1、第5课时椭圆1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用3理解数形结合的思想对应学生用书P137【梳理自测】一、椭圆的概念已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为()A2B3C5 D7答案：D此题主要考查了以下内容：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若2a2c，则集合P为椭圆；(2)若2a2c，则集合P为线段；(3)若2a2c，则集合P为空集
2、二、椭圆的标准方程和几何性质1(教材改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1或1 D以上都不对2(教材改编)椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D123(教材改编)已知椭圆1的离心率e，则m的值为_4(教材改编)设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两焦点，则PF1F2的周长为_答案：1.C2.C3.3或4.16以上题目主要考查了以下内容：标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，
3、a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2【指点迷津】1一个统一椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系是统一的，给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.2两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程对应学生用书P138考向一椭圆的定义(2014徐州模
4、拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_【审题视点】从题目中关注PF1F2面积的表示以及椭圆的两焦点与椭圆上的点组成的三角形的性质，结合定义求解【典例精讲】设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，SPF1F2r1r2b29，b3.【答案】3【类题通法】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等1已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平
5、分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆考向二求椭圆的标准方程(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_；(2)(2014西安模拟)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_【审题视点】(1)建立a、c的方程，再求b.(2)可确定焦点，利用定义或者利用其焦点的椭圆方程求解【典例精讲】(1)由题意可知，b2a2c21239.椭圆方程为1或1.(2)1的焦点为
6、(0，4)，即为所求椭圆焦点(方法一)2a2，a，b220164，椭圆为1.(方法二)设所求椭圆为1过定点(，)，1，m5，椭圆为1.【答案】(1)1或1(2)1【类题通法】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式2(2014惠州调研)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.依题意设椭圆G
7、的方程为1(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，a6.椭圆的离心率为，解得b29，椭圆G的方程为1.故选C.考向三椭圆的几何性质及应用(1)(2013高考辽宁卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e_(2)已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点的坐标为(3，0)，|1，且0，则|的最小值为_【审题视点】(1)利用焦点三角形的边角关系求BF和AB.(2)由|1求点M的轨迹，根据切线长的计算，研究椭圆上的点到焦点的最小距离【典例精讲】设椭圆的右焦点为F1，因为
8、直线过原点，所以|AF|BF1|6，|BO|AO|.在ABF中，设|BF|x，由余弦定理得36100x2210x，解得x8，即|BF|8，所以BFA90，所以ABF是直角三角形，所以2a6814，即a7.又因为在RtABF中，|BO|AO|，所以|OF|AB|5，即c5.所以e.(2)由|1，A(3，0)知点M在以A(3，0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，PM为A的切线，连结PA(如图)，则| ，当|minac532时，|min.【答案】(1)(2)【类题通法】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆1(ab0)有axa，byb，0e1等，在求与椭圆有关的
9、一些量的范围，或者求这些量的最大值与最小值(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(3)求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率3(2014长春模拟)在以O为中心，F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足|2|2|，则该椭圆的离心率为()A.B.C. D.解析：选C.不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐
10、标为.设|2|2|2t(t0)，根据勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，则e，故选C.对应学生用书P139直线与椭圆位置关系的规范答题(2013高考安徽卷)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q .证明：当a变化时，点P在某定直线上【审题视点】利用焦距直接求字母a的值设出P点坐标，并求其横、纵坐标的关系式，利用点的坐标满足直线方程【思维流程】利用c2a2b2关系求解方程中的a，写出方程设点P(x0，y0)，求kF1P、kF2P.求Q点坐标和k
11、F1Q.利用F1PF1Q，求x0与y0的关系求P点坐标，并验证直线【规范答题】(1)因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.4分(2)证明：设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，5分直线F2P的斜率kF2P.6分故直线F2P的方程为y(xc).7分当x0时，y，即点Q坐标为.8分因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.9分由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)10分将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上.12
12、分【规范建议】(1)已知椭圆方程形式，首先确定长轴及短轴，才可利用c2a2b2的关系式(2)此题分清F1、F2的左右焦点，当直线F2P与y轴相交时，才隐含着x0c(否则，F2P与y轴平行)，kF2P才有意义(3)求出x0a2，y01a2后，即求出了P点满足的参数方程，消去a2，即为P点的直线方程1(2013高考全国新课标卷)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：选D.根据椭圆的定义以及三角知识求解如图，由题意知sin 30，|PF1|2|PF2|.又|PF1|PF2|2a，|PF2|.tan
13、30.故选D.2(2013高考辽宁卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.解析：选B.利用余弦定理确定AF，进而判定ABF的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10282210836，则|AF|6.由|AB|2|AF|2|BF|2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c|OF|5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，
14、所以|BF|AF1|8.由椭圆的性质可知|AF|AF1|142aa7，则e.3(2013高考全国大纲卷)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：选C.设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数由题意知椭圆焦点在x轴上，且c1，可设C的方程为1(a1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆C的方程为1.4(2013高考全国大纲卷)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点
15、P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B.利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值由题意可得A1(2，0)，A2(2，0)，当PA2的斜率为2时，直线PA2的方程为y2(x2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x264x520，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k.同理，当直线PA2的斜率为1时，直线PA2方程为y(x2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x216x40，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.
