1、递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列的前项和为，满足，则（）ABCD解析：， = 1，是以1为首项，以1为公差的等差数列，即，（）.当时，也适合上式，.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.例2已知数列的前n项和为，且，则数列的前2021项的和为()ABCD解析：，解得，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2
2、为首项，2为公差的等差数列，故，设的前n项和为，则故选：A例3数列中，求的通项公式；解析：（1）由，-，的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，n为奇数，n为偶数.类型2.等比数列：相邻两项递推：或.或者相邻三项递推：.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4数列中，对任意有，若，则（）ABCD解析：由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则所以，故选：D.例5已知数列满足且，求通项；解析：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，为偶数.类型3.累加型例6若数列满足，求的通项公
3、式.解析：因为，所以，故.类型4.()累乘型.例7数列及其前n项和为满足：，当时，则（）ABCD解析：当时，即，所以累乘得：，又，所以所以则. 故选：C.类型5.型（待定系数法）一般形式：为常数，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，令，则为等比数列，求出，再还原到，.例8在数列中，求的通项公式.解析：依题意，数列中，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.解析：显性构造：，.类型6.型例10已知数列的首项，且满足求数列的通项公式；解析：，又，故是以2为首项，2为公比的等比数列，则类型7.
4、型.方法1.数学归纳法.方法2.，令，则，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列满足，.（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前n项和.解析：方法1：归纳法.（1） 猜想 得，.因为，所以方法2：构造法.由可得：，累加可得：.（2）由（1）得，所以. .得，类型8.型例12已知数列满足，求数列的通项公式.因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.类型9.已知与关系，求.（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当代入求出；第2步：当，由写出；第3步：（）；第4步：将代入中进行验证，如
5、果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式， 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.例13已知数列的前项和为，. 证明：数列是等差数列.证明：，易知，数列是公差为2的等差数列.例14设数列的前项和为，且满足，. 求.解析：因为,所以，则，即为首项为，公差为的等差数列，则，故.例15已知数列满足求数列的通项公式.解析：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列求得通项公式.解析：，所以，所以是首项为，公差为
6、的等差数列，所以，所以当时，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为类型9：已知前项积求.例17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式解析：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.类型10.特征方程法（强基层次）：型.求解方程：，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则（2）若特征方程有两个不等的根，则例18已知数列满足，.求数列的通项公式；解析：，变形为：，数列是等比数列，首项为6，公比为3.，变形为：，例19.已知数列满足，求数列的通项解析：其特征方程为，解得，令，由，得， 例20.已知数列满足，求数列的通项解析：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
