1、学科网（北京）股份有限公司成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)时间:120 分钟 满分:150 分 一、单选题：共 12 道小题，每题 5 分，共 60 分.1.设121izii=+，则 z 的虚部为 A.i B.3i C.1 D.3 2.直线 1:10lxay+=与直线 2:10laxy+=平行，则 a=A.0 B.1 C.-1 D.1 或-1 3.一组数据包括 47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为 A.10 B.5 2 C.10 D.50 4.已知函数()f x 在其定义域 R 上的导函数为()fx，当 xR时，()0fx是“()f x 单调递增”的 A.充要
2、条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的 a、b 分别为 36、96，则输出的 a=（）A.0 B.8 C.12 D.24 6.直线2x=与抛物线2:2(0)C ypx p=交于 D、E 两点，若0OD OE=，其中 O 为坐标原点，则 C的准线方程为()A.14x=学科网（北京）股份有限公司B.12x=C.1x=D.2x=7.函数lgyx=的图象经过变换10:2xxyy=+后得到函数()yf x=的图象，则()f x=A.1 lg x+B.1 lg x+C.3lg
3、 x+D.3lg x+8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9.设曲线 C 的参数方程为1 cos1 sinxy=+=+(为参数，且,22)，曲线 C 上动点 P 到直线:143xyl+=的最短距离为 A.0 B.15 C.25 D.1 10.关于圆周率，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计 值：先请 100 名同学每人随机写下一组正
4、实数对(x，y)，且要求 x，y 均小于 1；再统计 x、y 和 1 作为三边长能形成钝角三角形的数对(x，y)的个数 m；最后利用统计结果估计 值.假如某次实验结果得到 m=28，那么本次实验可以将 值估计为 A.227 B.4715 C.7825 D.5317 11.点 A、B 在以 PC 为直径的球 O 的表面上，且 ABBC，AB=BC=2，已知球 O 的表面积是 12，设直线 PB 和 AC 所成角的大小为，直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小为 ，四面体 PABC 内切球学科网（北京）股份有限公司半径为 r，下列说法中正确的个数是 BC 平面 PAB；平面 PAC 平面 ABC
5、；sincos=：12r A.1 B.2 C.3 D.4 12.函数()1 sin(11)xf xex=在0,)+上的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:共 4 道小题,每题 5 分，共 20 分.13.命题“0tanxxx，”的否定为_.14.函数()cosxf xx=的图象在 x=处的切线方程为_.15.某区为了解全区 12000 名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了 1000 名学生进行体能测试，并将这 1000 名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000 名学生平均成绩的估计值为_.16.双曲线2222:1(,0)xy
6、Ha bab=其左、右焦点分别为12,F F，倾斜角为 3 的直线2PF 与双曲线 H 在第一象限交于点 P，设12F PF内切圆半径为 r，若22 3PFr，则双曲线 H 的离心率的取值范围为_.三、解答题：共 5 道大题，共 70 分.17.（12 分）设函数321(1)()2(1)34ff xxxxf=+(1)求()1f 、()1f的值；(2)求()f x 在0,2上的最值.18.（12 分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为 2018
7、2022 年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中 20182022 年对应的代码依次为 15.学科网（北京）股份有限公司(1)从 20182022 年中国信创产业规模中任取 2 个数据，求这 2 个数据都大于 10 的概率.（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型xya b=拟合 y 与 x 的关系，请建立关于 x 的回归方程(a，b 的值精确到 0.01)，并预测 2023 年中国信创产业规模能否超过 20 千亿元.参考数据:其中lniivy=,5115iivv=参考公式：对于一组数据()11,u w，()22,u w，(),nnu w，其回归直线wu=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
8、为1221niiiniiu wnwunu=，wu=19.（12 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面11ACC A 为矩形，ABAC且 AB=AC=2,D 为11B C 的中点，112 2AAB C=.(1)证明:1/AC平面1A BD;（2）求平面1AB C 与平面1AA D 所成锐二面角的余弦值 20.（12 分）椭圆2222:1(0)xyCabab+=上顶点为 B，左焦点为 F，中心为 0.已知 T 为 x 轴上动点，直线 BT 与椭圆 C 交于另一点 D；而 P 为定点，坐标为(2,3)，直线 PT 与 y 轴交于点 Q.当 T 与 F重合时，有|PBPT=，且 2BTBPB
9、Q=+.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 T 的横坐标为 t，当(0,2)t 时，求 DTQ面积的最大值.21.(12 分）设函数()xf xeax=，其中 aR.学科网（北京）股份有限公司(1)讨论函数()f x 在1,)+上的极值；(2)若函数 f(x)有两零点()1212,x xxx+，求正实数 的取值范围.22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C和直线l 的极坐标方程分别为2sin2 cosa=+和sin24x=.且二者交于 M，N 两个不同点.(1)写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；(2)若点 P 的极
10、坐标为(2,),|5 2PMPN+=，求 a 的值.参考答案 一、单选题：共 12 道小题，每题 5 分，共 60 分 123456789101112CBADCBBCBCCB二、填空题：共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分.13.00 x，00tan xx 14.0 xy+=15.80.5 16.5,24 三、解答题：共 5 道大题，共 70 分.17.解:(1)由题设知2(1)()22ffxxx=+,取1x=，则有(1)(1)32ff=+,即(1)6f =:也即3213()2(1)32f xxxxf=+，取1x=，则有5(1)(1)6ff=，即5(1)12f=故(1)6f =,5(1)
11、12f=.(2)由(1)知32135()23212f xxxx=+,2()32(1)(2)fxxxxx=+=,学科网（北京）股份有限公司 故max5()(1)12f xf=,min5()(0)12f xf=18.解：(1)从 20182022 年中国信创产业规模中任取 2 个数据有(8.1,9.6)，（8.1,11.5)，（8.1,13.8)，（8.1,16.7)，（9.6,11.5)，（9.6,13.8），(9.6,16.7），（11.5,13.8)，（11.5,16.7)，（13.8,16.7)，共 10 种情况，其中这 2 个数据都大于 10 的有(11.5,13.8)，（11.5,16
12、.7)，(13.8,16.7)，共 3 种情况，所以 2 个数据都大于 10 的概率310P=(2)xya b=两边同时取自然对数 得()lnlnlnlnxya baxb=+，则vlnaxlnb=+.因为5213,2.45,55iixvx=,所以5152221538.525 3 2.45ln0.177555 35iiiiix vxvbxx=12.450.177 31.919lnavx nb=，所以1.9190.177vx=+即ln1.9190.177yx=+，所以1.919 0.177e6.81 1.19xxy+=，即 y 关于 x 的回归方程为 6.81 1.19xy=.2023 年的年份代
13、码为 6，把 x=6 代入 6.81 1.19xy=,得66.81 1.196.81 2.8419.3420y=，有2231234Dtyt=+，即22434Dtyt=+;直线 PT 的方程为22(3)3txy+=,令 x=0，可得32Qtyt=+由()sin,sin333DTQQDQDDTQPTBPTBSyyy yQT DTDTQQT DTSSSPT BTBTPPT BT=即22234DTQttSt=+，(0,2)t 而22212144 24ttt+，当22 2t+=，即2 22t=时取等,且()0,2t 故 DTQ面积的最大值为632 21.解：(1)由()xf xeax=知()xfxea=
14、,1）当 ae时，且有1,)x+，()0fx，()f x 单增，故无极值；2）当 ae时，有(1,ln)xa，()0fx，()f x 单增，故()(ln)lnf xfaaaa=极小值，()f x 无极大值.综上，当 ae时，()f x 无极值；当 ae 时，()f x 极小值为lnaa，()f x 无极大值.（2）由（1）可知当 ae 时，(ln)(1 ln)0faaa=），且 xf x+，（），由零点存在定理可知120lnxax，且21lntxx=，即2ln1ttxt=,1ln1txt=，将其代入1211xx+，整理可令得(1)(1)()ln01tF ttt+=+而()22221(1)1(1)()(1)(1)ttF ttttt+=+,学科网（北京）股份有限公司1)当1 时，且(1,)t+，有22(1)()0(1)tF ttt+，()F t 单增，F(t)F(1)=0，满足题设；2)当 01 时，且211,t，有()0F t，()F t 单减，F(t)，解得1a 又 123 22tta+=+，1 244t ta=+当 a-1,且 a1 时，有 12,0t t，则()1212235 2PMPNtttta+=+=+，解得 a=2;当1a 时，有 1 20t t，则1212215 2PMPNtttta+=，解 得 a=-4.故 a 的值为 2 或-4.学科网（北京）股份有限公司
