1、12.3 面积问题学习目标预习导学典例精析栏目链接 运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的推导和简单应用 学习目标预习导学典例精析栏目链接题型1 三角形面积公式及正弦定理应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例 1 在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S.(1)已知 a4 cm，c5 cm，B30；(2)已知 A75，C45，b4 cm.解析：(1)依题意，三角形的面积 S12acsin B，得：S1245sin 305(cm2)学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)根据正弦定理 bsin Bcsin C，cbsin Csin B，S12bc
2、sin A12b2sin Csin Asin B，B180(AC)180(7545)60，S1242sin 45sin 75sin 604（3 3）3(cm2)点评：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活使用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算学习目标预习导学典例精析栏目链接1在ABC 中，若 B30，AB2 3，AC2，则ABC的面积是_解析：已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论由正弦定理，得 ACsin B ABsin C，sin CABsin BAC 32.ABACC60或 120.当 C60时，S
3、ABC12ACABsin A1222 3sin 902 3；当 C120时，SABC12ACABsin A1222 3sin 30 3.故ABC 的面积为 3或 2 3.答案：3或 2 3题型2 余弦定理与三角形面积公式的综合应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例 2 已知三角形三边的长分别为 a2 cm，b3 cm，c4 cm，求三角形的面积 S.解析：根据余弦定理得：cos Bc2a2b22ca422232242 1116，sin B 1cos2B3 1516，S12acsin B，得：S12243 1516 3 154(cm2)学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：本题体现了正、余弦定理
4、在三角形中的综合应用，解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式学习目标预习导学典例精析栏目链接2已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积解析：因为 ABCD 是圆内接四边形，所以 AC，所以 cos Acos C0，由余弦定理得：BD2 7，cos A12，0A，A23，C3，SABD2 3，SBCD6 3.四边形 ABCD 面积为 8 3.学习目标预习导学典例精析栏目链接题型3 三角变换与三角形面积公式的综合应用例 3 在ABC 中，sin Acos A 22，AC2，AB3，求 tanA 的值和ABC 的
5、面积解析：方法一 sin Acos A 2cos(A45)22，cos(A45)12.又 0A180，A4560，A105.tan Atan(4560)1 31 32 3.又 sin Asin 105sin(4560)学习目标预习导学典例精析栏目链接sin 45cos 60cos 45sin 60 2 64.SABC12ACABsin A 1223 2 6434(2 6)方法二 sin Acos A 22，(sin Acos A)212.2sin Acos A12.0A180，sin A0，cos A0.(sin Acos A)212sin Acos A32，学习目标预习导学典例精析栏目链接s
6、in Acos A 62.得：sin A 2 64，得：cos A 2 64.tan Asin Acos A2 3.SABC12ACABsin A 1223 2 6434(2 6)学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：以下结论也常常用到：(1)ABC，AB22 C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式 sin(AB)sin C,cos(AB)cos C，tan(AB)tan CC2，sinAB2 cosC2，cosAB2 sinC2.学习目标预习导学典例精析栏目链接3若 AB2，AC 2BC，则 SABC 的最大值是_解析：设 BCx，则 AC 2x.根据三角形面积公式得：SABC12ABBCsin Bx 1cos2B，根据余弦定理得：cos BAB2BC2AC22ABBC4x22x24x4x24x，代入上式得：学习目标预习导学典例精析栏目链接SABCx14x24x2128（x212）216.由三角形三边关系有 2xx2，x2 2x，解得 2 22x2 22.故当 x2 3时 SABC 取得最大值 2 2.答案：2 2
