1、 数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则（ ）A B C D2. 已知复数满足,则（ ）A B C D3. 已知向量,若,则（ ）A B C D4. 执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的值等于（ ）A B C D5. 已知函数是奇函数, 当时, 则（ ）A B C D6. 如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为, 則该几何体的体积等于（ ）A B C D7. 如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这
2、一点落在小正方形内的概率为 , 若直角三角形的两条直角边的长分别为,则（ ）A B C D8. 为了得到函数的图象, 可以将函数的图象（ ）A向左平行移动个单位 B向右平行移动个单位 C向左平行移动个单位 D向右平行移动个单位9. 点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为 （ ）A B C D10. 已知数列满足:, 则 （ ）A B C D11. 已知函数,若存在实数,当时, 恒成立, 则实数的取值范围是（ ）A B C D12. 在平面直角坐标系中, 以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点, 点分别在线段上, 若, 与圆相切, 则的最小值为（ ）A B C D 第卷（共90
3、分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若满足约束条件,则的取值范围是 14. 中, 边上的中线等于,且,则 15. 如图, 在正方体中, 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为 16. 设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为,.（1）求数列的通项公式；（2）若,求. 18. （本小题满分12分）如图, 四棱锥中, 平面平面,为线段上一点, 为的中点.（1）证明: 平面;（2）求二面角的正弦值.19. （本小
4、题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第次第次第次第次次收费比例该公司从注册的会员中, 随机抽取了位进行统计, 得到统计数据如下:消费次第第次第次第次第次第次频数假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率;（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润;(3) 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为元, 求的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知点是拋
5、物线的焦点, 若点在上, 且.（1）求的值;（2）若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.21. （本小题满分12分）已知函数,曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间;（2）用表示不超过实数的最大整数, 如:, 若时, 求的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在中, 以为直径的交于点是边上一点, 与交于点,连接.（1）证明: 四点共圆;（2）若,求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是,以极点
6、为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角.（1）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程;（2）设与曲线相交于两点, 求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,其中.（1）当时, 解不等式;（2）若,且,证明:.云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADCA 6-10.ABBBC 12.BD二、填空题（每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1），则，又，得，等差数列的公差，所以数列的通项公式为.（2）,
7、所以数列是首项为,公比为的等比数列,.18. 解：（1）证明: 连接,设,连接,四边形为平行四边形, 且是的中点, 又为的中点, 平面平面平面.（2）取的中点,连接,由得平面平面,平面平面平面,在中, 在等腰中, 以为坐标原点, 分别以所在直线为轴, 轴, 为轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,由题知,设是平面的法向量, 则,即.设是平面的法向量, 则,即得.,二面角的正弦值为.19. 解：（1）位会员中, 至少消费两次的会员有人, 所以估计一位会员至少消费两次的概率为.（2）该会员第一次消费时, 公司获得利润为(元), 第 次消费时, 公司获得利润为(元), 所以, 公司这两次服务的平
8、均利润为(元).(3) 由（2）知，一位会员消费次数可能为次，次，次，次，次，当会员仅消费次时, 利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,故的所有可能取值为的分布列为:数学期望为(元).20. 解：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得.（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,则直线的斜率,直线的斜率,所以.当直线不垂直于轴时, 设,则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过综上, 直线与直线的斜率之积为.21. 解：（1）函数的定义域为,因为,由已知得,由得,由得,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.（2）时, 不等式等价于,令,由（1）得在上单调递增，又因为在上有唯一零点,且,当时, 当时, 所以的最小值为, 由得,由于,因为,所以最大值为.22. 解：（1）证明: 连接是的直径,四点共圆.（2）连接是的直径,即四点共圆,.23. 解：（1）曲线化为:, 再化为直角坐标方程为,化为标准方程是,直线的参数方程为,即为参数).（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,整理得:,则,所以.24. 解：（1）当时, 由,由得,或,或或或.（2）证明:,.
