1、6平面向量数量积的坐标表示Q数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度、长度(距离)等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢？X1平面向量数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则(1)ab_x1x2y1y2_；(2)|a|_；(3)若ab，则_x1x2y1y20_；(4)cos _.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量知识点拨1.公式ab|a|b|co
2、s 与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式ab|a|b|cos 求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式abx1x2y1y2求解2已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab与ab的坐标表示如下：abx1y2x2y1，即x1y2x2y10；abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反Y1已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，且ab，则x等于(B)A3B1C1D3解析ab，ab0，即3x1(3)0.解
3、得x1.故选B2(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|(A)AB2C5D50解析ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.故选A3已知a(3，1)，b(1，2)，则向a与b的夹角为(B)ABCD解析设a，b的夹角为，则cos ，0180，.4已知a(2,3)，b(1,4)，c(5,6)，那么(ab)c_(50,60)_，a(bc)_(38,57)_.解析ab(2,3)(1,4)21210，(ab)c10(5,6)(50,60)bc(1,4)(5,6)52419，a(bc)(2,3)19(38,57)H命题方向1数量积的坐标表示典例1已知a(2，1)，b(3，2)，
4、求(3ab)(a2b)解析解法一：因为ab23(1)(2)8，a222(1)25，b232(2)213，所以(3ab)(a2b)3a27ab2b2357821315.解法二：a(2，1)，b(3，2)，3ab(6，3)(3，2)(3，1)，a2b(2，1)(6，4)(4,3)(3ab)(a2b)3(4)(1)315.规律总结进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算跟踪练习1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a(C)A1B0C1D2解
5、析a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.命题方向2利用数量积的坐标表示求模与夹角典例2如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(16,12)，B(5,15)求：(1)|，|；(2)OAB.思路分析(1)设a(x，y)，则|a|，即向量的模等于它的坐标平方和的算术平方根若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，所以|.所以|的实质是A，B两点间的距离，即线段AB的长度，这是向量模的几何意义(2)求角的问题，可转化为利用向量的夹角运算公式求解解析(1)由(16,12)，(516,1512)(21,3)得|20，|15.(2)设与所成角为，则cos OA
6、Bcos .其中(16,12)(21,3)16(21)123300.故cos OAB，所以OAB45.规律总结求向量a与b的夹角的步骤：计算ab，|a|，|b|；利用夹角公式计算cos ；根据范围0，确定夹角的大小跟踪练习2设a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，求实数t的值解析atb(4，3)t(2,1)(42t，t3)(atb)b(42t，t3)(2,1)5t5.|atb|.由(atb)b|atb|b|cos 45，得5t5，即t22t30.t3或t1，经检验t3不合题意，舍去，t1.命题方向3直线的方向向量及应用典例3已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数，
7、当这两条直线的夹角为时，试求实数a的值思路分析给出直线，由直线的方向向量与直线平行，两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题解析由题意，设直线l1的方向向量为m(1,1)，直线l2的方向向量为n(1，a)设两直线的夹角为，则cos ，由于两直线的夹角为，故|，解得a0.规律总结通过直线的方向向量研究直线的夹角，但直线的夹角与其方向向量的夹角并不一定是相同的这是由于向量的夹角范围是0，而直线的夹角范围是0，在本题的求解中，不要将|中的绝对值符号漏掉，否则容易引起结果错误跟踪练习3已知直线l1：7xy10和直线l2：3x4y60，求直线l1和l2的夹角解析任取直线l1和l2的方向向量m(1，7)和
8、n设向量m与n的夹角为，mn|m|n|cos ，从而cos .45，即直线l1和l2的夹角为45.X利用垂直条件求参数典例4在ABC中，设(2,3)，(1，k)，且ABC是直角三角形，求k的值思路分析ABC是直角三角形，故可以用abab0，但题中未明确哪个角是直角，故要分类讨论解析若A90，则，于是213k0，得k；若B90，则.又(1，k3)，故2(1)3(k3)0，得k；若C90，则，故1(1)k(k3)0，得k.故所求k的值为或或.规律总结充分利用公式：abab0x1x2y1y20，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用跟
9、踪练习4已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，4)、(6，3)、(5m，3m)，若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值解析由已知，得(3,1)，(2m,1m)ABC为直角三角形，且A为直角，.3(2m)(1m)0，解得m.Y典例5已知向量a(1，2)，b(1，)，若a与b的夹角是锐角，求的取值范围错解因为a，b的夹角是锐角，故cos 0，即0，即ab0，又a(1，2)，b(1，)，则120，所以的取值范围是0，即cos 0时，090.事实上当2时，a(1，2)，b(1，2)，它们间的夹角是0，不是锐角，故2.正解因为a，b的夹角是锐角，所以0cos 0且amb(m0)，则120且(1，
10、2)m(1，)，即且2，所以 的取值范围是0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为钝角cos 0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为直角cos 0ab0.跟踪练习5设a(2，x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围解析由cos 0得x，因为ab时有4x100，即x，当x时，a(2，)b，所以a与b反向，故x且x.K1已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则等于(B)A1B0C1D2解析(2,3)(1,2)(1,1)，(2,5)(1,2)(3,3)，1(3)130.2已知a(1，n)，b(1，n)若2ab与b垂直，则|a|(C)A1BC2D4解析由2ab与b垂直，得(2ab)b0，即2abb20.故2(1n2)(1n2)0，解得n23.所以，|a|2.3(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则(C)A3B2C2D3解析(3，t)(2,3)(1，t3)，|1，1，t3，(1,0)，21302.故选C4若a(3，1)，b(x，2)，且a，b，则x_1_.解析cos ，解得x1或x4(舍)
