1、昆明一中2021届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交
2、。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。1.复数z满足,则复数z 在复平面内对应的点的坐标为A.(1,0) B. (0,) C.( ,0) D.(0, 1)2.已知集合A =,集合B = ,则AB =A.0,1 B.- 1,1 C.-1,0) D.- 1,03.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,则A. B. C. D.14.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息,下列统计结论正确的是A.样本中的男生数量多于女生数量
3、B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。数学中有回文数,如343 ,12521等。两位数的回文数有11 ,22 ,3,99共9个,则在三位数的回文数中偶数的个数是A.40 B.30 C.20 D.106.函数的单调递减区间是A. B. C. D. 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为A. B. C. D. 8.已知圆C: 与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,
4、则弦长A. B.5 C. D. 9.将多项式分解因式得,则A.16 B.14 C. D. 10.在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面ABC,ABC是边长为3的等边三角形,SAB是以AB为斜边的直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为A.32 B.16 . C.24 D.1211.已知函数的最小正周期是,把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论:函数f(x)的图象关于直线x =其对称. 函数f(x)的图象关于点(,0)对称函数f(x)在区间上单调递减函数f(x)在上有3个零点正确的结论是A. B. C. D.12.已知定义在R.上的偶函数f(x), 对任意xR,都有f(
5、2-x) =f(x +2),且当时.若在a 1时,关于x的方程恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A.(1,2) B. (,2) C. (2, +) D.(2, +)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x, y满足约束条件,则z =2x +y的最大值是_。14. 已知,则在方向上的投影为_.15. 已知抛物线C:y2 =4x的焦点为F,直线l: 与C交于P、Q(P在x轴上方)两点,若,则实数的值为_16.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,线段AC1上有两个动点E、F,且EF,给出下列四个结论:CEBD三棱锥E - BCF的体积为定值BEF在底面ABC
6、D内的正投影是面积为定值的三角形在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中,正确的结论是_三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17. (12 分)已知数列的前n项和为,且.(1)求的值,猜想数列的通项公式并加以证明;(2)求.18. (12 分)如图,在六面体ABCDEF中,AB/CD,ABAD,且AB =AD =CD= 1,四边形ADEF是正方形,平面ADEF平面ABCD.(1)证明:平面BCE平面BDE;(2)若BCE中,BEC=30,求二
7、面角C-BE-F的余弦值。19. (12分)计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格 ,并颁发合格证书.甲、乙、两三人在理论考试中“合格”的概率依次为、,在实际操作考试中“合格”的概率依次为、,所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.20. (12 分)已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心),点N的坐标为(1 ,0) ,线段QN的垂直平分线交线段QM于
8、点C,动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的轨迹方程;(2)直线l过点P(4,0)交曲线E于点A,B,点B关于x的对称点为D,证明:直线AD恒过定点.21. (12 分)已知函数(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分。22. 选修4 -4:坐标系与参数方程(10分)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x2 +y 2= 1经过伸缩变换得到曲线C2,直线l过点P(-1,0) ,斜率为,且与曲线C2交于A,B两点。(1)求曲线C2的普通方程和直线l的参数方程;(2)
9、求的值.23. 选修4 -5:不等式选讲(10分)已知函数.(1)当a = 1时,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求实数a的取值范围。昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案(理科数学)一、选择题 题号123456789101112答案BACCADCCCDAB1. 解析:因为,所以,所以复数在复平面内对应的点的坐标为,选B2. 解析:因为集合,集合,所以,选A3. 解析:因为抛物线的焦点为,双曲线的渐近线为,所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,又因为,所以,选C4. 解析:由等高堆积条形图1可知,不管是文科还是理科,女生占比均高于男生,故样
10、本中的女生数量多于男生数量,A错误;从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数,选C5. 解析:由题意,若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可能为,另外中间一位数有种可能,所以有个,选A6. 解析:函数的定义域是,令,解得,故函数在上单调递减,选D7. 解析:由三视图可知,该几何体是圆锥的一部分,观察到正视图中和的分界线可知俯视图是圆心角为的扇形,故该几何体的体积为,选C8. 解析:令,;,.所以,所以,选C9. 解析:由题意,所以,选C10. 解析:由题意,是以斜边的直角三角形,以三角形所在平面截球所得的小圆面圆心在中点,又因为平面平面,所以平面截球所得平面即为大圆.因为是
11、边长为的正三角形,其外接圆半径,故该三棱锥外接球的半径,其表面积,选D11. 解析:解析:因为的最小正周期为,故,将其向右平移后所得图像对应的解析式为,又为奇函数,所以,解得,故.令(),解得(),取,故正确;令(),解得(),的对称中心为(),正确;又由(),取知是原函数的一个单调递减区间,又,故正确;对于,函数在此区间上的零点只有,两个,故错误,综上所述正确结论的编号为,选A12. 解析:依题意函数的图象关于轴及直线对称,所以的周期为,作出时 的图象,由的奇偶性和周期性作出的图象,关于的方程恰有三个不同的实数根,可转化为函数与的图象有三个不同的交点,由数形结合可知,解得,选B二、填空题13
12、. 解析:如图所示在处取得最大值,且14. 解析:由平方可得:,所以在方向上的投影是15. 解析:由题意可得,直线过抛物线的焦点,设、在上的射影分别是、,过作于由抛物线的定义可得出中,得,解得16. 解析:因为平面,所以,故对;因为点到直线的距离是定值,点到平面的距离也是定值,所以三棱锥的体积为定值,故对;线段在底面上的正投影是线段,所以在底面内的正投影是.又因为线段的长是定值,所以线段是定值,从而的面积是定值,故对;设平面与平面的交线为,则在平面内与直线平行的直线有无数条,故对.所以正确结论是三、解答题(一)必考题17. 解:(1)由得:,因为 ,所以 ,所以,;由此猜想数列的通项公式;证明
13、:因为 ,所以,所以 ,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,即:.(用数学归纳法证明也可) 6分(2)由(1)得,所以 . 12分18. 解:(1)证明:因为,且,可得,所以又平面平面,平面平面,四边形是矩形,平面,可得平面,平面,则,平面,故平面, 平面,所以,平面平面 6分(2)由(1)知,都是直角三角形,设,则, ,解得,如图以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.可得, 故, , 设为平面的一个法向量,则,得,同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,所以,二面角的余弦值为. 12分19. 解:(1)设“甲获得合格证书”为事件,“乙获得合格证书”为事件,“丙获得合
14、格证书”为事件,则,.因为,所以丙获得合格证书的可能性最大. 6分(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件,则.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是. 12分20. 解:(1)因为线段的中垂线交线段于点,则,所以,由椭圆定义知:动点的轨迹为以原点为中心的椭圆,其中:,又, 所以曲线的轨迹方程为. 5分(2)设,则,由题意知直线的斜率必存在,设直线的方程为:, 由消得:,故因为,共线,其中,所以,整理得,则,解得,此时则直线的方程为:,所以直线恒过定点 12分21. 解:(1)函数的定义域为,当时,在上单调递增;当时,令,得所以在上单调递减;在上单调递增综上所述,当时,在上单调递增
15、;当时,在上单调递减;在上单调递增6分(2)当时,所以设,则, 当时,在上单调递增,所以,所以,故由(1)可知,当时,在上单调递增所以成立;当时,且在上单调递增,所以成立;当时,在上单调递减;则有,不合题意综上所述,实数的取值范围为. 12分(二)选考题:第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分。22. 解:(1)由得,代入曲线得:,所以曲线的普通方程为. 因为直线过点,斜率为,所以的参数方程为 (为参数). 5分(2)设,所对应参数分别为,,将的参数方程代入曲线得:,则,且,所以,. 10分23. 解:(1)时,由不等式可得:,可化为: 或 或,解得: 或 或 ,即:,所以,不等式的解集为. 5分(2)因为 所以的图象与轴所围成的三角形的三个顶点分别为,由题意,整理得:,因为,所以解得:,所以,实数的取值范围为. 10分