1、一基础题组1. 【2005江苏,理3】在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21,则a3a4a5( )(A)33 (B)72 (C)84 (D)189【答案】C.【解析】设等比数列an的公比为q(q0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0, 求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C.2. 【2009江苏,理14】设是公比为的等比数列,令,若数列有连续四项在集合中,则= .3. 【2009江苏,理17】设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足。(1)求数列的通项公式及前项和; (2)试求所有的
2、正整数,使得为数列中的项【答案】(1)(2)【解析】(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2) (方法一)=,设,w.w.w.c.o.m 则=, 所以为8的约数(方法二)因为为数列中的项,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有.4. 【2010江苏,理8】函数yx2(x0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1,其中kN*.若a116,则a1a3a5的值是_5. 【2011江苏,理13】设,其中成公比为的等比数列,成公差为1的等差数列,则的最小值为 【答案】【解析】由题意得,要求的最小值,只要求的最小值,而的最小值为1,所以
3、,.6. 【2013江苏,理14】在正项等比数列an中,a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_【答案】12【解析】设正项等比数列an的公比为q,则由a6a7a5(qq2)3可得q2,于是an2n6,则a1a2an.,q2,a61,a1a11a2a101.a1a2a111.当n取12时,a1a2a1227a1a2a11a12a1226成立;当n取13时,a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a132627213.当n13时,随着n增大a1a2an将恒小于a1a2an.因此所求n的最大值为12.7. 【2014江苏,理7】在各项均为正数的等比数列中,若,则的值
4、是 .【2016年高考江苏卷】已知是等差数列,是其前项和.若,=10,则的值是 .【答案】【解析】由得,因此【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量,对于特殊数列,一般采取待定系数法,即列出关于首项及公差(比)的两个独立条件即可.为使问题易于解决,往往要利用等差数列相关性质,如及二能力题组1. 【2008江苏,理19】(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列(i)当时,求的数值;(ii)求的所有可能值(2)求证:对于给定的正整数(),存在一个各项及公差均不为零的等差数列,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等
5、比数列项,若删去,则必有,这与矛盾;同样若删去也有,这与矛盾;若删去中任意一个,则必有,这与矛盾。(或者说:当n6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)综上所述,。(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列,其中()为任意三项成等比数列,则,即,化简得 (*)由知,与同时为0或同时不为0当与同时为0时,有与题设矛盾。故与同时不为0,所以由(*)得因为,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数。于是,对于任意的正整数,只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1,满足要求. 2. 【2010江苏,理19】设各项均为正数的数列an的前n项和为
6、Sn,已知2a2a1a3,数列是公差为d的等差数列(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);(2)设c为实数,对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式SmSncSk都成立求证:c的最大值为.SmSnd22ak2aSk.所以满足条件的c,从而cmax.因此c的最大值为.3. 【2013江苏,理19】设an是首项为a,公差为d的等差数列(d0),Sn是其前n项和记,nN*,其中c为实数(1)若c0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snkn2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差数列,证明:c0.由,得A0,cd15B,代入方程,得B0,从而cd10.即0,b1d1a0,cd10.若
7、d10,则由0,得d0,与题设矛盾,所以d10.又因为cd10,所以c0.三拔高题组1. 【2005江苏,理23】设数列an的前n项和为Sn,已知a11,a26,a311,且其中A,B为常数.()求A与B的值;()证明数列an为等差数列;()证明不等式对任何正整数m、n都成立.所以数列为等差数列。方法2.由已知,S1=a1=1,又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,所以数列是惟一确定的。设bn=5n-4,则数列为等差数列,前n项和Tn=于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)由惟一性得bn=a,即数列为等差数列。()由()可知,an=1+5(n-
8、1)=5n-4. 要证了 只要证 5amn1+aman+2 因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证 5(5mn-4)1+25mn-20(m+n)+16+2因为 =20m+20n-37,所以命题得证. 2. 【2006江苏,理21】设数列、满足:,(n=1,2,3,),证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,)bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得(bn+1bn)+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10
9、 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,), 3. 【2007江苏,理20】已知an是等差数列,bn是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2a1,记Sn为数列bn的前n项和.(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1;(4分)(2)若b3=ai(i是某个正整数),求证:q是整数,且数列bn中的每一项都是数列an中的项。(3)是否存在这样的正数q,使等比数列bn中有三项等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由【答案】(1)详见解析.(2)详见解析.(3)q=【解析】解:(1)设等差数列的公差为d,则由题设
10、得a1+d=a1q,d=a1(q-1),且q1.由bk=am得b1qk-1=a1+(m-1)d,所以b1(qk-1-1)=(m-1)d,Sk-1=(m-1)a1.故等式成立。(2)(i)证明q为整数:由b3=ai得b1q2=a1+(i-1)d,即a1q2=a1+(i-1)a1(q-1),移项得a1(q+1)(q-1)=a1(i-1)(q-1).因a1=b10,q1,得q=i-2.故q为整数。(ii)证明数列bn中的每一项都是数列an中的项:设bn是数列bn中的任一项,只要讨论n3的情形。令b1qn-1=a1+(k-1)d,即a1qn-1a1=(k-1)a1(q-1),得k=1+=2+q+q2+
11、qn-2.因q=i-2,当i=1时,q=-1,q+q2+qn-2为-1或0,则k为1或2;而i2,否则q=0,矛盾。当i3时,q为正整数,所以k为正整数,从而bn=ak。故数列bn中的每一项都是数列an中的项。(3)取q=,b2=b1q,b4=b1q3.b1+b4=b1(1+q3)=b11+()3=b1(-1)=2b2.所以b1,b2,b4成等差数列.4. 【2011江苏,理20】设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项的和为,已知对任意整数,当时,都成立(1)设,求的值;(2)设,求数列的通项公式 ,当时,从而由式知,故,从而,于是。因此,对任意都成立。又由(可知,故且。解得,从而,。因此
12、,数列为等差数列,由知,所以数列的通项公式为.5. 【2012江苏,理20】已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:,nN*.(1)设bn11,nN*,求证:数列是等差数列;(2)设,nN*,且an是等比数列,求a1和b1的值设等比数列an的公比为q,由an0知q0.下证q1.若q1,则,故当时,an1a1qn,与(*)矛盾;若0q1,则a1a21,故当时,an1a1qn1,与(*)矛盾综上,q1,故ana1(nN*),所以1a1.又(nN*),所以bn是公比为的等比数列若,则,于是b1b2b3.又由得,所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾所以,从而.所以a1b1.6. 【2014江苏
13、,理20】设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.(1)若数列的前项和为,证明:是“数列”.(2)设是等差数列,其首项,公差,若是“数列”,求的值;(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列” 和,使得成立. ,则,而数列,都是“数列”,证毕7. 【2015江苏高考,11】数列满足,且(),则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得:所以.【考点定位】数列通项,裂项求和8. 【2015江苏高考,20】(本小题满分16分) 设是各项为正数且公差为d的等差数列 (1)证明:依次成等比数列; (2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由; (3)是否存在及正
14、整数,使得依次成等比数列,并说 明理由.试题解析:(1)证明:因为(,)是同一个常数,所以,依次构成等比数列(2)令,则,分别为,(,)假设存在,使得,依次构成等比数列,且再将这两式相除,化简得()令,则令,则令,则令,则由,知,在和上均单调故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立所以不存在,及正整数,使得,依次构成等比数列【考点定位】等差、等比数列的定义及性质,函数与方程9. 【2016年高考江苏卷】(本小题满分16分)记.对数列和的子集,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.(1)求数列的通项公式;(2)对任意正整数,若,求证:;(3)设,求证:.由(2)得.试题解析:(1)由已知得.于是当时,.又,故,即.所以数列的通项公式为.(2)因为,所以.因此,.故,所以,即.综合得,. 【考点】等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题有三个难点:一是数列新定义,利用新定义确定等比数列的首项,再代入等比数列通项公式求解;二是利用放缩法求证不等式,放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列,从而可利用特殊数列的性质,以算代征;三是结论含义的应用,实质又是一个新定义,只不过是新定义的性质应用.