1、选修第2课 空间向量的坐标表示与数量积修改稿一、 考纲要求:1.了解空间向量基本定理，掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示.2.理解空间向量数量积的概念、性质、运算律及两向量的夹角公式、两点间距离公式、掌握空间向量的数量积的坐标形式.3.能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直. 二、 知识梳理回顾要求:1.空间向量的坐标表示：若（分别是与轴、轴、轴同方向的单位向量），则的坐标是.2.空间向量的坐标运算：（1）若，则；（2）空间向量的坐标运算：(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)向量和 向量差数量积共线 (R，0)垂直 夹角公式cos，向量模3空间向量数量积及运算律(1)两个向量的数量积：
2、； ； (为非零向量)；空间向量夹角的范围：；(2)空间向量的数量积运算律要点解析1 空间任意一个向量与有序实数组建立的一一对应的关系，强调空间向量坐标的唯一性。2 空间向量的坐标运算与平面向量有类似的运算，如加、减、数乘等，而空间向量平行的表达形式与平面向量不一样，它没有平面向量平行的等积式，但实质是一样的，都是对应的坐标成比例。3 需注意当向量与坐标轴或坐标平面平行时向量坐标的特点。4 由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以处理空间向量的相关问题，均可将平面向量处理问题的方法推广到空间。三、 诊断练习【教学处理】课前要求学生阅读课本选修2-1，再完成诊断练习4道小题，并要求将解题过
3、程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。题1：已知向量(4，k，k1)，(k，k3，)，若，则k_.答案：2【分析】题2.已知空间三点则与的夹角为 答案：问 (1)向量的坐标和向量的起点,终点的坐标有什么联系?为什么有这种联系? 问（2）向量的夹角公式是什么？ 题3.已知且与垂直，则的值为 答案：【分析】（1）两向量垂直可得到什么？ （2）先代入坐标再进行代数运算,还是先进行数量积运算再代入坐标?题4. 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点M在A
4、C1上且，N为B1B的中点，则|_.答案为：a【分析】由于此题以正方体为载体求向量的模，故可以先建立空间直角坐标系，写出点M,N的坐标，从而求出向量的坐标，利用求模的公求解.解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 (,0,0)， (0，)，.设点在上且，(，z)(，)，.，|.【要点归纳】1. 平行、垂直、求长度、求夹角是空间向量的常考题型，也是重点考察内容，相关公式加强记忆，灵活运用，尤其是涉及到坐标运算要考虑先代坐标后运算还是先运算后代坐标方法的选择。2. 空间向量的坐标运算与平面向量有类似的运算，如加、减、数乘等，而空间向量平行的表达形式与平面向量不一样，它没有平面向量平行的等积
5、式，但实质是一样的，都是对应的坐标成比例。3. 由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以处理空间向量的相关问题，均可将平面向量处理问题的方法推广到空间。四、范例导析例1:如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。点评或板书时，要示范解题步骤、方法【分析】由题知OA与BC长度已知，故只要求出 即可利用求角公式 求解. 又由于空间四边形的边及角已知量较多，故用 代入计算即可.解：，()|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.cos，.故与夹
6、角的余弦值为，即直线OA与BC所成角的余弦值为.【点评】在空间向量中，求两直线夹角常转化为两向量夹角，利用公式求解，但要注意两直线夹角的范围与向量所成角范围的区别于联系.例2：已知，求的取值范围.【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。点评或板书时，要示范解题步骤、方法【分析】（1）：夹角为钝角的等价条件是什么? （2）：怎么处理可以使运算简便？【点评】1.在平面向量与空间向量中，由向量夹角公式可得：两向量夹角为钝角两向量夹角为锐角2.两向量不共线的处理方法常将的结果求处理，再求其补集.例3：如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为A
7、C与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点，试用向量方法证明下列命题：(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C；【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生对解题方向遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【分析】（1）：线面平行的判定定理是什么？如何用向量方法证明线线平行？ （2）线面垂直的判定定理是什么？如何用向量方法证明线线垂直？证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点，(1，1，)又点(1，1，)，.又与不共线，又平面，平面，平面.(2)连结，点，(1，1，)(1,1，)0，(
8、1，1，)(2,2,0)0，即，【点评】利用直线的方向向量可以判定直线与直线平行和垂直设直线的方向向量 的方向向量则 .【解题反思】1.空间向量坐标表示及其运算应类比平面向量坐标表示及其运算，应熟练相关公式及运算规则，然后再用公式计算.2、用向量计算或证明几何问题时，应关注传统方法平面向量数量积的坐标表示实质是用代数的观点研究向量（几何）问题，从知识上讲，离不开函数、方程、不等式，特别是二次函数、二元一次、二元二次方程组；从方法上讲，能够体现解方程组、解方程等数学上的基本的解题方法；从数学思想方面讲，也离不开转化的思想，函数与方程的思想和数形结合的思想是代数、三角和几何的载体，是各种思想方法的纽带，具有重要地位
