1、第2课时 分段函数及映射 1.理解分段函数的意义,并能简单应用.2.了解映射的概念及表示法.3.理解映射与函数的区别和联系.1.分段函数 在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,函数有着不同 的_.对应关系 2.映射 非空 非空 对应关系f 任意一个 唯一确 定 f:AB 1.下列对应是从集合A到集合B映射的是()A=N,B=N*,f:x|x|;A=N,B=N*,f:y=|x-1|;A=B=1,f:xx2;A=1,2,3,4,5,B=1,7,17,31,49,f:y=2x2-1.A.B.C.D.【解析】选C.A中元素0在集合B中无元素与之对应,故不是映射;A中元素1在B中无元素与之对应,故
2、不是映射;符合定义,是映射;中x=1,2,3,4,5时,y分别是1,7,17,31,49,符合定义,是映射.2.已知f(x)=则f(f(2)=.【解析】因为21,所以f(2)=-4+3=-10)左侧的图形的面积为f(t),试求函数f(t)的解析式.【解析】OB所在的直线方程为y=x.当t(0,1时，由 x=t，求得y=t,所以f(t)=t2；当t(1,2时，f(t)=(2-t)2；当t(2,+)时，f(t)=33323323，223 t,t(0,123f t32t,t(1,223,t2,.，所以，类型 三 映射的概念及其应用 1.(2014临沂高一检测)已知集合A=x|0 x4，集合B=y|0
3、y2，按照下列对应法则能构成集合A到集合B的映射的是()A.f:xy=x,xA B.f:xy=x,xA C.f:xy=x,xA D.f:xy=x,xA 3423132.(2014大庆高一检测)在给定映射f:AB即f:(x,y)(2x+y,xy)(x,yR)的条件下，与B中元素 对应的A中 元素是()3.已知M=a,b,c，N=-1,0,1，若M到N的映射满足f(a)-f(b)=f(c)，求满足f(a)-f(b)=f(c)的所有映射.11,66（）11111 2A.,B.,636324 311112 1C.,D.,366233 4（）（）或（）（）（）或（）【解题指南】1.根据映射的概念，对于集
4、合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，集合B中都有唯一的元素和它对应，然后对每一项逐一判断.2.根据对应关系f:(x,y)(2x+y,xy)，建立关于x,y的方程组求解.3.根据映射的概念，集合M中的每一个元素都有三种对应方式，从而列出所有的映射，再找出满足条件f(a)-f(b)=f(c)的个数.【自主解答】1.选B.对于A,集合A中的元素4在B中无元素与之对应；对于C，集合A中的元素4在B中无元素与之对应；对于D，集合A中大于2的元素在B中无元素与之对应；B中的对应满足映射的概念.2.选B.由题意得：3.将式子f(a)-f(b)=f(c)改为f(a)=f(b)+f(c),由0+0=0，-1
5、+0=-1，0+(-1)=-1，1+0=1，0+1=1，-1+1=0，1+(-1)=0知，满足条件的映射有：1112xy,x,x,634211y.xy,y362 解得或【规律总结】判断一个对应f:AB是否为映射的两点主要依据(1)任意性:集合A中每一个元素,在集合B中是否都有元素与之对应.(2)唯一性:集合A中任一元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.【变式训练】1.(2013南昌高一检测)下列各个对应中,构成映射的是()【解析】选D.根据映射的概念,知D符合映射的条件.2.判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射.(1)A=x|0 x6,B=x|0 x2,对应关系f:“把x对应 到 ”.
6、(2)A=1,2,3,4,B=4,5,6,7,对应关系f:“把x对应到x+3”.x2【解题指南】能否构成集合A到集合B的映射,首先要看集合A中的每一个元素是否都有集合B中的元素与之对应;其次要看是否是唯一元素与之对应.【解析】(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3,而3B,故对应关系f不是集合A到集合B的映射.(2)在对应关系f作用下,集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应,故对应关系f是集合A到集合B的映射.【拓展延伸】映射中的象与原象的概念 给定一个集合A到集合B的映射,且a属于A,b属于B,如果元素a和元素b对应,则元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.【加固训
7、练】(2013安庆高一检测)设集合A=x|1x2,B=y|1y4,则下述对应关系f中,不能构成A到B的映射的 是()A.f:xy=x2 B.f:xy=3x-2 C.f:xy=-x+4 D.f:xy=4-x2【解析】选D.对于D,当x=2时,由对应关系y=4-x2,得y=0,在集 合B中没有元素与之对应,所以D选项不能构成A到B的映射,其 他选项均可.【拓展类型】映射与函数的关系 尝试解答下面的问题,总结判断一个对应为函数的三个关键点.1.下列对应为A到B的函数的是()A.A=R,B=y|y1,f:xy=|x|B.A=Z,B=N*,f:xy=x2 C.A=Z,B=Z,f:xy=D.A=-1,1,
8、B=0,f:xy=0 x2.根据下面所给的对应关系,回答下面的问题:A=N*,B=Z,f:xy=3x+1,xA,yB;A=x|x为高一(2)班的同学,B=x|x为身高,f:每个同学对 应自己的身高;A=R,B=N,f:xy=,xA,yB.上述三个对应关系中,是映射的是 ,是函数的是_ .1xx【解题指南】1.根据函数的概念判断.2.根据映射与函数的概念逐一判断.【解析】1.选D.由函数的定义可知,对于A,0R,且|0|=0B,故 A不是A到B的函数;对于B,0Z,且02=0N*,故B不是A到B的函数;对于C,当x0时,如-2Z,但 无意义,故C不是A到B的函数;对于D,是多对一的情形,符合函数的定义,是A到B的函数.2.中当x=0时,在集合B中没有元素与之对应.是映射,但 中集合A不是数集,所以只能是映射,而不是函数.答案:2【规律总结】判断对应是否为函数的三个关键点(1)两个集合是否为数集.(2)对集合A中的每一个元素,在集合B中是否都有元素与之对应.(3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.【变式训练】设M=x|0 x2,N=y|1y2,给出下面4个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 .【解析】(1)(2)中,当0 x2时,有部分与x对应的y值不在集合N中;(3)中,x在0,2)内取值时,在集合N中有两个元素与之对应;只有(4)符合函数的概念.答案:(4)
