1、第14讲导数的综合应用_利用导数研究恒成立问题_(2015保定市高三调研)已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a或a1.又a0，所以a(舍去)经检验当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递增极大值单调递减
2、所以f(x)maxfln1.综上可得实数a的取值范围是(1，)规律方法利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立的问题1.(2015洛阳市统考)已知函数f(x)exax2e2x.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)若x0时，总
3、有f(x)e2x，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)ex2axe2，得yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率k4a0，则a0.此时f(x)exe2x，f(x)exe2.由f(x)0，得x2.当x(，2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增(2)由f(x)e2x，得a.设g(x)，x0，则g(x).当0x0，g(x)在(0，2)上单调递增；当x2时，g(x)1时，在(1)的条件下，x2axaxln x成立解f(x)ln xxa1(x0)(1)原题即为存在x使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.当0x1时，g(x)1时，g
4、(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0.ag(1)0.a的取值范围为0，)(2)证明：原不等式可化为x2axxln xa0(x1，a0)令G(x)x2axxln xa，则G(1)0.由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立规律方法构造函数证明不等式的方法：(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)f(b)的形式(2)对形如f(x)g(x)的不等式，构造函数F(x)f(x)g(x)(3)对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等
5、式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)2.(2015兰州市、张掖市高三联考)已知函数f(x)ln x，g(x)ax2bx1.(1)当a0且b1时，证明：对x0，f(x)g(x)；(2)若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围解：(1)证明：当a0且b1时，设h(x)f(x)g(x)ln x(x1)ln xx1，x0，h(x)1.解h(x)0，得x1.当0x0，h(x)单调递增；当x1时，h(x)10，h(x)h(1)ln 1110，ln xx1，即f(x)g(x)(2)若b2，h(x)f(x)g(x)ln xax22x1，所以h(x)a
6、x2.因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h(x)0在(0，)上有解，所以a在(0，)上有解，即x(0，)，使得a.令t，x0，则t0，研究yt22t，t0，当t1时，ymin1，所以a1._利用导数研究方程的根(或函数的零点)已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax(x0)当a0时，由ax210，得x .由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故
7、当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()(x)min(e)，如图当f(x)g(x)在，e上有两个不等解时有(x)min.故a的取值范围为a0，得x2，由f(x)0，得0x0；h(x)2ln x，x0，则f(x)m(x)h(x)，当a2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，若f(x)在上无零点，则mh，即(2a)2ln ，a24ln 2，24ln 2a2.当a2时，在上m(x)0，h(x)0，f(x)在上无零点由得a24ln 2，amin24ln 2.
8、1从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析：选C.设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x0，解得x，即f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，b(1，4)，(，2)符合题意，故选D.3(2015上海闸北调研)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)解析：选A.当x1时
9、，f(x)1时，f(x)0，此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)，故选A.4(2013高考课标全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0解析：选C.A项，因为函数f(x)的值域为R，所以一定存在x0R，使f(x0)0.A正确；B项，假设函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为(m，n)，按向量a(m
10、，n)将函数的图象平移，则所得函数yf(xm)n是奇函数所以f(xm)f(xm)2n0，化简得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式对xR恒成立，故3ma0，得m，nm3am2bmcf()，所以函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为(，f()，故yf(x)的图象是中心对称图形B正确；C项，由于f(x)3x22axb是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x10，得x2，由f(x)0，得1x0时，即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，f(x)在(0
11、，1)上是增函数；当x(1，)时，f(x)0，b1恒成立令g(x)1，可得g(x)，g(x)在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，实数b的取值范围是(，08(2015唐山市高三年级第一次模拟)已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1，且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1，0)时，0x1，ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0上单调递减当1xh(0)0，即
12、g(x)1.综上，总有g(x)1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.2(2015哈师大附中三校高三联合模拟)已知函数f(x)(
13、e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)，存在实数x1，x20，1，使得2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围解：(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0，当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)假设存在x1，x20，1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex，(x).当t1时，(x)0，(x)在0，1上单调递减，2(1)31.当t0时，(x)0，(x)在0，1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0.当0t1时，若x0，t)，(x)0，(x)在(t，1
14、上单调递增，所以2(t)max(0)，(1)，即20)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点(3)对任意的ba0，1恒成立，等价于f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x0)恒成立，m，m的取值范围是.
