1、高考资源网（） 您身边的高考专家32.2复数的乘法和除法1.了解共轭复数的性质2.理解复数乘除法的运算定律3.掌握复数乘除法的运算及共轭复数的性质1复数的乘法(1)定义：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i(2)运算律对任意z1，z2，z3C有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数的乘方对复数z，z1，z2和自然数m，n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.2共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数(3
2、)z|z|2|2R.3复数的除法设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR，z20)，则1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数的积与商一定是虚数()(2)两个共轭复数的和与积是实数()(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称()(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()答案：(1)(2)(3)(4)2(1i)(2i)()A1iB13iC3i D33i解析：选B依题意得(1i)(2i)2i23i13i，选B3.()A12i B12i C12i D12i答案：B4若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x_，y_答案：1，1复数代数形式的乘除运算(1)(1i)；(2)；
3、(3).【解】(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)i.(3)1i.复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似1.下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)解析：选Ci(1i)2i2i2，不是纯虚数，排除A；i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数，排除B；(1i)22i，2i是纯虚数故选C2若复数
4、z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 BC4 D解析：选D因为(34i)z|43i|，所以zi，所以z的虚部为.3计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).解：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.共轭复数性质的应用设z1、z2C，Az12z21，Bz11z22，问A与B是否可以比较大小？为什么？【解】设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则1abi，2cdi，所以Az12z21(abi)(cdi)(cdi)(abi)acadibcibdi2ac
5、bciadibdi22ac2bdR，Bz11z22|z1|2|z2|2a2b2c2d2R，所以A与B可以比较大小共轭复数性质的巧用(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数 1.若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1iB1iC1i D1i解析：选A由题意i(1i)1i，所以z1i，故选A2已知zC，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2
6、b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.i的运算性质(1)等于_(2)化简i2i23i3100i100.【解】(1)i2 017(i4)504i1504ii.故填i.(2)设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i. 1.复数z，则
7、z2z4z6z8z10的值为()A1B1Ci Di解析：选Bz21，所以111111.2计算：(1)；(2)ii2i2 017.解：(1)原式i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)法一：原式i.法二：因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.1复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同，即所得结果中必须把i2换成1，结合到实际运算过程中去，把实部，虚部分别合并，而不必去记公
8、式2复数的除法可以通过将分母实数化得到，即，公式也没必要去死记3复数的乘除法运算中，常考查in的周期性，往往把它与数列相结合要熟记in的周期性，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，nN.实数a的共轭复数仍是a本身，即zC，zzR，这是判断一个数是否是实数的一个准则，也是题目中的隐含条件，切记不要忽视1若z，则复数()A2iB2iC2i D2i解析：选Dz22i，2i.2复数z13i，z21i，则复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选A12i，位于第一象限3若复数z12i(i为虚数单位)，则zz_解析：因为z12i，所以z|z|25.所以zz
9、62i.答案：62i4设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_解析：法一：因为i(z1)32i，所以z1(3i2)113i，故z的实部是1.法二：令zabi(a，bR)，由i(z1)32i得i(a1)bi32i，b(a1)i32i，所以b3，a1，故z的实部是1.答案：1A基础达标1若复数z2i，其中i是虚数单位，则复数z的模为()ABC D2解析：选B由题意，得z2i2i1i，复数z的模|z|.2复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Czi(2i)2ii212i，故复平面内表示复数zi(2i)的点位于第三象限，故选C3
10、若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BFCG DH解析：选D依题意得z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)4设复数z满足i，则|z|()A1 BC D2解析：选A由i，得zi，所以|z|i|1，故选A5若z6，z10，则z()A13i B3iC3i D3i解析：选B设zabi(a，bR)，则abi，所以解得a3，b1，则z3i.6i是虚数单位，_(用abi的形式表示，其中a，bR)解析：12i.答案：12i7.(aR)是纯虚数，则a_解析：，由题意得所以a6.答案：68已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_解析：根据已知可得bi2aibi即从
11、而ab1.答案：19计算：(1)(2i)(3i)；(2).解：(1)(2i)(3i)(7i)i.(2)22i.10定义运算adbc，则满足0的复数z所对应的点在第几象限？解：结合adbc可知z(1i)(1i)(12i)0，所以z2i.所以复数z所对应的点在第四象限B能力提升11已知复数z1i，则()A2i B2iC2 D2解析：选B法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，从而2i.12设z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_解析：设bi(bR且b0)，所以z1biz2，即a2ibi(34i)4b3bi.所以所以a.答案：13已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求
12、复数z的共轭复数；(2)若zai，且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围解：(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)2(4a)i，复数对应向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，208aa220，a28a0，a(a8)0，所以，实数a的取值范围是8a0.14(选做题)设z是虚数，z是实数，且12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设，求证：为纯虚数解：因为z是虚数，所以可设zxyi(x，yR，且y0)，则z(xyi)xyii.(1)因为是实数，且y0，所以y0，即x2y21.所以|z|1，此时2x.又12，所以12x2.所以x1，即z的实部的取值范围是.(2)证明：.又x2y21，所以i.因为y0，所以为纯虚数高考资源网版权所有，侵权必究！
