1、昆明一中2021届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交
2、。一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。1.复数z满足,则复数z 在复平面内对应的点的坐标为A.(1,0) B. (0,) C.( ,0) D.(0, 1)2.已知集合A =,集合B = ,则AB =A.0,1 B.- 1,1 C.-1,0) D.- 1,03.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则A. B. C. D.14.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是A.样本中的男生数量多于女生数量
3、B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。数学中有回文数,如343 ,12521等。两位数的回文数有11 ,22 ,3,99共9个,则在三位数的回文数中偶数的个数是A.40 B.30 C.20 D.106.函数的单调递减区间是A. B. C. D. 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为A. B. C. D. 8.已知圆C: 与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,
4、则弦长A. B.5 C. D. 9.将多项式分解因式得，则A.16 B.14 C. D. 10.在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面ABC,ABC是边长为3的等边三角形,SAB是以AB为斜边的直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为A.32 B.16 . C.24 D.1211.已知函数的最小正周期是,把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论:函数f(x)的图象关于直线x =其对称. 函数f(x)的图象关于点(,0)对称函数f(x)在区间上单调递减函数f(x)在上有3个零点正确的结论是A. B. C. D.12.已知定义在R.上的偶函数f(x), 对任意xR,都有f(
5、2-x) =f(x +2),且当时.若在a 1时,关于x的方程恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A.(1,2) B. (,2) C. (2, +) D.(2, +)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x, y满足约束条件，则z =2x +y的最大值是_。14. 已知,则在方向上的投影为_.15. 已知抛物线C:y2 =4x的焦点为F,直线l: 与C交于P、Q(P在x轴上方)两点,若,则实数的值为_16.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,线段AC1上有两个动点E、F,且EF,给出下列四个结论:CEBD三棱锥E - BCF的体积为定值BEF在底面ABC
6、D内的正投影是面积为定值的三角形在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中,正确的结论是_三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17. (12 分)已知数列的前n项和为,且.(1)求的值，猜想数列的通项公式并加以证明;(2)求.18. (12 分)如图,在六面体ABCDEF中,AB/CD,ABAD,且AB =AD =CD= 1,四边形ADEF是正方形,平面ADEF平面ABCD.(1)证明:平面BCE平面BDE;(2)若BCE中，BEC=30，求二
7、面角C-BE-F的余弦值。19. (12分)计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格 ,并颁发合格证书.甲、乙、两三人在理论考试中“合格”的概率依次为、,在实际操作考试中“合格”的概率依次为、,所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.20. (12 分)已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心),点N的坐标为(1 ,0) ,线段QN的垂直平分线交线段QM于
8、点C,动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的轨迹方程;(2)直线l过点P(4,0)交曲线E于点A,B,点B关于x的对称点为D,证明:直线AD恒过定点.21. (12 分)已知函数(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若当时,不等式恒成立，求实数a的取值范围。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22. 选修4 -4:坐标系与参数方程(10分)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x2 +y 2= 1经过伸缩变换得到曲线C2,直线l过点P(-1,0) ,斜率为,且与曲线C2交于A,B两点。(1)求曲线C2的普通方程和直线l的参数方程;(2)
9、求的值.23. 选修4 -5:不等式选讲(10分)已知函数.(1)当a = 1时,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求实数a的取值范围。昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案（理科数学）一、选择题 题号123456789101112答案BACCADCCCDAB1. 解析：因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，选B2. 解析：因为集合，集合，所以，选A3. 解析：因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，又因为，所以，选C4. 解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样
10、本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，另外中间一位数有种可能，所以有个，选A6. 解析：函数的定义域是，令，解得，故函数在上单调递减，选D7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中和的分界线可知俯视图是圆心角为的扇形，故该几何体的体积为，选C8. 解析：令，；，.所以，所以，选C9. 解析：由题意，所以，选C10. 解析：由题意，是以斜边的直角三角形，以三角形所在平面截球所得的小圆面圆心在中点，又因为平面平面，所以平面截球所得平面即为大圆.因为是
11、边长为的正三角形，其外接圆半径，故该三棱锥外接球的半径，其表面积，选D11. 解析：解析：因为的最小正周期为，故，将其向右平移后所得图像对应的解析式为，又为奇函数，所以，解得，故.令（），解得（），取，故正确；令（），解得（），的对称中心为（），正确；又由（），取知是原函数的一个单调递减区间，又，故正确；对于，函数在此区间上的零点只有，两个，故错误，综上所述正确结论的编号为，选A12. 解析：依题意函数的图象关于轴及直线对称，所以的周期为，作出时 的图象，由的奇偶性和周期性作出的图象，关于的方程恰有三个不同的实数根，可转化为函数与的图象有三个不同的交点，由数形结合可知，解得，选B二、填空题13
12、. 解析：如图所示在处取得最大值，且14. 解析：由平方可得：，所以在方向上的投影是15. 解析：由题意可得，直线过抛物线的焦点，设、在上的射影分别是、，过作于由抛物线的定义可得出中，得，解得16. 解析：因为平面，所以，故对；因为点到直线的距离是定值，点到平面的距离也是定值，所以三棱锥的体积为定值，故对；线段在底面上的正投影是线段，所以在底面内的正投影是.又因为线段的长是定值，所以线段是定值，从而的面积是定值，故对；设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故对.所以正确结论是三、解答题（一）必考题17. 解：（1）由得：，因为 ，所以 ，所以，；由此猜想数列的通项公式；证明
13、：因为 ，所以，所以 ，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即：.（用数学归纳法证明也可） 6分（2）由（1）得，所以 . 12分18. 解：（1）证明：因为，且，可得，所以又平面平面，平面平面，四边形是矩形，平面，可得平面，平面，则，平面，故平面， 平面，所以，平面平面 6分（2）由（1）知，都是直角三角形，设，则， ，解得，如图以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得， 故， ， 设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，二面角的余弦值为. 12分19. 解：（1）设“甲获得合格证书”为事件，“乙获得合格证书”为事件，“丙获得合
14、格证书”为事件，则，.因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. 6分（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件，则.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是. 12分20. 解：（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，所以，由椭圆定义知：动点的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：，又， 所以曲线的轨迹方程为. 5分（2）设，则，由题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为：， 由消得：，故因为，共线，其中，所以，整理得，则，解得，此时则直线的方程为：，所以直线恒过定点 12分21. 解：（1）函数的定义域为，当时，在上单调递增；当时，令，得所以在上单调递减；在上单调递增综上所述，当时，在上单调递增
15、；当时，在上单调递减；在上单调递增6分（2）当时，所以设，则， 当时，在上单调递增，所以，所以，故由（1）可知，当时，在上单调递增所以成立；当时，且在上单调递增，所以成立；当时，在上单调递减；则有，不合题意综上所述，实数的取值范围为. 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22. 解：（1）由得，代入曲线得：，所以曲线的普通方程为. 因为直线过点，斜率为，所以的参数方程为 （为参数）. 5分（2）设，所对应参数分别为,，将的参数方程代入曲线得:，则,且，所以，. 10分23. 解：（1）时，由不等式可得：，可化为： 或 或，解得： 或 或 ，即：，所以，不等式的解集为. 5分（2）因为 所以的图象与轴所围成的三角形的三个顶点分别为，由题意，整理得：，因为，所以解得：，所以，实数的取值范围为. 10分