1、【2015/2016】1、【2015高考上海文数】设为的反函数，则 .【答案】【解析】因为为的反函数，解得，所以.【考点定位】反函数，函数的值.【名师点睛】点在原函数的图象上，在点必在反函数的图象上.两个函数互为反函数，则图象关于直线对称.2.【2015高考上海文数】方程的解为 . 【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用，将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.3. 【2016高考上海文数】已知点在函数的图像上，则.【答案】【解析】试题分析：将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.
2、【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x）、二换（x与y互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.4. 【2016高考上海文数】设、是定义域为的三个函数对于命题：若、均是增函数，则、均是增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.(A)和均为真命题 (B)和均为假命题(C)为真命题，为假命题 (D)为假命题，为真命题【答案】D【解析】【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵
3、活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.5. 【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.【名师点睛】函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4
4、)图象法：利用图象研究函数的单调性6. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面
5、积的“经验值”.【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】（2）依题意，点的坐标为所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.7.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有
6、3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知R，函数=.（1）当时，解不等式1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（2）有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解当时，符合题意；当时，综上，或【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式
7、、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.一基础题组1. 【2014上海,文3】设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.2. 【2014上海,文9】设若是的最小值，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.【考点】函数的最值问题.3. 【2014上海,文11】若，则满足的取值范围是 .【答案】【考点】幂函数的性质.4. 【2013上海,文8】方程3x的实数解为_【答案】log34【解析】13x3x13x
8、133x3103x4xlog34.5. 【2013上海,文15】函数f(x)x21(x0)的反函数为f1(x)，则f1(2)的值是()A B C D【答案】A 【解析】由反函数的定义可知，x0,2f(x)x21x，选A.6. 【2012上海,文6】方程4x2x130的解是_【答案】log23【解析】原方程可化为(2x)222x3(2x3)(2x1)0，所以2x3，xlog23.7. 【2012上海,文9】已知yf(x)是奇函数，若g(x)f(x)2且g(1)1，则g(1)_.【答案】3【解析】由g(1)f(1)21，得f(1)1.由f(x)为奇函数得f(1)1.所以g(1)f(1)2123.8
9、. 【2012上海,文13】已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，1)，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_【答案】 9. 【2011上海,文3】若函数f(x)2x1的反函数为f1(x)，则f1(2)_.【答案】【解析】10. 【2011上海,文14】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数若函数f(x)xg(x)在区间0,1上的值域为2,5，则f(x)在区间0,3上的值域为_【答案】2,7【解析】11. 【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()Ayx2 Byx1 Cyx2 D 【答案】
10、A【解析】12. 【2010上海,文9】 函数f(x)log3(x3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是_【答案】 (0，2)【解析】法一：函数f(x)loga(x3)的反函数为g(x)ax3，而g(0)a032.g(x)的图像都过点(0，2)法二：f(2)loga10，函数f(x)的图像都过点(2,0)，又原函数与其反函数的图像关于直线yx对称，其反函数的图像经过点(0，2) 13. 【2010上海,文17】若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间 ()A(0,1) B(1,1.25)C(1.25,1.75) D(1.75,2)【答案】D 14. (2009上海,文1)函数=x3+1的反函数
11、f-1(x)=_.【答案】【解析】xR,R.由y=x3+1,得.故该函数的反函数为f-1(x)= ,xR.15. 【2008上海,文4】若函数的反函数为，则 【答案】【解析】令则且16. 【2008上海,文9】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 【答案】【解析】是偶函数，则其图象关于y轴对称, 且值域为， 17. 【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是 【答案】 18. 【2007上海,文1】方程的解是 . 【答案】【解析】19【2007上海,文2】函数的反函数 . 【答案】【解析】20.
12、【2007上海,文8】某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天.四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是.【答案】3【解析】21.【2007上海,文15】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”. 那么，下列命题总成立的是（）.若成立，则成立 .若成立，则成立.若成立，则当时，均有成立.若成立，则当时，均有成立【答案】D【解析】22. 【2006上海,文3】若函数的反函数的图像过点，则.【答案】23. 【2006上海,文8】方程的解是_.【答案】5【解析】方程的解满足，解得x=
13、5. 24. 【2005上海,文1】函数的反函数=_.【答案】【解析】反函数= 25. 【2005上海,文2】方程的解是_.【答案】x=0【解析】26.【2005上海,文13】若函数，则该函数在上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值【答案】A二能力题组1. 【2014上海,文20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数，函数（1） 若=4，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1），；（2）时为奇函数，当时为偶函数，当且时为非奇非偶函数【解析】【考点】反函数，函数奇偶
14、性2. 【2013上海,文20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是元(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润【答案】(1) 参考解析;(2) 甲厂应以 6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元【解析】(1)生产a千克该产品，所用的时间是小时，所获得的利润为.所以，生产a千克该产品所获得的利润为元 3. 【2013上海,文21】已知函数f(x)2sin(x)，其中常数0.(1)令1，判断函数F(x)f(x)的奇偶性，并说明理由；(2
15、)令2，将函数yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像对任意aR，求yg(x)在区间a，a10上零点个数的所有可能值【答案】(1) F(x)既不是奇函数，也不是偶函数;(2) 可能值为21或20【解析】(1)f(x)2sinx，F(x)f(x)2sinx2sin2(sinxcosx)，0，所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(x)2sin2x，将yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y2sin21的图像，所以g(x)2sin21.令g(x)0，得xk或xk(kZ)因为a，a10恰含10个周期，所以，当a是零点时，在a，a10上零
16、点个数为21；当a不是零点时，ak(kZ)也都不是零点，区间ak，a(k1)上恰有两个零点，故在a，a10上有20个零点综上，yg(x)在a，a10上零点个数的所有可能值为21或20.4. 【2012上海,文20】已知函数f(x)lg(x1)(1)若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的反函数【答案】(1) ;(2) y310x ，x0，lg 2 5. 【2012上海,文21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位
17、长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【答案】(1) 北偏东弧度; (2) 时速至少是25海里才能追上失事船 6. 【2011上海,文21】已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x1)f(x)时的x的取值范围【答案】(1) 函数f(x
18、)单调递减; (2) 参考解析 7. 【2010上海,文19】已知0x，化简：lg(cosxtanx12sin2)lgcos(x)lg(1sin2x)【答案】0【解析】原式lg(sinxcosx)lg(sinxcosx)lg(1sin2x)lglg0. 8. 【2010上海,文22】若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y接近m.(1)若x21比3接近0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2bab2比a3b3接近2ab；(3)已知函数f(x)的定义域Dx|xk，kZ，xR任取xD，f(x)等于1sinx和1sinx中接近0的那个值写出函数f(x)的解析式，并指出
19、它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)【答案】(1) (2,2); (2)参考解析; (3)参考解析 【解析】(1)解：由题意得|x21|3，即3x213，解得2x2.x的取值范围是(2,2)(2)证明：当a、b是不相等的正数时，a3b3(a2bab2)(ab)2(ab)0，又a2bab22ab，则a3b3a2bab22ab0，于是，|a2bab22ab|a3b32ab|，a2bab2比a3b3接近2ab. 9. (2009上海,文21)有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN*),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1
20、)证明:当x7时,掌握程度的增长量f(x+1)-总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.【答案】(1)参考解析; (2) 乙学科10. 【2008上海,文17】（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【答案】445【解析】【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题
21、意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=4分在中，6分即.9分解得（米）. .13分【解法二】11. 【2008上海,文19】（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分已知函数（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）;（2）【解析】（1）. .2分由条件可知，解得 6分 .8分12. 【2007上海,文18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年
22、递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？【答案】（1）2499.8兆瓦;（2）【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，.则2006年全球太阳电池的年
23、生产量为 (兆瓦). （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则.解得. 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到. 13.【2007上海,文19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数，常数.（1）当时，解不等式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）;（2）参考解析14. 【2006上海,文22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值.（2）设常数，求函数的
24、最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由.【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）参考解析【解析】 (1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,当1c2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2c4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c. 15. 【2005上海,文19】（本题满分14分）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值.【答案】（1）k=1,b=2;（2）-3【解析】(1)由
25、已知得A(,0),B(0,b),则=,b,于是=2,b=2. k=1,b=2. (2)由f(x) g(x),得x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0, 得-2x0,则-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 的最小值是-3.【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如型.16. 【2005上海,文20】（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【答案】（1）2013；（2）200917. 【2005上海,文22】（本题满分18分）对定义域是、的函数、，规定：函数.（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.【答案】（1）；（2）；（3）
