1、专题三十二 数列求和【高频考点解读】 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式【热点题型】题型一 非等差、等比数列求和的常用方法例1、已知数列an的通项公式是an，其前n项和 Sn，则项数n等于()A13 B10 C9 D6【提分秘籍】 1倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的2分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
2、这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决【举一反三】等于()A. B.C1 D3【热点题型】题型二 分组转化求和例2、设等差数列an的首项为1，其前n项和为Sn
3、.公比是正整数的等比数列bn的首项为3，其前n项和为Tn.若a3b317，T3S312，则数列的前n项和为_【提分秘籍】注意熟记以下几个常用的求和公式(1)122232n2n(n1)(2n1)；(2)132333n3n2(n1)2.【热点题型】题型三 裂项求和例3、已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数f(x)3x22x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【提分秘籍】裂项相消法是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：(1).(2)()(3).(4).此外
4、，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误【举一反三】设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等(1)求an的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列bn的前三项，记数列cn，数列cn的前n项和为Tn.求证：对任意nN*，都有Tn2.【热点题型】题型四 错位相减求和例4、已知数列an满足a11，a3a718，且an1an12an(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若cn2n1an，求数列cn的前n项和Tn. (2)cn(2n1)2n1，Tnc1c2c3cn120321522(2n1)2n1，2Tn121322(2n3)2n1
5、(2n1)2n，得Tn12(2122232n1)(2n1)2n，整理得Tn12(2n1)2n(2n3)2n3.Tn(2n3)2n3.【提分秘籍】 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式. 【高考风向标】1（2014江西卷）已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn. 2（2014全国卷）等差数列an的前n项和为
6、Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0，解得d，因此d3.故数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.3（2014山东卷）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn. 当n为奇数时，Tn1.所以Tn4（2013江西卷）正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn0，S11的最小正整数n是多少？解析：(1)证明：当n2时，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得anan12(n2,3,4，)所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列所以an2n1.(2)Tn，由Tn，得n，所以满足Tn的最小正整数n为12.12已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1；数列bn满足bn1bnbnbn1(n2，nN*)，b11.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.
