1、第1讲函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数
2、值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数注意分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集常用结论1直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点2几个常用函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合(2)偶次
3、方根型函数，被开方式非负的实数集合(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0(5)正切函数ytan x的定义域为.一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x22x与g(t)t22t是相等函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)若集合AR，Bx|x0，f：xy|x|，则对应关系f是从A到B的映射()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常
4、见误区|(1)对函数概念理解不透彻；(2)解分段函数不等式时忘记范围；(3)用换元法求解析式，反解时忽视范围1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：2设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x0且1x1，解得x0，所以x，所以1，所以a2.(2)由ax24ax20恒成立，得a0或解得0a.【答案】(1)D(2)D已知函数定义域
5、求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围 1函数f(x)ln(2xx2)的定义域为()A(2，)B(1，2)C(0，2) D1，2解析：选B要使函数有意义，则解得1x0，所以t1且x，所以f(t)lg，即f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(2)(配凑法)因为f2，所以f(x)x22，x2，)(3)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以函数f(x)的解析式为f(x)x2x3.(4)(解方程
6、组法)因为2f(x)f(x)2x，将x换成x得2f(x)f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.【答案】(1)f(x)lg(x1)(2)f(x)x22，x2，)(3)f(x)x2x3(4)f(x)2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件fg(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式(2)换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再
7、构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)提醒求解析式时要注意新元的取值范围 1(一题多解)已知二次函数f(2x1)4x26x5，则f(x)_解析：方法一(换元法)：令2x1t(tR)，则x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)方法二(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)
8、x25x9(xR)答案：x25x9(xR)2已知函数f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_解析：因为2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)3已知函数f(1)x2，则f(x)的解析式为_解析：方法一(换元法)：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.方法二(配凑法)：因为x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.答案：f(x)x21(x1)分段函数(多维探究)角度一分段函数求值 (1)设函数f(x)则f(5)
9、的值为()A7B1C0 D(2)若函数f(x)则ff(9)_(3)(2021广东省七校联考)已知函数f(x)，若f(a1)，则实数a_【解析】(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故选D(2)因为函数f(x)所以f(9)lg 101，所以ff(9)f(1)2.(3)当a10，即a1时，log2(4a)，4a2，故a42，不满足a1，舍去当a10，即a1时，2a11，2a1，解得alog23，满足a1.综上可得alog23.【答案】(1)D(2)2(3)log23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当
10、出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 角度二分段函数与方程 (1)已知函数f(x)若ff(1)9，则实数a()A2 B4C D4或(2)已知函数f(x)若实数a满足f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8【解析】(1)因为10，所以f(1)a2，所以f(a2)9.当a20，即a2时，3a29，解得a4.当a20，即a2时，2(a2)a9，解得a(舍去)综上可知a4.故选B(2)由题意得a0.当0a1时，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8.当a1时，由f(a)f(a
11、1)，得2a2(a1)，不成立故选D【答案】(1)B(2)D(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参；(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值角度三分段函数与不等式 (一题多解)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)【解析】方法一：当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.所以不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即为122x，解得x0.所以不等式的解集为(1，0)当即x0时，f(x1)1，
12、f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D方法二：因为f(x)所以函数f(x)的图象如图所示由图可知，只有当或2xx10时，满足f(x1)f(2x)，故x0，所以不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)【答案】D涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解 1(2021长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)则ff()()A2 B2C1 D1解析：选Df()3，则ff()f(3)log331.故选D2设f(x)若f(3)，则实数
13、a()A1 B1C D0解析：选Bf(3)f(31)f(2)32a，解得a1.3(2021六校联盟第二次联考)已知函数f(x)若f(x4)f(2x3)，则实数x的取值范围是()A(1，) B(，1)C(1，4) D(，1)解析：选C函数f(x)在(，0上是减函数，在(0，)上函数值保持不变，若f(x4)f(2x3)，则或x42x30，解得x(1，4)故选C4已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：由题可知，1a与1a异号，当a0时，1a1，1a1，所以2(1a)a1a2a，解得a(舍去)当a0时，1a1，1a1，所以1a2a22aa，解得a.答案：核心素养系列2数学
14、抽象函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题 若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”给出下列四个函数：f(x)；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos(x)其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()ABC D【解析】对于，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则
15、1，所以xx010(x00，且x01)，显然该方程无实根，所以不是“1的饱和函数”；对于，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则2x012x02，解得x01，所以是“1的饱和函数”；对于，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则lg(x01)22lg(x2)lg(122)，化简得2x2x030，显然该方程无实根，所以不是“1的饱和函数”；对于，注意到fcos，ff(1)cos cos ，即fff(1)，所以是“1的饱和函数”综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是.【答案】B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函
16、数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题(4)构造函数：有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的 1对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，
17、都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos (x1)解析：选D由题意可得准偶函数的图象关于直线xa(a0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中的函数满足题意2在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()A BC D解析：选C对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除B故选C
