1、2023-8-30高三数开学文第 1页共 2 页树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题（文科）时间：120分钟满分：150分命题人：廖游宇审题人：唐颖君一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1.已知集合2|60Ax xx，|0Bx x，则 AB（）A|23xx B|02xxC|32xx D|03xx2.若i 为虚数单位，则复数2i1 iz的虚部为（）A 21Bi21Ci21D213.已知向量1,am，1,0b ，且6aba b，则 a r（）A 5B2 3C22D2 64.部分与整体以某种相似方式呈现称为分形，一个
2、数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图三角形的面积为34，则第 n 个图中阴影部分的面积为（）A.33()44nB.33()34nC.33()62nD.133()92n5.已知矩形 ABCD 中，2ABBC，现向矩形 ABC
3、D 内随机投掷质点 P，则满足APB为锐角的概率是（）A 44B 4C1616 D166.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S 为 3840，那么判断框中可以填入的关于 k 的判断条件是（）A.5k B.5k C.4k D.4k 7.若命题:p0,x ，11xx；命题:q0 x R，20010 xx，则下列命题为真命题的是（）ApqB pqC pqD pq 8.已知1F、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A2(0,)2B1(0,2C(0,1)D2,1)29.112tan 202cos10（）A.3B.2C.32D.210.已知
4、四面体 ABCD 满足3ABCD，5ADBC，2ACBD，且该四面体 ABCD 的外接球的表面积是()A 2B 6C 611D411.已知函数()2sin 22cos2f xxx.若对任意10,2x，存在2(0,)x ，使2221212mxxfx成立，则 m 的取值范围是()A.1m B.12m C.18m D.14m 12.对于函数 yf x，若存在00f xfx，则称点00,xf x与点00,xfx是函数的一对“隐对称点”若0m 时，函数 2ln,0,0 x xf xmxmx x 的图象上恰有 2 对“隐对称点”，则实数 m 的取值范围为（）A10,eB110,eeC0,11,D1,二、填
5、空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分答案填在答题卷相应横线上13.设,x y 满足约束条件002yxyxy ，则2zxy的最大值为_.14.在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,2,2 3,3a b c abB，则 ABC的面积为.15.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E 是侧棱1AA 的中点，则平面1B CE 截正方体1111ABCDABC D所得的截面图形的周长是.#QQABRYCAggAgAABAABhCUQUiCEIQkBACAAgGwAAAMAAByBFABAA=#2023-8-30高三数开学文第 2页共 2 页16.已知 A、B 是椭圆
6、222210 xyabab与双曲线222210,0 xyabab的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA，PB 交椭圆于 M，N.若 MN 过椭圆的焦点 F，且 tan3AMB ，则双曲线的离心率为_.三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共 60 分.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样
7、调查，得其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月5 月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2 月3 月4 月5 月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年 6 月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据11,xy，22,xy，,nnxy，其回归直线 ybxa$的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx$.18.如图，梯形 ABCD 中，EAD,4为 AD 中点，且1,BCCEADCE,将 DE
8、C沿CE 翻折到 PEC,使得3PEA.连接.,PBPA（1）求证：PCBE;（2）Q 为线段 PA 上一点，且APAQ32，求三棱锥BCQP 的体积.19.在数列 na中，1232331nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）若12nnn nab，求数列 nb的前 n 项和nS 20.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22e，且经过点1,e.（1）求椭圆的标准方程;（2）P 为椭圆C 在第一象限内部分上的一点，过点 P 作圆1)1(:22yxM的两条切线，分别交 y 轴与ED,两点，且314|DE.求点 P 的坐标.21.已知函数 exfxax，Ra.（1）讨论 fx 的
9、单调性；（2）若当1x 时，f xax，求 a 的取值范围.（3）若存在实数 a、b，使得 2f xaxbax恒成立，求 ab的最小值.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.直角坐标系 xOy 中，点0,1P，动圆 C：22sin3sin11()xy R.（1）求动圆圆心 C 的轨迹；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为：22222cossin，过点 P 的直线 l 与曲线 M 交于 A，B 两点，且47PAPB，求直线 l的斜率.23.已知函数 2322f xxx，()sin 2g
10、xx（1）求函数()()f xg x的最小值；（2）设,(1,1)a b，求证：211 222abab#QQABRYCAggAgAABAABhCUQUiCEIQkBACAAgGwAAAMAAByBFABAA=#2023-8-30高三数开学文第 3页共 2 页树德中学高 2021 级高三上期开学考试数学试题参考答案(文科)一、选择题：1-5 DACBA6-10 CCACB11-12DC二、填空题：134；14 2 3；15 6 24 5；162 33;17、解：（1）因为直方图的组距为1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为0.1 2.5 0.33.5 0.34.5 0.15
11、5.5 0.1 6.5 0.0.53.1 55x万元.（2）记1,2,3,4,5ixi i，10.5y，20.6y，31.0y，41.4y，51.7y，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系.因为3x，1.04y，10.5 1.235.68.518.8niiix y，21149162555niix，则 18.85 3 1.040.32555 9b ，1.040.32 30.08a ，所以回归直线方程是 0.320.08yx.当6x 时，0.3260.082y ，预计该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆.18、证明:因为 CE AD.所以 CE AE.CE PE.又 PE AE=E.PE，
12、AE 平面 PAE.所以 CE平面 PAE.CE 平面 ABCE.所以平而 ABCE平而 PAE.在梯形 ABCD 中.DE=2.所以 AE=2.所以在四棱锥ABCEP 中，PE=AE=2.因为PEA3.所以 PAE 为正三角形.取 AE 中点 O.连接 PO，OB，OC.易得 PO AE，OB AE.由面面垂直的性质可得 PO平面 ABCE.又BCCEAECEOECEBC,1,所以四边形OBCE 为正方形，所以 BE OC.又POOCOPOOC、.平面 POC，所以 BE平面 POC又PC平面 POC，所以PCBE.(2)解:由题意得Q 为线段 PA 上一点，且APAQ32，所以ABCPPB
13、CAPBCQBCQPVVVV3131.过点 P 作ECEAECEPOAEPO,所以ABCEPO平面,又 PAE 为正三角形，3 PO.所以18331121313131ABCPBCQPVV.19、（1）当1n 时，11312a ，当2n 时，则1232331nnaaana，得1123123(1)31nnaaana，两式相减得，1131 312 3nnnnna ，所以12 3nnan，因为12a 满足上式，所以12 3nnan（2）由（1）得111(1)2 3(1)322nnnnn nan nbnn，所以012212 33 34 33(1)3nnnnnS 所以12312 33 34 333(1)3
14、nnnnnS ，所以123123333(321)nnnSn 1 31(1)31 3nnn 121 322nn，所以211(21)313444nnnnnS20、（1）由题知222222,2,111,2caabcab解得22a，21b ，故椭圆C 的方程为2212xy.（2）设点00(,)P xy（000,0 xy），(0,)Dm，(0,)En，则直线 PD 的方程为00ymyxmx，即000()0ym xx ymx，因为圆心(1,0)M 到直线 PD 的距离为 1，即002200|1()ymx mymx，即22200000()()2()ymxymx m ym220 x m，即2000(2)20
15、xmy mx，同理2000(2)20 xny nx由此可知，m，n 为方程2000(2)20 xxy xx的两个实根，所以0022ymnx，002xmnx，2|()4MNmnmnmn20020044(2)2yxxx2200020448(2)xyxx因为点00(,)P xy在椭圆C 上，则220012xy，即220012xy，则20020284|(2)xxMNx143，则200450 xx，因为00 x，则01x，220012xy 12，即022y，故存在点2(1,)2P满足题设条件21、（1）解：因为 exf xax，其中 xR，则 exfxa，#QQABRYCAggAgAABAABhCUQU
16、iCEIQkBACAAgGwAAAMAAByBFABAA=#2023-8-30高三数开学文第 4页共 2 页若0a，则()0fx恒成立，此时 fx 在 R 上递增；若0a，由 0fx，得lnxa，由()0fx，得lnxa，此时 fx 在,ln a上递减，在ln,a 上递增.综上所述，当0a 时，函数 fx 的增区间为,，无减区间；当0a 时，函数 fx 的减区间为,ln a，增区间为ln,a .（2）解；由 f xax得2e xax，当0 x 时，显然成立；当1,0 x 时，20 x，可得e2xax，令 e2xg xx，则 22e104x xgxx，则 g x 在1,0上递减，故 112eg
17、xg，此时12ea ；当0,x 时，20 x，可得e2xax，令 22e104x xgxx得1x ，由 0g x，可得 01x，由 0gx，可得1x .此时，函数 g x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，所以，g x 在1x 处取得最小值，即 e12g xg，此时e2a.综上，a 的取值范围是1e,2e 2.（3）当0a 时，对任意的1bxa，221111111xbf xeaxaxabbba ，所以对任意的实数 b，f xb不可能恒成立；当0a 时，xf xe，要使 f xb恒成立，只需0b，所以0abb ，当0a 时，由题意，2xfxeax，2xfxea，当0a 时，0fx，所以 f
18、x在 R 上单调递增，因为121102afea ，010f ，所以存在唯一的01,02xa，使得00fx，且 00fxxx，00fxxx，所以 f x 在0,x上单调递减，在0,x 上单调递 增，从 而 0200minxf xf xeax，因 为 f xb恒 成 立，所 以020 xeaxb，故020 xabaeax，又00020 xfxeax，所 以002xeax，代 入 不 等 式 可 得000200022xxxeeabexxx ，整理得：02000212xxxabex，设 22102xxxg xexx，则 2322211122xxxxxxxgxeexx，所以 010gxx ，01gxx，
19、故 g x在,1 上 单 调 递 减，在 1,0上 单 调 递 增，从 而 11g xge，所以01abg xe，当12ae，32be时取等号，综上所述，ab的最小值为1e.22、（1）设圆心,C x y，因为sin3sin1xy，所以31,11yxx.所以圆心 C 的轨迹方程为3111yxx，即圆心 C 的轨迹为线段.（2）因为22222cossin，所以22222cos2sin，因为cossinxy，所以2222xy，即曲线 M 的直角坐标方程为2222xy.设直线l 的倾斜角为 ，由点 P 在直线l 上，得直线l 的参数方程为cos1sinxtyt（t 为参数），代入曲线 M 的方程得：
20、2222cossin2 sin10tt，设12,PAtPBt，由于点 P 在曲线 M 的内部，所以12222sin42cossin7PAPBtt，化简得：22sin7 sin40，解得1sin2.由于0，所以1sin2，3 或23，所以3tan3 ，即直线l 的斜率为33.23、【详解】（1）由题设 341,235,1241,1xxf xxxx，而()sin 2g xx在3(,2、3(,12、(1,)上均能取到最小值 1，对于()f x 在3(,2 上递减，3(,12上为常数，(1,)上递增，且连续，所以()()f xg x的最小值在3(,12上取得，即4x 时，最小值为 4.（2）由 211221 122|ababab ，仅当(21)(1 2)0ab取等号，要证 211 222abab ，即证|1abab，则22()(1)abab，需证22222()1(1)(1)0ababab，而,(1,1)a b，即22,0,1)a b，所以22()11(0)ab恒成立，故 211 222abab 得证.#QQABRYCAggAgAABAABhCUQUiCEIQkBACAAgGwAAAMAAByBFABAA=#
