110,0eeee ，所以存在以为一个实数04311,eex，使得000()3ln0 xxx，所以00ln3xx，所以当00 xx时，()0 x，则()0h x，当01xx 时，()0 x，则()0h x，所以()h x 在0(0,)x上单调递增，在0(,1)x上单调递减；所以200000000max000001ln1(3)21()()1111xxxxx xxxh xh xxxxx，因为04311,eex，所以0431111,1eex，所以max4311()1,1eeh x，即max31()1eh x，所以311em ，综上所述，311em ，又mZ，所以2m，所以m 的最小整数值为 2.
